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Las transformaciones lineales T: R 1 ® R^1 son multiplicaciones por un escalar. En dimensiones superiores pueden
presentarse otras situaciones. Veremos aquí transformaciones lineales T: R 2 ® R^2 con nombre propio: rotaciones, reflexiones, expansiones y deslizamientos. Para poder analizar el efecto geométrico de las transformaciones, se ha dibujado una circunferencia de radio unitario, con degrade colores.
Rotación
Cuando se rotan los vectores (1, 0) y (0, 1) un ángulo q, se obtienen respectivamente, los vectores (cos q, sen q) y (-sen q, cos q). Así, una transformación de rotación se representa matricialmente con:
Ejemplos
Cuando se aplican transformaciones lineales de T (^) A :R^2 ® R^2 y TB :R^2 ® R^2 de matrices:
se obtienen, respectivamente, rotaciones de 90° y 180°. Gráficamente:
Reflexión Para cada recta que pasa por el origen de coordenadas, existe una transformación lineal que refleja el plano respecto de esa recta. Aquí mostraremos tres reflexiones: respecto del eje x, del eje y, y de la recta y = x
Ejemplos
Cuando se aplican transformaciones lineales de T (^) A :R^2 ® R^2 , TB :R^2 ® R^2 y TC :R^2 ® R^2 de matrices:
se obtienen, respectivamente, la reflexión respecto del eje x, la reflexión respecto del eje y, y la reflexión respecto de la recta y = x. Gráficamente:
Expansión - Compresión
La expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que a cada (x, y) del dominio le hace corresponder (c x, La constante c se denomina factor de expansión y es c > 1. La compresión a lo largo del eje x es una transformación lineal que a cada (x, y) del dominio le hace corresponder (c x La constante c se denomina ahora factor de compresión y es 0 < c < 1.
Los caricaturistas y las transformaciones lineales
Extraído de Algebra Lineal con aplicaciones, de George Nakos y David Joyner
Muchas veces los caricaturistas utilizan transformaciones lineales
para lograr movimientos en sus dibujos. Por ejemplo, supóngase que se desea hacer un deslizamiento en la dirección del eje x, del ciclista que se muestra a la izquierda en la siguiente figura. Basta con multiplicar los puntos por la matriz M, para obtener la imagen de la derecha.
Geometría de las transformaciones lineales en el plano
