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INTRODUCCIÓN. AL P ROCESADO DIGITAL DE S EÑALES.
MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.
ANTONIO J. SERRANO L ÓPEZ
Tema 4. Transformada Z.
La transformada Z para sistemas discretos desempeña un papel análogo a la
transformada de Laplace para sistemas continuos. Nos va a permitir
representar la relación entrada salida de un sistema LTI mediante un
cociente de polinomios en lugar de mediante una ecuación en diferencias.
Esto facilitará el cálculo de operaciones como la convolución o el cálculo
de la salida de un sistema ante una determinada entrada. Veremos su
definición y el concepto de región de convergencia, los procedimientos más
sencillos para el cálculo de la transformada directa e inversa y finalmente
analizaremos sistemas discretos utilizando dicha transformada.
4.1. Definición: Región de convergencia
Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z),
como
∞
=−∞
−
n
n G ( z ) g [ n ] z
donde z es una variable compleja.
Habitualmente se representa G ( z )= Z { g [ n ]}o G ( z )= TZ { g [ n ]}
La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:
g [ n ] G ( z )
z ← →
Región de Convergencia.(ROC)
Dado que la transformada Z es una serie de potencias infinita, sólo existe
para aquellos valores de z para los que la serie converge. El conjunto se
valores de Z para los que la suma es finita se denomina región de
convergencia.
La TZ de una secuencia g [ n ] se especifica como G ( z ) y su ROC
Ejemplos:
a) [ ] { 1 , 2 , 3 , 5 } () 1 2 3 5 { 0 }
1 2 3 = = + + + = − =
− − −
↑
xn X z z z z ROC planoZ z
b)
[ ] = { } = + + + = −{ = =∞}
−
↑
x n 1 , 2 , 3 , 5 X ( z ) z 2 z 3 5 z ROC planoZ z 0 , z
2 1
c) x [ ] n = δ( ) n X ( z )= 1 ROC = planoZ
d) [ ] ( 1 ) () { 0 }
1 = − = = − =
−
xn δ n X z z ROC planoZ z
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A ser z una variable compleja podemos hacer el cambio
j ω
z = re luego la
transformada se puede expresar como:
( ) (^) ∑
∞
=−∞
− −
n
j n j n z re
G z j Gre gnr e
ω ω ω ( ) [ ]
Para que esta serie converja G ( z )<∞, es necesario que se verifique
∑ <^ ∞
∞
=−∞
−
n
n g [ n ] r
es decir que la secuencia { [] }
n g nr
−
sea absolutamente sumable.
El cálculo de la ROC consiste en determinar para qué valores de r la suma
converge.
En general, para una secuencia bilateral podemos expresar como 2
sumatorios uno para la parte causal y otro para la anticausal
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−
=−∞
−
∞
=−∞
− ≤ = + = − +
0 1 0
1 1 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
r
Gz gnr gnr gnr g nr gn
Para que ambas secuencias converjan, se debe cumplir:
∑ − <^ ∞
∞
= 1
[ ]
n
n g nr y (^) ∑ <∞
∞
= 0
[ ]
n
n r
gn
Para que el primer sumatorio converja r debe ser lo suficientemente
pequeño como para que la secuencia producto sea sumable, y en el segundo
caso debe ocurrir lo contrario; es decir r debe ser lo suficientemente
grande.
En general para una secuencia bilateral la ROC debe estar comprendida en
una anillo del plano complejo de radios r 2 < z < r 1 siendo r 2 el límite de la
región de convergencia para la parte causal y r 1 para la parte anticausal.
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−
=−∞
−
∞
=
− ∑ ∑ , ROC :|z| | | 1
, ROC :|z| | | 1
1
0
β β
α α
α β z z
G z z z n
n n
n
n n
α β α β
− −
z z z
G z ROC ROC ROC : 1
1 1
Si β < α la TZ la serie no converge en ningún punto y la TZ no existe
Ejemplos de secuencias y su región de convergencia.
Extraído de: Tratamiento Digital de Señales. J.G. Proakis
Propiedades de la ROC.
- La ROC está siempre limitada por un círculo, ya que viene
determinada por el módulo de z.
- La ROC de una secuencia derecha de infinitos términos (términos no
nulos para n>n o ), es el exterior de una circunferencia de radio r 2.
- La ROC de una secuencia izquierda de infinitos términos (términos
no nulos para n
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- La ROC de una secuencia infinita bilateral es un anillo. r 2 (^) < z < r 1 , o
bien no existe.
- La ROC no puede contener polos
♣
, ya que en ellos la transformada
diverge.
- Al menos hay un polo en los límites de la ROC de una transformada,
X(z), racional.
♣ Veremos la definición de polo y cero en un apartado posterior de este capítulo.
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Ejemplos:
Aplicando las propiedades anteriores determina la transformada Z y la
ROC de las siguientes secuencias.
- x n [ ] u ( ) n
n n ( )= 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4
- x ( n )=cos( ω (^) on ) u ( ) n
n x ( n )= a
- x n ( (^) on ) u ( ) n
n
( )= 2 cos ω
5. x ( n )= u (− n − 1 )
xn = u n
n
7. h ( n )= { 1 , 2 , 3 }, x ( n )= u ( n )− u ( n − 4 ). y ( n )= h ( n )* x ( n ), CalculeY ( z )
↑
8. x ( n )= n 2 u ( n − 1 )
n
− x n a aun a u n
n u u
2 = −
− x n un
n
Pares de transformadas básicos
Extraído de: Tratamiento Digital de Señales. J.G. Proakis
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4.3. Transformadas Z racionales.
Un familia muy importante de transformadas Z son aquellas en las que
X(z) es un cociente de polinomios en la variable z (o z
-
). Son las
transformadas Z racionales.
Para un sistema LTI sabemos que la relación entrada salida viene dada por:
y [ n ] = x [ ] n * h [ ] n
Si aplicamos transformadas Z y aplicamos la propiedad de convolución.
( )
( )
( )
X z
Y z H z =
H(z), que es la transformada Z de la respuesta impulsional, se denomina
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA.
Si nos centramos en los sistemas LTI caracterizados por ecuaciones en
diferencias con coeficientes constantes, cuya expresión general es:
∑ ∑
= =
− = −
N
k
k
M
k
bk xn k a yn k
0 0
[ ] [ ]
y calculamos transformadas Z en ambos miembros aplicando las
propiedades de linealidad y desplazamiento temporal tenemos:
∑
∑
=
−
=
−
− − − −
−
− − − −
−
=
N
k
k k
M
k
k k
N N
N N
M M
M M
az
bz
a az a z a z
b bz b z b z
X z
Y z H z
0
0 ( 1 ) 1
1 0 1
( 1 ) 1
1 0 1 ....
Observamos que se trata de una transformada Z racional. De ahí el interés
de este tipo de transformadas.
4.3.1. Polos y Ceros
Ceros: son los valores de z que hacen que H ( z )= 0
Polos: son los valores de z que hacen que H ( z )=∞
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La representación gráfica de los ceros ( o ) y los polos ( x ) de un sistema en
el plano complejo se denomina DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS O
DIAGRAMA DE ARGAND. Si la multiplicidad de un cero o polo es
superior a la unidad se indicará mediante un número al lado del símbolo
correspondiente.
Ej1: Determina el diagrama de polos y ceros de un sistema cuya TZ es
, ROC 1
1
−
z z
H z
si expresamos en potencias positivas de Z multiplicando por z numerador y
denominador
ROC 1
1
−
z z
z
z z
z H z
cero: z=
polo: z=
Extraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, Mitra
Ej2: Calcula la función de transferencia del sistema definido por la
ecuación en diferencias y ( n )= 0. 5 y ( n − 1 )− 0. 3 y ( n − 2 )+ 2 x ( n − 1 )+ x ( n − 3 ).
Si tomamos transformadas Z en ambos miembros y aplicamos las
propiedades de linealidad y desplazamiento temporal tenemos
1 2 1 3 Y z z Y z z Y z z X z z X z
− − − − − + = +
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−1 −0.5 0 0.5 1
−
−0.
−0.
−0.
−0.
0
1
Im(z)
Re(z)
( 0. 5 0. 3 )
2
2
1 2
1 3
3
3
1 2
1 3
− −
− −
− −
− −
zz z
z
z z
z z
z
z
z z
z z H z
ceros:
z j
z j
polos:
0.2500-0.4873j
0.2500+0.4873j
z
z
z
Ejercicio: Determina la función de transferencia del sistema a partir del diagrama
de polos y ceros anterior.
Interpretación del diagrama de Polos y Ceros.
Podemos interpretar el significado de los ceros y los polos de un sistema
representando 20 log 10 H ( z )
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Ejercicio: Dibuja el diagrama de polos y ceros de un sistema de
promediado móvil de orden N.
4.3.2 Comportamiento temporal de un sistema según la localización de
polos y ceros.
Existe una relación entre el diagrama de polos y ceros y el comportamiento
de un sistema. Veamos las relaciones existentes para sistemas causales,
dependiendo de que los polos estén contenidos en z > 1 , z < 1 , ó z = 1. En
este último caso se dice que están sobre la CIRCUNFERENCIA UNIDAD.
Sistema con un polo simple (debe ser real)
ROC z a az
h n aun H z
n z > −
−
1
El sistema tiene :
polos z a
ceros z
La siguiente gráfica muestra las diversas posibilidades de localización y la
respuesta temporal
Extraído de: Tratamiento Digital de Señales. J.G. Proakis
Sistema con un polo doble (debe ser real)
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( )
ROC z a
az
az h n na un H z
n z >
−
−
−
:
1
1 2
1
El sistema tiene :
: (doble)
polos z a
ceros z
La siguiente gráfica muestra las diversas posibilidades de localización y la
respuesta temporal
Extraído de: Tratamiento Digital de Señales. J.G. Proakis
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Función de transferencia para sistemas LTI de coeficientes constantes.
Sabemos que la función de transferencia de un sistema es:
∑^ [ ]
∞
=−∞
−
k
k H ( z ) hkz
y para sistemas LTI de coeficientes constantes podemos expresar como
consideramo 1
1
1
0
∑
∑
=
−
=
−
a
az
bz
X z
Y z H z N
k
k k
M
k
k k
CASO 1:
Si a k =0 para 1≤k≤N
∑ ∑
−
=
− = =
M
k
M k M k
M
k
k k bz z
H z bz 0 0
El sistema tiene M ceros, y un polo de orden M en el origen. Dado que el
sistema solo tiene polos triviales en z=0 se dice que es un sistema TODO
CEROS.
La respuesta impulsional es finita por lo que también se le llama sistema
FIR o sistema de media Móvil (sistema MA)
CASO 2:
Si b k =0 para 1≤k≤N
consideramos 1
0
0
1
0 = =
∑ ∑
−
=
−
a
az
bz
az
b H z N
k
N k k
N
N
k
k k
El sistema tiene N polos, y un cero de orden N en el origen. Dado que el
sistema solo tiene ceros triviales en z=0 se dice que es un sistema TODO
POLOS.
La respuesta impulsional es infinita por lo que también se le llama sistema
IIR o sistema Autoregresivo (sistema AR)
CASO 3:
En general el sistema tendrá ceros y polos, (N polos y M ceros, más los
ceros y polos en z=0 y z=∞ que no se cuentan explícitamente). Este tipo de
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sistema es IIR (siempre que los polos no se cancelen con ceros). También
se dice que son sistemas ARMA.
4.4 Transformadas Z inversa. (TZI)
Sabemos que la transformada Z de una secuencia x(n) esta completamente
especificada a partir de su transformada y la región de convergencia.
Nuestro objetivo ahora es obtener la secuencia original a partir de la TZ y
la ROC. Existen varios procedimientos:
- Cálculo directo mediante integración de contorno.
- Inspección directa.
Expansión en serie de términos z y z
- Expansión en fracciones simples.
4.4.1. Cálculo directo mediante integración de contorno.
El procedimiento directo supone el cálculo de la integral de contorno
H z z dz j
hn
C
n ∫ ′
−
1 () 2
[ ]
mediante la aplicación del teorema de los residuos de Cauchy, que
dejaremos para cursos posteriores. Proakis pg 187,188, 189.
4.4.2. Inspección directa.
La transformada se obtiene comparando nuestra expresión con una tabla de
las transformadas más comunes
Ej1 :
1
−
ROC z
z
X z Æ ( )
x ( n ) un
n
Ej2 : : 1
1
1
>
−
−
ROC z z
z X z Æ ( ) ( 1 ) ( 1 )
1 = − −
− x n un
n
Ej3 :
1
−
ROC z
z
X z Æ (^1 )
xn = − u n
n
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Sea
∑
∑
=
−
=
−
= (^) N
k
k k
M
k
k k
az
bz H z
0
0 ( )
Si M ≥ N , podemos realizar la división de los polinomios y expresar como:
congradodeP(z)menorqueN
0
0 ∑
∑
=
−
−
=
− = + N
k
k k
M N
k
k k az
Pz H z cz
El cálculo de la inversa del primer término es inmediato ya que se trata de
una suma de impulsos retardados y multiplicados por los factores ck.
Ejemplo:
1 2
1 2 3
− −
− − −
z z
z z z
H z realizando la división
1 2
1 1
1 0. 8 0. 2
− −
− −
z z
z H z z
Si M
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La transformada inversa de cada una de las fracciones simples es
inmediata. Para sistemas causales, cada fracción simple tiene una ROC
z > p k y da lugar a un término del tipo:
h ( n ) A ( p ) u [ n ]
n k = k k
La inversa será:
∑
N
k
n h n Ak pk un
1
( ) ( ) [ ]
Ejemplo:
Calcula la respuesta impulsional de un sistema causal cuya función de
transferencia es
1 1
1
− −
−
z z
z
z z
zz H z
Si descomponemos en fracciones simples:
1
2 1
1
1 0. 2 1 0. 6
− −
z
A
z
A
H z
Ahora calculamos los residuos,
- 2
1
1
- 2
1 1 =
=
−
−
=
−
z
z z
z A z H z
- 6
1
1
- 6
1 2 =− −
=−
−
−
=−
−
z
z z
z A z H z
Luego,
[] 2. 75 ( 0. 2 ) [ ] 1. 75 ( 0. 6 ) [ ]
1 1
hn un u n
z z
H z
n n = − −
− −
Polos de multiplicidad superior a 1:
Si H(z) tiene N polos simples en z = pk y un polo de multiplicidad L en
z = q la descomposición general es:
