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Transformaciones
Lineales
Universidad Austral de Chile
T de Ven W V W.
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- Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones, por ejemplo.
- Sean espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo Una función transforma vectores de en vectores de Impondremos condiciones para que preserve las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que sea equivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en como las imágenes en
V , W K
T
V WW ..
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T
V W
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Definición: Sean dos espacios vectoriales sobre un cuerpo es una transformación lineal de en si:
Observaciones:
- Es usual denotar con los mismos símbolos (símbolo que se omite) por escalar definidos sobre los espacios vectoriales como se hizo en la definición, que pueden ser diferentes. también se llama aplicación lineal.
V , W K T :V → W V^ W
- ∀u v , ∈ V, T (u +v) =T(u ) +T(v )
- ∀a ∈ K , ∀ v ∈V , T ( av) =aT( v)
2) T
la suma y el producto
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No son transformaciones lineales:
La función determinante ya que:
para
Si es un espacio vectorial sobre la función traslación por el vector definida por
det : M (^) n ( K (^) )→K det (^) ( A + B (^) )≠ det A + det B, det (^) ( kA) = k ndet A ≠k det A, n > 1
V K y v 0 ∈ V , v 0 ≠0 ,V v 0
T v ( ) = v + v 0 ∀ ∈v V ya que T ( 0 V ) = v 0 ≠ 0 V
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KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo con una transformación lineal
El kernel de T denotado es el conjunto
La imagen de denotada es el conjunto:
Definición:
V , W K , T :V→W
KerT
Im T,
KerT ={v ∈V/ T ( v)= (^0) W}
Im T ={ w∈ W / w =T v ( ) ,para algunv ∈V}
(También se le llama núcleo y se anota Nu T )
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T
V W
Ker T
ImT
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Se cumple:
es un subespacio vectorial de La nulidad de es la dimensión del kernel de Se anota: es un subespacio vectorial de El rango de es la dimensión de la imagen de Se anota:
T.
KerT (^) V. T , n T( ) Im T W. T T. r T( )
Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo con
Sea una transformación lineal. Entonces:
V , W K^ dim V < ∞.
T :V→ W
dim ( KerT ) + dim Im( T )=dimV
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Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo
Sean (^) una base de
Entonces existe una única transformación lineal
O sea: una transformación lineal queda completamente determinada por sus imágenes en una base del dominio.
V , W K.
{v (^1) , v 2 ,...,vn}
un conjunto de
V y^ {w^1 ,^ w 2 ,...,wn }^ ⊂W n vectores arbitrarios
T :V→ W
tal que T^ (^ vi )^ =wi,^ i=^1 ,^2 ,...,n
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- T (^) es invertible ⇔ existe T −^1 : W → V / T −^1 T = IV ,T T −^1 =IW
Si T es invertible se dice que es un isomorfismo
- T :V → W transformación lineal invertible ⇒ T −^1 :W → V es transformación lineal. ( ) 1 1
- T T − − =
La composición de transformaciones lineales es transformación lineal. Esto es: Si son dos transformaciones lineales entonces es transformación lineal.
Sea una transformación lineal, con espacios
T : U → V , S :V →W S T:U→ W
T V : → W V^ ,W vectoriales sobre K
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Se cumple que: Dos espacios vectoriales finito dimensionales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión.
Esto es, V W, espacios vectoriales de dimensión finita: V ≅ W ⇔ dim V =dimW
Si es un isomorfismo, se dice que los dos espacios vectoriales son isomorfos o que es isomorfo a y se anota
Si dos espacios vectoriales son isomorfos no significa que sean iguales, pero toda propiedad relacionada con la estructura de espacio vectorial que posea uno de ellos se transfiere al otro a través del isomorfismo.
T :V→ W V y W^ V W V ≅W.
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VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
INTRODUCCIÓN
Los conceptos de valores propios y de vectores propios de transformaciones lineales o de matrices que estudiaremos son de importancia en:
aplicaciones de matemáticas, como :
- diagonalización de matrices
- rotación de ejes coordenados
- soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
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Los valores propios también se denominan valores característicos, autovalores o eigenvalores
Los vectores propios también se denominan vectores característicos, autovectores o eigenvectores.
Si λ es valor propio de una matriz A, el conjunto W λ = { v ∈ K n/Av =λv}
es subespacio vectorial de K^ nllamado espacio propio de A asociado al valor propio λ. (Observar que 0 ∈W^ λ,pero 0 no es vector propio de A)
Si λ es valor propio de una transformación lineal T, el conjunto W (^) λ = (^) { v ∈ V / T v( ) = λv}es subespacio vectorial de V (^) llamado espacio propio de T asociado al valor propio λ. (Observar que 0 ∈ Wλ,pero 0 no es vector propio de T)
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Sea A^ ∈^ M^ n( K).Entonces: λ (^) es valor propio de A ⇔^ Av = λv , con v ≠ (^0) Kn ⇔ Av^ =^ (^ λI^ n)v, con^ v^ ≠^0 Kn ( In (^) identidad de orden n) ⇔ (^) ( A − λIn (^) ) v= (^0) Kn, v ≠ (^0) Kn ⇔ det (^) ( A − λIn)= 0 11 12 1 21 22 2
1 2
0,
n n
n n nn
a a a a a a
a a a
λ λ
λ
− − (^) =
−
⇔
… … ⋮ ⋮ ⋮ …
con A^ =( aij)
Los valores λ que satisfacen esta ecuación, son los valores propios de A.
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Sea T^ :^ V→V transformación lineal. Entonces:
λ ∈ K es valor propio de T ⇔ ∃ v ∈V v , ≠ 0 ,V T ( v) =λv
⇔∃ v ∈V v , ≠ 0 ,V ( T − λIV (^) )( v)= (^0) V
I V (^) identidad en V
⇔ v ∈ Ker T ( − λIV ), v≠ 0 V
⇔ Ker T ( − λIV ) ≠{ (^0) V}
Así, los vectores propios de T^ asociados al valor propio λ ,^ son los vectores no nulos del kernel de la transformación lineal T - λ IV.
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A
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POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ
Definición:
Sea A^ ∈M^ n( K)
La matriz característica de A^ es la matriz A −λIn.
El polinomio característico de es el polinomio pA^ (^ λ^ )^ =^ det(^ A^ −λIn)
La ecuación característica de A es la ecuación p^ A ( λ^ ) =^ det^ ( A^ −^ λIn)=^0
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- Sean λ 1 , λ 2 ,..., λn todos los valores propios de la matriz A. Entonces:
- La suma de los valores propios de la matriz A^ es igual a su traza: λ 1 + λ 2 + ... + λn = trA, con trA = a 11 + a 22 + ... +ann
- El producto de los valores propios de la matriz A es igual al determinante de A: λ 1 ⋅ λ 2 ⋅ ... ⋅ λn =detA
5) Aes matriz no invertible (singular) ⇔^ λ = 0 es valor propio de A Basta considerar: λ = (^0) es valor propio de A ⇔ det A = 0 ⇔ A es no invertible o singular
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- Algunos autores definen el polinomio característico de A en la forma:
pA ( λ ) = det( λIn −A)
Ambas definiciones difieren a lo más en el signo, pues
det (^) ( A − λ I (^) n ) = (^) ( − (^1) ) ndet( λI (^) n−A)
La ecuación característica queda igual.
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POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sean V^ espacio vectorial de dimensión n^ y T^ :V^ →^ V una transformación lineal. Sean A^ =^ [^ T^ ]^ B ,^ A^ '=^ [^ T]^ B' las matrices asociadas a T respecto de dos bases ordenadas distintas B,^ B^ 'de V. Entonces: det^ ( A^ −^ λI^ n ) =^ det^ ( A^ '−λIn)
Así, el polinomio det^ ( A^ −^ λ^ In^ ) =^ det([ T^ ]B−^ λIn)depende sólo del operador
T y no depende de la base ordenada B.
El hecho de que un cambio de base no afecta a este polinomio nos permite definir el polinomio característico de una transformación lineal.
lineal
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Sean V un espacio vectorial de dimensión n, B una base ordenada de V y^ T :V → V una transformación lineal.
Se llama polinomio característico del operador lineal T ,al polinomio:
pT (^) ( λ (^) ) = det( [ T (^) ]B−λIn)
Se tiene que: grado^ pT^ ( λ^ )=^ n^ =dimV
λ ∈ K es valor propio de^ T ⇔λes cero del polinomio característico de T.
Los valores propios de la transformación lineal T^ dependen de T
y no dependen de la base escogida para representarla.
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- Como: B^ =^ P^ −^1 AP ⇔^ PB^ =^ AP,1)entonces: A y B son semejantes ⇔^ existe P^ matriz invertible de PB =AP. La ventaja de esta equivalencia es que sólo se requiere conocer que P^ es invertible y no calcularla.
- Sean A, Bmatrices de orden n, 1)similares entonces: A yB (^) tiene el mismo polinomio característico y los mismos valores propios.
- Sea V^ un espacio vectorial sobre un cuerpo K, de dimensión finita n , (^) y sean A A, 'dos matrices n × nsobre K .Entonces: A A , 'son similares si y solo si A A,^ 'representan a la misma transformación lineal T V: → V relativo a bases diferentes de V.
orden n tal que:
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DIAGONALIZACION
Para A^ matriz cuadrada, nos interesa saber si existe una matriz similar a A, que sea diagonal.
Si T^ :V^ →^ Ves una transformación lineal, con V^ espacio vectorial, nos interesa saber si existe una base de V^ de modo que la matriz asociada a T en esa base sea matriz diagonal.
Mostraremos que esto no siempre es posible y determinaremos condiciones para que lo sea.
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¿Pero, por qué interesa que estas matrices sean diagonales?
Recordemos que una matriz diagonal D = ( dij)de orden n
es tal que todos los elementos de D fuera de la diagonal principal son ceros: 11 22
0 0 0 0
(^0 0) nn
d D d d
= ^
… … ⋮ ⋮ ⋮ … Se puede anotar: D =diag d( 11 , d 22 ,..., dnn) Cumple con lo siguiente:
- Si D ' = diag d( ' , 11 d ' 22 ,..., d'nn) es otra matriz diagonal entonces DD ' también es matriz diagonal de orden n, y el producto es: (^) DD ' =diag d d( 11 ' , 11 d 22 d ' 22 ,..., dnn d'nn)
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- det^ D^ =d d 11 22 ...^ dnn
det D k^ = d 1 1k^ d 2 2k^ ... d n nk,donde ( 11 , 22 ,..., )
D k^ =diag d k^ d k^ dk nn
- Des invertible si y solo si dii ≠ 0, para todoi =1, 2,...,n Más aún, en este caso:
D −^1 =diag ( 1/ d 11 ,1/ d 22 ,...,1/ dnn)
- Los valores propios de la matriz diagonal D son los elementos de la diagonal principal.
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La siguiente es una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable.
Sea A ∈M (^) n( K) A es diagonalizable ⇔ A tiene n^ vectores propios linealmente independientes. En este caso: A es similar a una matriz diagonal D , D = P −^1 APdonde D tiene en la diagonal principal los valores propios de A,^ y P es una matriz cuyas columnas son respectivamente n vectores propios L. I. de (^) A. Esto es, la columna j de P^ es un vector propio de A, asociado al valor propio λ^ j, j =1, 2,...,n
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Si A^ tiene n^ valores propios distintos, entonces A es diagonalizable.
El recíproco de lo anterior no es cierto. Una matriz puede ser diagonalizable y tener valores propios repetidos.
Vectores propios asociados a valores propios distintos, son L.I.
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En particular, si A 1 y A 2 son las representaciones matriciales de T
respecto a bases B 1 y B 2 de V^ , respectivamente, entonces sabemos
que A 2 =^ P^ −^1 A P 1 con P matriz invertible, esto es, A 1 y A 2
son similares, y por tanto, tienen los mismos valores propios. Usamos esto para la definición siguiente.
TRANFORMACIÓN LINEAL DIAGONALIZABLE
Sean: V un espacio vectorial de dimensión finita n T V : →V una transformación lineal. Sabemos que: T se puede representar mediante muchas matrices diferentes de orden n, una por cada base ordenada en V.
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Sea T :V → V una transformación lineal tal que (^) dimV =n Entonces: T (^) es diagonalizable si y solo si existe una base B (^) de V de vectores propios de T. Además, si D es la matriz diagonal, entonces los elementos de la diagonal principal de D^ son los valores propios de T.
Definición: Sea T V:^ →^ V una transformación lineal, con V espacio vectorial de dimensión n. (^) T se dice diagonalizable si existe alguna base B de
V ,de modo que la representación matricial de T en dicha base, es una matriz diagonal.
Se dice que la base B^ diagonaliza al operador T.
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