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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Introducción al Algebra Lineal
Unidad 5: Transformaciones lineales Transformaciones lineales Definición Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo IR, una función f definida de V en W, se dice que es una transformación, aplicación, función lineal u homomorfismo de espacios vectoriales si para cualesquiera dos vectores u y v de V, y para todo escalar λ de IR, se verifica: f(u + v) = f(u) + f(v) f(λu) = λf(u) En el caso en que V = W se dice que f es un endomorfismo de espacios vectoriales. Las dos condiciones de la definición anterior se pueden sintetizar en una sola, diciendo que f es una transformación lineal si y solo si para cualesquiera dos vectores u 1 y u 2 de V, y para los escalares k 1 y k 2 de IR, se verifica: f(k 1 u 1 + k 2 u 2 ) = k 1 f(u 1 ) + k 2 f(u 2 ) Es decir, cuando la imagen de una combinación lineal de vectores de V, sea igual a la combinación lineal de las imágenes de cada uno de ellos. De modo análogo, dados dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo IR, si f definida de V en W es una transformación lineal, entonces para u 1 , u 2 ,…, un vectores de V y k 1 , k 2 , …, kn escalares de IR, se verifica: f(k 1 u 1 + k 2 u 2 +…+ knun) = k 1 f(u 1 ) + k 2 f(u 2 )+ …+ knf(un) Ejemplos Toda función f: IR → IR dada por f(x) = a·x, siendo a ∈ IR, es una transformación lineal. La función nula f : V → V definida por f(v) = ⃗ 0 es una transformación lineal. La función definida de Mnxn(IR) en IR que hace corresponder a cada matriz cuadrada su traza, es una transformación lineal. Sugerencia: realizar los Ejercicios 1 y 2. Teorema Dados dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo IR, si f de V en W es una transformación lineal, entonces: a) f( ⃗ 0 ) = ⃗ 0 b) f(- v) = - f(v) , para todo v de V c) f(v - w) = f(v) - f(w), para todo v y w de V
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Demostración Sea v un vector cualquiera de V, debido a que 0. v = ⃗ 0 , se tiene: f( ⃗ 0 ) = f(0.v) = 0.f(v) = ⃗ 0 , lo que prueba a) también se verifica que: f(-v) = f((-1).v) = (-1).f(v) = -f(v), lo cual prueba b) por ultimo v - w = v + (-1).w, por lo tanto: f(v – w) = f(v + (-1).w) = f(v) + (-1).f(w) = f(v) - f(w), y se comprueba c). Definición Si f de V en W es una transformación lineal que es inyectiva, entonces f recibe el nombre de monomorfismo. Si f de V en W es una transformación lineal que es suryectiva, entonces f recibe el nombre de epimorfismo. Si f de V en W es una transformación lineal que es biyectiva, entonces f recibe el nombre de isomorfismo. Si f de V en V es una transformación lineal, entonces f recibe el nombre de endomorfismo. Si f de V en V es una transformación lineal que es biyectiva, entonces f recibe el nombre de automorfismo. Núcleo e Imagen de una transformación lineal Definición Si f de V en W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores de V tales que su imagen por f sea el vector nulo de W, recibe el nombre de conjunto núcleo o kernel de f. V f W N(f) u ⃗ 0 Al conjunto núcleo o ker de f, se lo puede representar como ker(f) o N(f), es decir: N(f) = { u / u ϵ V, f(u) = ⃗ 0 , ⃗ 0 ϵ W } Definición Si f de V en W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores de W que son imágenes de los vectores de V por f, recibe el nombre de conjunto recorrido o imagen de la transformación. V f W Im(f) u f(u) = v
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Por definición del conjunto Imagen de f, se cumple que Im(f) W , además como f es una transformación lineal, f( ⃗ 0 ) = ⃗ 0 , lo que indica que por lo menos el vector nulo pertenece a Im(f), luego Im(f) . Si v 1 y v 2 son dos vectores de Im(f), existen u 1 y u 2 vectores de V, tal que f(u 1 ) = v 1 y f(u 2 ) = v 2 , entonces f(u 1 +u 2 ) = f(u 1 ) + f(u 2 ) = v 1 +v 2 , como V es un espacio vectorial, u 1 +u 2 es un elemento de V; luego v 1 +v 2 pertenece a la Im(f). Sea k es un escalar de IR y si v es un vector de Im(f), existe un vector u de V, tal que f(u) = v , entonces f(k.u) = k.f(u) = k.v , como V es un espacio vectorial, k.u es un elemento de V; luego k.v pertenece a la Im(f). Por lo tanto, el conjunto Imagen de f es un subespacio de W. Nulidad y rango de una transformación lineal Definición Si f es una transformación lineal definida de V en W, entonces la dimensión del conjunto imagen de f se conoce como rango de f, y la dimensión del Núcleo de f se denomina nulidad de f. Sugerencia: realizar los Ejercicios 4, 5, 6 y 7. Composición de transformaciones lineales La composición de funciones puede realizarse, en particular, entre dos transformaciones lineales. El resultado es, en este caso, una nueva transformación lineal. Definición Sean V, W y U , IR-espacios vectoriales. Sean f : V → W y g : W → U transformaciones lineales, entonces f ◦ g : V → U es una transformación lineal. Sugerencia: realizar el Ejercicios 8. Función inversa de una transformación lineal Definición Sean V y W dos IR-espacios vectoriales y sea f : V → W una transformación lineal. Si f es un isomorfismo, entonces f −1^ : W → V es una transformación lineal (que resulta ser un isomorfismo). Sugerencia: realizar el Ejercicios 9 y 10. Teorema
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Dada una transformación lineal f definida de V en W, si S es una familia generatriz de V, entonces el conjunto formado por las imágenes de los vectores de S, es una familia generatriz del conjunto Im(f). Demostración Sea S = {u 1 , u 2 ,...,ur} es una familia generatriz de V , entonces f∗(S) = {f(u 1 ),f(u 2 ),...,f(ur)} es una familia de W. Si v ∈ Im(f), se debe que probar que es posible expresar a v como combinación lineal de los vectores de f∗(S). Ya que v ∈ Im(f), significa que existe un vector u ∈ V, tal que f(u) = v. Pero por hipótesis, S es una familia generatriz de V, luego se puede suponer que u = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λrur. Por la linealidad de f: v = f(u) = f(λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λrur) = λ 1 f(u 1 ) + λ 2 f(u 2 ) + ... + λrf(ur), Luego v = λ 1 f(u 1 ) + λ 2 f(u 2 ) + ... + λrf(ur), lo cual indica que f∗(S) genera a Im(f). Teorema de la dimensión Si f es una transformación lineal definida de un espacio vectorial V de dimensión n, en un espacio vectorial W de dimensión m, entonces la suma de la dimensión del conjunto imagen de f y la dimensión del núcleo de f es igual a la dimensión del espacio V, es decir: dim(Im(f)) + dim(N(f)) = dim(V) rango(f) + nulidad(f) = n Demostración Si f es una transformación lineal definida de un espacio vectorial V de dimensión n, en un espacio vectorial W de dimensión m, se debe demostrar que: dim(Im(f)) + dim(N(f)) = dim(V) = n Se hará la demostración para el caso en que 1 ≤ dim(N(f)) < n. Los casos en que dim(N(f)) = 0 y dim(N(f)) = n se dejan como ejercicios. Suponiendo que dim(N(f)) = r, B= {u 1 , u 2 , … ,ur} una base del N(f), y el conjunto ampliado S = {u 1 , u 2 , … ,ur, ur+1, ..., un} es una base para V. Por el teorema anterior, el conjunto f∗(S) = {f(u 1 ), f(u 2 ),...,f(ur), f(ur+1),...,f(un)} = { ⃗ 0 , f(ur+1),...,f(un)} es un sistema de generadores para Im(f). Entonces, para demostrar la proposición, simplemente hay que razonar que el conjunto f∗(S) = {f(ur+1),...,f(un)} } es una familia libre (sus vectores son linealmente independientes), y por tanto forman una base para el conjunto Im(f). Considerando la combinación trivial: kr+1f(ur+1) +...+ knf(un) = ⃗ 0 , se debe demostrar que kr+1=...= kn = 0 Por la linealidad de f: kr+1f(ur+1) +...+ knf(un) = f(kr+1.ur+1) +...+ f(kn.un) = f(kr+1.ur+1+...+ kn.un) = ⃗ 0 , con lo cual kr+1.ur+1+...+ kn.un pertenece al N(f), y se puede escribir este vector como combinación lineal de los vectores de la base B, por ejemplo: kr+1.ur+1+...+ kn.un = k 1 .u 1 +...+ kr.ur
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Si N(f) = { ⃗ 0 } y S = {u 1 , u 2 , … ,ur, ….} una familia libre de vectores de V, entonces hay que probar que el conjunto f∗(S) = {f(u 1 ), f(u 2 ),...,f(ur),...} es una familia libre de vectores de W. Dada la combinación trivial de los vectores del conjunto f∗(S): k 1 f(u 1 ) +...+ knf(un) = ⃗ 0 por linealidad de f: (k 1 .u 1 ) +...+ f(kn.un) = f(k 1 .u 1 +...+ kn.un) = ⃗ 0 es decir que el vector k 1 .u 1 +...+ kn.un pertenece al N(f), y ya que N(f) = { ⃗ 0 }, esto implica que k 1 .u 1 +...+ kn.un = ⃗ 0 Pero los vectores u 1 , u 2 , … ,ur son linealmente independientes por hipótesis, luego k 1 = k 2 =…=kr = Luego el conjunto f∗(S) es una familia libre de W. c) ⇒ a) Si para toda familia S libre de V, resulta que f∗(S) es una familia libre de W, entonces hay que probar que la función f es inyectiva, es decir si f(u) = f(v), hay que deducir que u = v. La hipótesis f(u) = f(v) se puede reescribir de modo equivalente como f(u − v) = ⃗
- La única posibilidad de que esta hipótesis sea compatible con la proposición c), es que u−v = 0 , pues de lo contrario, la función f transformaría el conjunto linealmente independiente {u − v} formado por un solo vector no nulo, en el conjunto { ⃗ 0 }, que es linealmente dependiente. Luego u−v = 0, es decir u = v y por tanto la función f es inyectiva. En el caso particular en el que dim ( V ) = dim (W) = n, se verifica el siguiente Corolario: Para dos espacios vectoriales V y W sobre IR, ambos de dimensión n, y una transformación lineal f definida de V en W, son equivalentes las siguientes proposiciones: a) la función f es biyectiva. b) la función f transforma una base para V en una base para W. c) la función f es un isomorfismo de espacios vectoriales. Teorema Toda transformación lineal queda totalmente definida o determinada en cuanto se conocen las imágenes de los vectores de una base del espacio vectorial dominio. Demostración Dados V y W dos espacios vectoriales sobre IR, y B = {v 1 , v 2 ,...,vn} una base de V. Sea f definida de V en W una función lineal tal que se conoce que: f(v 1 ) = u 1 , f(v 2 ) = u 2 ,…., f(vn) = un. . Puesto que B es una base de V, cualquier vector v de V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de B. Si las componentes de v en la base B son v = (λ 1 , λ 2 ,...,λn), es decir, v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + ... + λnvn. La imagen de v por la función f es: f(v) = f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + ... + λnvn ) por la linealidad de f: f(v) = f (λ 1 v 1 ) + f (λ 2 v 2 ) + ... + f (λnvn )
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f(v) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) + ... + λn f (vn ) reemplazando, resulta: f(v) = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λn un Matriz asociada a una transformación lineal Sea f una transformación lineal definida de V en W, espacios vectoriales finitos de dimensión n y m respectivamente, y B = {e 1 , e 2 , ….en} una base de V y B´={e´ 1 , e´2, …em} una base de W, se puede determinar la matriz A asociada a la transformación lineal f, de la siguiente manera: Se buscan las imágenes de los vectores de la base B por la transformación lineal f, es decir: f(e 1 ) = u 1 , f(e 2 ) = u2, …….. f(en ) = un Luego se realiza el cambio de base para cada vector ui a la base B´, obteniendo así: u 1 = (a 11 , a 21 ,…..,am1) = v 1 u 2 = (a 12 , a 22 ,…..,am2) = v 2 ……………………………. un = (a1n, a2n,…..,amn) = vn Se forma la matriz A de orden mxn, asociada a la trasformación lineal f, cuyas columnas son las componentes de los vectores vi. A =
[
a 11 a 12. .. a 1 n a 21 a 22. .. a 2 n
.... ... ... .. am 1 am 2. .. amn
]
A es la matriz de f con respecto a las bases B y B’. Nota El número de filas (m) de la matriz A coincide con la dimensión del espacio W, y el número de columnas (n) con la dimensión del espacio domino V. La matriz de una transformación lineal f definida de V en W, depende de las bases seleccionadas, si las bases de V y W son las bases canónicas, la matriz A se denomina matriz estándar para f. Sugerencia: realizar los Ejercicios 12 y 13. El estudio de las transformaciones lineales se reduce al estudio de su matriz asociada, es decir, si se conoce la matriz A asociada a una transformación lineal se puede determinar la función f del siguiente modo:
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Luego A’. XB’ = f(X)B’ y P-1^ .A. P(X) (^) B’ = f(X)B’ Se deduce que: P-1. A. P (x) (^) B’ = A’ (X) (^) B’, para todo X de V Definición Si A y B son matrices cuadradas, se dice que B es semejante a A si existe una matriz P inversible, tal que B = P-1^. A. P. Nota La ecuación B = P-1^. A. P, se puede escribir como A = ( P-1) -1^. B. P -1^ = P. B. P -1, lo cual indica que A es semejante a B. Por tanto, B es semejante a A si y solo si A es semejante a B, como consecuencia, simplemente se dice que A y B son semejantes. Se concluye entonces, que dos matrices que representan la misma transformación lineal f definida de V en V con respecto a bases diferentes, son matrices semejantes. Sugerencia: realizar el Ejercicio 20.
