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Transformada de Laplace
- 22 de enero de Marjorie Cecilia Suárez Zurita
- Definición y propiedades Índice
- 1.1. Definición
- 1.2. Propiedades
- 1.2.1. Propiedad de linealidad
- 1.2.2. Propiedad de cambio de escala
- 1.2.3. Propiedad de desplazamiento en frecuencia
- 1.2.4. Propiedad de desplazamiento en el tiempo
- 1.2.5. Transformada de Laplace de la primitiva de una función
- 1.2.6. Transformada de Laplace de una función periódica
- 1.2.7. Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio t
- 1.2.8. Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio tn
- 1.2.9. Convolución de dos funciones
- Transformada de Laplace de la derivada
- 2.1. Transformada de Laplace de la derivada primera de una función
- 2.2. Transformada de Laplace de la derivada nésima de una función
- Transformada inversa de Laplace
- Referencias
1. Definición y propiedades
1.1. Definición
Sea ε el espacio vectorial de las funciones continuas a trozos y de orden exponencial (esto es, dada una función f (t) continúa a trozos existen las constantes K y ω tales que ∀t la funcion f est´a acotada en la forma |f (t)| ≤ Ke).
Se define la Transformada de Laplace L [.] de la función f (t) ∈ ε como la transformación integral(Cordero y Miranda, 2002)
L [f (t)] ≡ F (s) =
Z +∞
0
e−stf (t) dt (1)
Por ejemplo,
L [1] =
Z +∞
0
e−stf (t) dt =
−e−st s
(^1) s , s> 0 ∞, s≤ 0 (2)
1.2. Propiedades
1.2.1. Propiedad de linealidad
La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones f ,g ∈ ε se verifica.
L [C 1 f (t) + C 2 g (t)] = C 1 L [f (t)] + C 2 L [g (t)] , C 1 , C 2 ∈ R (3)
1.2.2. Propiedad de cambio de escala
Sea f (t) ∈ ε. La función g(t) = f (αt) también pertenece a ε y se verifica.
L [g (t)] ≡ G (s) =
F
(^) s ∝
1.2.3. Propiedad de desplazamiento en frecuencia
Sea f (t) ∈ ε. La función g(t) = eωtf (t) también pertenece a ε y se verifica.
L [g (t)] ≡ G (s) = F (s − ω) (5)
1.2.4. Propiedad de desplazamiento en el tiempo
Sea f (t) ∈ ε. La función g(t) = f (t − Te )u(t − Te ) también pertenece a ε y se verifica.
L [g (t)] ≡ G (s) = e−^ T seF (s) (6)
La función escalón u(t − Te ) viene dada por u
t − Te
= {1;^ t≥^ Te 0; t< Te
h(t) ≡ L−^1 [F (s)G(s)] = L−^1 [F (s)] ∗ L−^1 [G(s)] (13)
Por ejemplo, se sabe que la transformada de Laplace de la función sin t es (^) 1+^1 s 2. Si se quiere saber
de que funcion es transformada de Laplace la función (^) (1+^1 s (^2) ) 2 (es decir, su transformada inversa) se puede aplicar el resultado anterior:
h(t) = L−^1 [
(1 + s^2 )^2
] = L−^1 [
1 + s^2
] + L−1[
1 + s^2
] = sin t ∗ sin t (14)
y teniendo en cuenta ahora la definición de convolución de dos funciones, calculando la primitiva y evaluando en los límites de integración resulta(Holbrook, 1994)
h(t) = sin t ∗ sin t =
Z (^) t
0
sin t − τ sin τ dτ =
sin t−t cos t 2
2. Transformada de Laplace de la derivada
2.1. Transformada de Laplace de la derivada primera de una función
Sea f (t) una función continua y de orden exponencial, cuya derivada primera f ′(t) sea continua a trozos y de orden exponencial (f ′(t) ∈ ε). La transformada de Laplace de la primera derivada de f verifica.
L[f ′(t)] = sF (s) − f (0) (16)
siendo F (s) = L[f (t)] y f (0) el valor de la función en el origen.
2.2. Transformada de Laplace de la derivada nésima de una función
Sea f (t) una función continua y de orden exponencial, cuyas derivadas hasta orden (n − 1) sean también funciones continuas y orden exponencial y la derivada n-ésima sea continua a trozos y de orden exponencial (f (n)(t) ∈ ε). La transformada de Laplace de la derivada n-ésima de f verifica.
L[f (n)(t)] = snF (s) − sn−^1 f (0) − sn−^2 f ′(0) − ... − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0) (17)
donde F (s) = L[f (t)], y f (0),f ′(0), ... ,f (n−1)(0) son los valores de la función y de sus derivadas hasta orden (n − 1) en el origen.
3. Transformada inversa de Laplace
Tal y como he dicho anteriormente vamos a recorrer el camino inverso, es decir, partiendo de la transformada llegaremos a la función original f (t). En eso consiste encontrar la Transformada Inversa de Laplace, matemáticamente se representa de la siguiente manera:
L−^1 [F (s)] = f (t) (18)
Como métodos de cálculo vamos a seguir dos caminos posibles, dependiendo de la función a la que tengamos que calcularle su Transformada Inversa: el primero, es usar las tablas de la Transformada de Laplace; el segundo, consiste en descomponer nuestra Transformada de Laplace en fracciones simples y a cada una de ellas le aplicamos el primer método. Es obvio que para aplicar este segundo método nuestra transformada inversa debe ser una fracción(Ruiz y Fernández, 2002).
Referencias
Cordero, F., y Miranda, E. (2002). El entendimiento de la transformada de laplace: una epistemo- logía como base de una descomposición genética. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, RELIME , 5 (2), 133–168. Holbrook, J. G. (1994). Transformadas de laplace. Ruiz, L. M. S., y Fernández, M. P. L. (2002). Ecuaciones diferenciales y transformadas de laplace con aplicaciones. Editorial de la UPV.
