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TEMA 5
TRANSFORMADA DE LAPLACE
El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja , y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja. Si esa ecuación algebraica se resuelve en para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales. Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución. VARIABLE COMPLEJA La variable es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notación empleada para se indica en la siguiente ecuación: Donde es la parte real y es la parte imaginaria. FUNCIÓN COMPLEJA F(s) Una función compleja , tiene una parte real y una imaginaria: Donde y son cantidades reales. La magnitud de es
Y el ángulo de es El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de es Se dice que una función compleja es analítica en una región, si y todas sus derivadas existen en esa región. Los puntos del plano en los que la función es analítica, reciben el nombre de puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano en los que la función no es analítica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función es igual a cero, se denominan ceros TRANSFORMADA DE LAPLACE Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace. Definimos: una función de tiempo tal que para una variable compleja transformada de Laplace de un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace. Entonces la transformada de Laplace de está dada por El proceso inverso de hallar en tiempo , a partir de la transformada de Laplace , se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de la transformada inversa de Laplace es
Para funciones como Y similares, la abcisa de convergencia es igual Para funciones que aumentan más rápidamente que la función exponencial, sin embargo, no es posible encontrar valores adecuados de la abcisa de convergencia. Por lo tanto, funciones tales como no tienen transformada de Laplace Si una función tiene transformada de Laplace, la transformada de la función , donde es una constante, está dada por Esto es obvio, partiendo de la definición de transformada de Laplace. En forma similar, si las funciones tienen transformada de Laplace, la transformada de Laplace de la función está dada por Nuevamente, la prueba de esta relación es evidente a partir de la definición de la transformada de Laplace. A continuación, se determinan las transformadas de Laplace de algunas funciones habitualmente encontradas. FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea la función exponencial
donde y son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial puede obtenerse como sigue: como puede verse, la función exponencial produce un polo en el plano complejo. Puede demostrarse, empleando algunos postulados de la teoría de variable compleja, que esta solución resulta válida para cualquier valor complejo de en el cual es analítica, es decir, con excepción de los polos de FUNCIÓN ESCALÓN Sea la función: para para donde es una constante. Obsérvese que se trata de un caso especial de la función exponencial donde. La función escalón queda indefinida en. Su transformada de Laplace está dada por la expresión siguiente, la transformada obtenida, es válida en todo el plano excepto en el polo. La función escalón cuya altura es la unidad, recibe el nombre de función escalón unitario. La función escalón unitario que se produce en , se denota a menudo como La función escalón de altura , también se puede escribir como La transformada de Laplace de la función escalón unitario, definida como
En forma similar, la transformada de Laplace de se puede obtener de la siguiente forma: La transformada de cualquier función transformable de Laplace, se puede obtener fácilmente multiplicando por e integrando el producto desde hasta Una vez conocido el método para obtener la transformada de Laplace, no es necesario derivar la transformada de Laplace de cada vez. TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN Se requiere obtener la transformada de Laplace de una función trasladada. donde esta función es cero para. Por definición, la transformada de Laplace de es cambiando la variable independiente de donde se obtiene
donde y entonces Esta última ecuación establece que la traslación de la función por (donde ) corresponde a la multiplicación de la transformada por FUNCIÓN PULSO Sea la función pulso siguiente: para para donde y son constantes. La función pulso se puede considerar como una función escalón de altura que comienza al tiempo y a la que se superpone una función escalón negativa de altura que comienza al tiempo , es decir, Entonces se obtiene la transformada de Laplace de comoo
comparación con las constantes de tiempo del sistema, el impulso de entrada se puede aproximar por una función impulso. El concepto de función impulsiva resulta muy útil al diferenciar funciones discontinuas. La función impulso unitario puede considerarse como la derivada de la función escalón unitario en el punto de discontinuidad , o Inversamente, si se integra la función impulso unitario , el resultado de la función escalón unitario. Con el concepto de la función impulsiva se puede diferenciar una función que contenga discontinuidades, dando impulsos cuyas magnitudes son iguales a las de la discontinuidad correspondiente. MULTIPLICACIÓN DE Si la función es transformable por Laplace, y esa transformada es , la transformada de se puede obtener del siguiente modo: Puede verse que la multiplicación de por tiene el efecto de reemplazar por en la transformada de Laplace. Inversamente, reemplazar por es equivalente a multiplicar. por Nótese que puede ser real o compleja.
La relación dada es útil para hallar la transformada de Laplace en funciones como y TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: donde es el valor inicial de evaluada en. Para una función dada los valores de y pueden ser iguales o diferentes. La distinción entre y es importante cuando tiene una discontinuidad en porque en ese caso comprende una función impulsiva en. Si La ecuación quedaría: Para probar el teorema de diferenciación real, se procede como sigue. Integrando la integral de Laplace por partes, se tiene por tanto de ahí sigue que
contendrá funciones oscilatoria o exponencialmente creciente en el tiempo, respectivamente, y el no existirá. En tales casos, no se aplica el teorema del valor final. El teorema del valor final puede enunciarse como sigue. Si y son transformables por Laplace, si es la transformada de Laplace de y si existe entonces El teorema del valor final establece que el comportamiento de en estado estacionario, es igual al de en la vecindad de. Así, el valor de en igual a infinito se puede obtener directamente de. TEOREMA DEL VALOR INICIAL El teorema del valor inicial es la contraparte del teorema del valor final. Utilizando este teorema se puede hallar el valor de en directamente de la transformada de Laplace de. El teorema del valor inicial no da el valor de exactamente en , sino en un tiempo ligeramente mayor que cero. El valor inicial puede presentarse como sigue: si y son transformadas por Laplace, y si existe el entonces Al aplicar el teorema del valor inicial, no se esta restringiendo a las ubicaciones de los polos de. Así el teorema del valor inicial es valido para la función sinusoidal. Conviene notar que el teorema del valor inicial y el del valor final brindan una adecuada verificación de la solución, ya que permiten predecir el comportamiento del sistema en el dominio del tiempo, sin tener que transformar de nuevo las funciones en a funciones del tiempo
TEOREMA DE INTEGRACIÓN REAL
Si es de orden exponencial, entonces existe la transformada de y esta dada por donde y evaluada en. Como vemos, la integración en el dominio del tiempo se convierte en división en el dominio de. Si el valor inicial de la integral es cero, la transformada de Laplace de la integral de queda dada por. El teorema de integración real dado por la ecuación se puede modificar levemente, para afrontar el caso de la integral definida. de. Si es de orden exponencial, la transformada de Laplace de la integral definida queda dada por donde Este teorema también se denomina de integración real. TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN COMPLEJA Si es transformable por Laplace, entonces, excepto en los polos de ,
Si y son continuas por segmentos y de orden exponencial, la transformada de Laplace de puede obtenerse como sigue: donde TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE El proceso matemático de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión en función del tiempo, se denomina transformación inversa. Como notación para la transformación inversa, se utiliza de modo que Al resolver problemas usando el método de la transformada de Laplace, se enfrenta el problema de cómo determinar pariendo de. Matemáticamente se obtiene con la siguiente integral de inversión:
donde , la abcisa de convergencia, es una constante real elegida mayor que las partes reales de todos los puntos singulares de. Así, el camino de integración es paralelo al eje y esta desplazado del mismo una distancia. Este camino de integración esta a la derecha de todos los puntos singulares. Afortunadamente, para hallar a partir de hay procedimientos más simples que efectuar esta integración directamente. Un modo conveniente es utilizar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, en la tabla la transformada de Laplace debe aparecer en forma inmediatamente reconocible. Frecuentemente la función buscada puede no aparecer en las tablas de transformadas de Laplace. Si no se encuentra en la tabla una transformada determinada, se puede desarrollar en fracciones parciales, y escribir en términos de funciones simples de , para las cuales se conocen las transformadas inversas de Laplace. Nótese que estos métodos simples para hallar transformadas inversas de Laplace, se basan en el hecho de que la correspondencia única entre una función del tiempo y su transformada Laplace inversa, se mantiene para cualquier función del tiempo que sea continua. MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE. , la transformada de Laplace de , frecuentemente es de la forma donde son polinomios en , y el grado de es menor que el de. Si se descompone en sus componentes y si las transformadas inversas de Laplace de la segunda parte de la igualdad son obtenidas fácilmente, entonces donde son las transformadas inversas de Laplace de , respectivamente La transformada inversa de Laplace así obtenida , es única, excepto posiblemente en puntos donde la función de tiempo es discontinua. La ventaja del procedimiento de expansión es que los términos individuales son funciones muy simples, en consecuencia, no es necesario recurrir a una tabla de
Nótese que, como es una función real del tiempo, si son complejos conjugados, los residuos también son complejos conjugados, por lo que solo uno de los dos debe evaluarse, ya que el otro se conoce automáticamente. Como se obtiene como EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CUANDO TIENE POLOS MÚLTIPLES En lugar de tratar el caso general, se utiliza un ejemplo para mostrar como obtener la expansión en fracciones parciales de. Sea la siguiente : La expansión en fracciones parciales de esta cubre tres términos donde se determinan como sigue. Multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por , se obtiene Haciendo entones , la ecuación anterior da También diferenciando ahora ambos miembros de la ecuación con respecto a se obtiene
Si se hace , en la ecuación anterior, entonces Diferenciando ahora ambos miembros de la ecuación respecto a , el resultado es Del análisis precedente se puede ver que los valores puede determinarse sistemáticamente del siguiente método: Así, se obtiene
