Transformada de Laplace, Resúmenes de Análisis Matemático

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Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

F-

mpecemos

con la de fini^ cion de^ transfer^ made integral , (^) que puede^ express

• (^) se matematicamente (^) camo : Fts) - - I!kHslfHdt

que

toma como entrada flt)

y

tiene como salida

otra fuucion : Fcs)

KH

,^ s

) se unece come

" Kernel " de la^ transformed^. [ Kernel significs :^ corazon, centre (^) , to ma's (^) important. Es (^) un termine (^) asado (^) ampliameute en Ciencias (^) e ingenieria. Entendamos (^) un poco I^ concept^ de (^) una transformeda integral.^ Para^ eke , tomemos (^) como (^) ejemplo : [ zxjdx

y

' (^) x' / (^)! (^) g- f^ 4- (^) i) -. 3g

I Thdntenemos

y

come - EE At final^ results Constante (^) una function que depende de^ y Vamos (^2) enfoczrnos (^) en et interval (^) de integration (O , 00 ) (^). Si (^) f Ct) esta (^) definida

para tso^ , entrances^ la^ integral improper

I!^ Klstlfftldt

• • fi.ms/obklsitIfHdt 00 Si d limit exist

enforces (^) se parade dear^ que la^ integral existe o que es^ una integral convergent e (^).

LLH

guy

.. I? teitdt Judo . - uo-fvdu-osfteist.st.EE/-e7Itdt " un dis^ vi^ una^ uacz vestidz^ de^ uniform " U -^ - t (^) do (^) > e- sit du - - dt v=•eI yhI•tes Por (^) tanto : L Lt (^) ) =

e'

ith ,

gone

that

I

= ÷ (^) #

¥ LIE'T LIE 't ) .nl?e-ste-sitdt=/!e-Gitsitdt

• ( sit 3) too = - Ey!^

¥

LIsinktllgyg.nwf.fi?sinkHeitdt--

oo.sn/udo--uv-.fbdu-oxJSinhHeitdt=.Sin&e-tt/

¥ (^) ) e Coslzttdt

• s't o^ o U -^ -^ Sin (rt) do - - e (^) dt (^) I d. (^) 0=26slzttdt b=-e § = ¥1? e- sit

cosczttdt

= .gg?e-sit6shHdtJ?e-st6sktIdt=-Cos.gztIe-st/oI.ef?e-sitSinl ztldt U -^ - Coslett do. - e- sit dt do - -^ - (^2) Sinlztldt o= (^) - e $ [ is tcosczttdt = ¥

• ¥1? isitsinlzttdt LLsinktf-F.t-ILlsinktYLlsinhttt-E.TL/sinhtHLISinLzH )
• -^ 2-^ ; 520 $2 -

ndiciones para la (^) existence- a de LIFE) (^) )

La

integral (^) que define^12 transformed^ de^ Laplace^ No^ tiene neceszriamente que (^) converge

r .^ Por^ ejemplo :

LL ' It (^) } (^) a LIE ) (^) no existent . f.Ht)=et ' f- a et f- (t) - -^ I t i → t (^) i i i

i (^) pt T Hay

dos conidia- ones

que garantizau^

la existence de^ LLFLH}^ : (^1). Htt debe (^) ser CONTINUA (^) por partes en [^ 0,00) I. flt) debe Ser (^) de (^) orden

exponential para t^ >^ Te

Una (^) function f (^) se dice que es (^) exponential de orden

• (^) si exist (^) en las constant es (^) * , AN (^) > on T20 Tal

foe

: If HEMET^ para Todo^ t >^ T t.ee?.:.....#::::..Tsne

If# IEM , e 't para t^ >^ T (^) OETET /fH)/EMz=Mzeot IFG.VE/?e-ttIfltHdtsM/?e-sitectdt=n/:e-tsHtdt= :# Cuando &^ -^ soo^ enforces^ IFL^ s'll^ - so por tanto^ FLI)^

-_ LLHHI -

Not (^) as : 1 Hay dos (^) condiciones suficieutes pero No^ necessaries^ para^ la^ existence ' a

de la^ transformation de Laplace. La function Ht) - -^ t

"h No es una funcioh continua^ por trams^ en [ (^) 0,00) (^) , peso la transformed

de Laplace exist .

(^2) Fi (^ is) -^ -^ I^ n Els) =^ 5-^ NO^ son transformedas de $- Laplace de^ fonciones^ continues^ por trams^ de^ orden exponential (^) ,^ dado^ que Fits't^ -1>^ o^ r^ Ecs't^ -1>^0 Cuando & - soo

Propiedades de^ La^ transformed^ de^ Laplace : a (^). Llectfltt)

• • Fis - c)^ , is

>ate O Llectfft) ) =)?^ ectfctyestdt -^ -^ [^ e- 's "'

tf # dt

= FCS^ -^ c)^

F- (s^ ) exist^ para s^ > a

f- (^) ( s - c) exist para s - c (^2) a s (^) > (^) ate

Ej

.ae/gCtI=e-2tfLtyL1gLtI3--fCstz)y

b) (^) Sopoaga (^) que f (^) CH = sin^ (^ at) Llsinlatt ) - -^4 5 t (^16) LIGHT

• • LIE "

Sinlat)I= 4

( s^ -1212 t 16

s > - 24

R C Ejm : (^) mm

ett) ±

33L Tiempo (^) Laplace

i. dot Its ) -

• s'QCs^ ) - glo) dt Rit I of^

-1L

Ii ett) RICH^ - teals ) (^) -1 (^) LlsIts) -^ ild )

.. Els) ← A comodando

$Q(s) - Its) =

geo) terminus : { acs) -1 [Rt (^) Ls'T Its) =^ Lilo) -1 (^) ELI) § Forma mztricial^ : A x B ii. It :iH ::* .it

Re @ rolando

que :: a- ' t ::t=^ .:c .li?I=#I.:-:lIEi:il=Esliiii:.ll...ti:i....l

Por (^) tanto : Qts)= (^ L^ site) (^) 9- 6) t^ Lilo) t^ Els) L $2^ + R^ s'^ t^ IIci Its) (^) = L^ silo)^ t I^ ECE^ )^ -^ at^ to)/c L $2 t^ Rs'^ t^ Yc Ej

. Hallela^ transformed^ de^ Laplace de^ : III. -

y

• • o 861= j61=

Y'

to) - - o

y' "

to)^ -^ - I

Ll III.^ I^

• • s.MY/st-s3gld-i5y'loI-sj'lol-ijtol--g4Yls ) - I → LIII.
• y ) . -^ is^ " Mst - i -^ Hst^ .-^ o ' lls) (^) ( $4 -1= Ylsl - - I $4 -^ n

Transformada inversa de Laplace

Existence de^ la^ transformed'd inverse

Si (^) flt) (^) n GH ) son continues^ por partes y de (^) order (^) exponential en I (^) god n F^ -^ -^ G^ , delude F -^ - Llfct)) (^) r G -_ LIGHT por tanto fH=gLH . Pero hay que^ motor to siguieute

Htt =

( I ' " t (^) " g

=/ 7 often^ I , net^ o ,^ act LIHtf-i-s.es

LLgLtH= I -^ e-^ 's ' S ' Aun que no (^) son iguales ,

tienen la miasma trznsformzdz .

Esta (^) falta de uniciolad , en on sentido^ praictico no causa problems en^ la^ aplicacion de^ he (^) transformed a de (^) Laplace. f- =L '' IHH)

2.) Fish^ = 4 § 2 t I 6 L " I (^) ¥+4.] = Sin (^) Cat) b.) Fl si (^) ) =^6 ( s '

t 2)

4 IT is . '

en

.)

• • El se. I - - e- "

I

• ' 1¥. ) - - = e -^2 t

C.) Fls

) (^) -^ is^ t^ r § Z t 2$ t^5 I " Is Isis. I^

• • I " la a I^ - - I '^ ' ts¥ kiss.I = e-tL.s.kz/=e-t6slzt )

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is::^ is ' yH=H"Is. '

• ,^ I -^25

a) +651¥.) yttt =^ 8 E 't

• 2 Cos (^) ( (^) It) -16 Sin (^) ( at) d.) y "

3g ' -12g

• • e- at , y

lol - - a ,

y '

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Ily

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' 1+ g)

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stylist .siglo ) - y ' lol - 315467 - y loll -1241$ ) =¥, YE ) I^ s

• as + (^) z) - ( Sitz I (^) = I 5+ Y (5)^ =^1 is^ - (It (^) 4) (52-35+2)

52 - (^35) t z 4451

LIta) ( (^) is - (^2) ) ( (^) I - I )

-^ at I ' ' 1461 )^

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I since) Ejercios de^ repose^ :

y "

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) - - o

Laplace : s2Yls)^ - s¥¥Ta(f-$467 12467= YCI)^ ( (^) 52-45 - iz) (^) = 8$ - a (^) -8--8/5-4)

Y ( I) = 8 ( I - a)

a

8$ - 32

( s 61 '^ - ( s

'

-12) ISitz) ( 5 - 67

Yls7=

get

Inverse (^) ¥6de (^) Laplace : y

=^6 e- At^ 2e 't