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Transformada de fourier, Ejercicios de Matemáticas Aplicadas

Universidad de La FronteraMatemáticas Aplicadas

Ejercicios resueltos de Transformada de Fourier

Tipo: Ejercicios

2018/2019

Subido el 02/07/2019

Personaje.CL01
Personaje.CL01 🇨🇱

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1. Considere la función f : E —+R definida como: fit sip]1 a) Usando la definición demuestre que: — cos 1 FAO] () =2- — E b) Usando el resultado anterior, la definición de transformada inversa de Fourier y que e% = cosÓ + ¿sen O demuestre que: E 1 — cos 7 2 do = 1. J ar 2 a) Como f(t) =1—|!| es una función par, para |t| < 1, aplicando la definición tenemos: f Nnes"dt f (1 IS |e]) sen(sot) de 1 FIA) ! (1 — 2) cos(wt)de — COS ZA b) De acuerdo a la definción de transformada inversa de Fourier tenemos: 1 7%, 1-cosw a E A > f A 1) De donde podemos escribir: 1[ f% 1-cos > [/ E costo 1) | =D. 1 Con argumentos similares al item (a) obtenemos: 2 [7 1-cosw =- ———— (008 (w E) dis = DH. [ cos (us 2) des = (0) Ss 12 Considerando que f(0) = 1, nos permite obtener: 1 080 y ha 3 2. La propiedad de Modulación de la Transformada de Fourier afirma que si se conoce FF (t)] () = F (1), entonces para todo ¿y E R se cumple que: Ff (0) cos(i0n1)] (u) FF sem (at) a) = [Flu + a) — FF (co «co (2) Aplicando la propiedad de modulación calcule: FF (o +) + Flor) (1 sent 1642 b) la transformada inversa de Fourier de F (1) = e 4% cos (20 — 6). a) Como F [77] (w) = qa. Usando (2) obtenemos a) la transformada de Fourier de f (1) = 1 E (E ¿aporta apo] A (a) o.0] (a) = 3 (Get Get] E fent loa], b) Como Fl[f] (w) = Fw) = e eos2(w-—3), aplicando la dualidad, y luego desplazamiento en tiempo obtenemos: FEA cos 2 (w—3)] (p) = 2rf(—p) ee [e cos (26)] (p) = Como F [ell] (p) = A usando la propiedad (1) obtenemos: 2 El 2. , 2 ) A NE ES Luego haciendo —p = | obtenemos: ph 1 1 1) = lat ) 1. Sea a € R*, calcule la transformada de Fourier de f (£) = p (t+ a) — p (ta). Aplicando la definición de transormada de Fourier tenemos: FIA] = Flult+a)l-Flu(t- a)] 1 nee p(taje 7 cole = io din [e ml] 1 iwa —iwa' Llene) = 7 sen (00). 2. Para cada caso encuentre la transformada de Fourier inversa : Z sen (a (1 — 2)) > qeria 3) 9) -/ a 1) MO a) Derivando con respecto a w obtene: ete) =F E) (uu) = melo) como F[e%*f (1)] = eb 2) y _J1 lia, entonces Fl [toco] (w) = Ele? f (1£)], es decir que: g (1) = Lp (0). 1 b) 2 (0 —1)-3-(w 1) = (i(w — 1))2+24 (w-— 1)-3 = (34+1(w0-1)(-1+4(W-1), luego aplicando fracciones parciales y propiedades se obtiene hc) = “F [ee u(t)] = F[-eEMD p(t—1)] + Fe DE (e), luego aplicando la transformada inversa obtenemos que: h(t) = EMI pt 1) + EFD (e — 1) 3. Encuentre la solución de la ecuación diferencial ordinaria: 2” (1) + 61' (1) + 52 (t) = nó (t— 7). Aplicando transformada de Fourier y teniéndo en consideración las propiedades para la derivada y desplazamiento en el tiempo tenemos: (io)? X (10) +6 (iw) X (w) +5X (w) = re", donde F[X (t)] (4) = X (c). Despejando X (:) de la ecuación anterior tenemos: rn 6) +5 Separando en fracciones parciales podemos escribir: ' rn 1 1 —rwi Inviertiendo la transformada de Fourier y teniendo presente la propiedade de desplazamiento en el tiempo obtenemos como solución: 2 (t) = == (E — E) y (t 1). 4. Aplicando transformada de Fourier en el espacio encuentre la solución del problema: 1 u(x,0) = gar, er. Aplicando transformada de Fourier a la variable espacial y teniéndo en cuenta la propiedad para derivadas tenemos: (iv) Us leo, £) = (io? U (u, 1), Por lo tanto la solución a (4) es dada por: úl (w,t) = A (6) cos (au*t) + B (1) sen (au*t), donde A (w) y B () son constantes en t, las que son determinadas haciendo uso de las condiciones iniciales 8(w.0) = A(u)=F(w), (0,0) = arB (e) =3(w), esto significa que la solución a (1) es determinada por Mw, t) = Fco) cos (att) + 0) sen (cuét). (5) Luego aplicando transformada de Fourier inversa a (5) obtenemos: u(x,t)= fl (1) cos (cu*t) + 5 7 (ws) sen ( (a)] edo, que es lo que queríamos demostrar. 2. Es sabido el hecho que: lo siw<0 l siw>0D" S5J0=5 + Ju) = —imsgn(u), donde sgn (1) = [ Utilizando lo anterior calcule la Transformada de Fourier de: sen (24) NS La función seno en el numerador de h (1) sugiere aplicar propiedad de modulación, que afirma: F (9 (t) sen (at)] (w) = 5H +) — 9 (w—«)]. 1 Para ello escribamos + (£) = y (1) sen (28), donde y (t) = PRES fracciones parciales podemos escribir: 1 1 t-2 ES (5 - Fa): 1-3 (75 w-+[5]|w). Para determinar las transformadas indicadas anteriomente tenemos: Separando en Luego: = Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo y el hecho dado en el enunciado tenemos: 1 = —ime*" sen (u 4] (1) = sen (6). = Recordando el hecho que F [e] (65) = piedad de multiplicación por 1 tenemos: ! 1 FP [==] E El (2) A A = 6 m5 ) ar al pla lol = reel (E- ,) . leo] dlw)= 5 [ino sen (u) + mel (Es + y] . 3» la propiedad de simetría y la pro- al lu) = —rié Por tanto: Finalmente tenemos: A i +2 hlw) = 5 [ramon sen (w +2) + neta ( = Si 2) + inet sen (9 — 2) — noo (