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CONTENIDO
- Señal en tiempo discreto
▪ Función en tiempo discreto
▪ Muestreo de una señal continua
- Señales discretas importantes
▪ Impulso unitario discreto
▪ Escalón unitario discreto
▪ Señal exponencial discreta
▪ Secuencia periódica y no periódica
▪ La función potencial discreta
▪ Señal causal y anticausal
- Operaciones con señales discretas
▪ Suma de señales y multiplicacióñ pór uña cóñstañte
▪ Córrimieñtó hórizóñtal de uña señal. Atrasó y adelañtó
▪ Cambió de escala de uña señal
▪ Reflejó de uña señal hórizóñtal
- Transformada Zeta
▪ Defiñicióñ de la trañsfórmada Z
▪ Región de convergencia de la transformada Z
▪ La serie geómetrica y su cóñvergeñcia
▪ La transformada Z inversa
▪ Liñealidad de la trañsfórmada iñversa
▪ Trañsfórmada zeta pór fraccióñes parciales
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reproducción, puesta a disposición del público y en general cualquier otra forma de explotación
de toda o parte de la misma. La utilización no autorizada de esta obra, así como los perjuicios
ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial de la Universidad Peruana de
Ciencias Aplicadas., darán lugar al ejercicio de las acciones que legalmente le correspondan y,
en su caso, a las responsabilidades que de dicho ejercicio se deriven.
- SEÑAL DE TIEMPO DISCRETO
Función en tiempo discreto
Una función o señal en tiempo discreto usa como argumento la variable n la cual solo toma
valores enteros. Dicha variable se llama tiempo discreto.
Tal función la representamos como 𝑥
[
]
. El valor de la función no es necesariamente entero,
pero si lo es el valor de la variable independiente n.
Tomemos como ejemplo la función o señal discreta 𝑥[𝑛] = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋/ 3 ), siendo 𝑛 cualquier
número entero.
A continuación, tabulamos algunos valores para la variable independiente 𝑛 de esta función:
[
]
He aquí, una gráfica de los valores tabulados usando la función continua 𝑓
= sen (
𝜋𝑥
3
) de
la cual solamente escogemos los valores enteros
Figura 1. Señal de tiempo discreto periódica
Notemos primeramente que los valores de la función (señal) no son necesariamente enteros. En
segundo lugar, observemos que tales valores de 𝑥
[
]
forman una secuencia periódica puesto que la
función “madre” de donde provienen estos valores es una función periódica. Calculando el periodo
(véase la unidad 3) aquel es igual a 𝑇 = 6 y también observamos que cada 6 unidades se repiten los
valores de 𝑥[𝑛]. Esto sucede porque el periodo de la función “madre” es entero.
Veamos otro ejemplo similar: Sea 𝑥
[
]
= sen(𝑛), veamos en este caso directamente la gráfica de la
señal discreta:
Figura 2. Señal de tiempo discreto no periódica
valor de la señal 𝑥(𝑡) para 𝑡 = 𝑛𝑇. La señal 𝑥(𝑛𝑇) es una secuencia de números (valores del
muestreo), y por lo tanto, se trata de una señal en tiempo discreto.
Veamos un ejemplo: sea nuevamente 𝑥(𝑡) = sen(𝑡) y tomemos 𝑡 =
1
4
𝑛. Con esta elección, el
intervalo entre cada muestra de la señal en tiempo continuo será de 𝑇 =
1
4
. A este número se le
denomina el intervalo de muestreo. La gráfica de la secuencia de muestras que constituye la señal
discreta se muestra en la figura:
Figura 3 Muestreo de la señal continua 𝐬𝐞𝐧(𝒙) con intervalo(periodo) de muestreo 𝑻 =
𝟏
𝟒
En color morado podemos ver los valores de la variable entera n la cual también indica la posición de
la muestra (las muestras hacia la izquierda están señaladas con signo negativo).
Verifique calculando los valores numéricos que esta secuencia no es periódica.
En resumen, es posible para una señal continua señalar solamente los valores definidos por un valor
positivo 𝑇 𝑠
el cual es llamado la frecuencia de muestreo (S del inglés SAMPLING). Veamos esto con un
gráfico más:
Figura 4 Señal continua restringida a valores discretos definidos a partir de 𝑻
𝒔
EL valor 𝑇 𝑠
es llamado el periodo de muestreo y aquel indica que se escoge valores de la función con
un intervalo de tiempo 𝑇 𝑠
. Este procedimiento se conoce como el muestreo de una señal continua.
La inversa de 𝑇 𝑠
es conocida como la frecuencia de muestreo (𝑓
𝑠
1
𝑇 𝑠
) e indica cuantas muestras de
la señal continua 𝑥(𝑡) se toman en una cierta unidad de tiempo. Por ejemplo, si 𝑓 𝑠
4 muestras por segundo, entonces eso indica que en un segundo se han tomado cuatro muestras de
la señal las cuales se toman cada 0.25 segundos.
Surge una pregunta inevitable: ¿Para qué discretizamos las señales?
En la figura 5 se muestra un esquema simplificado de un sistema que procesa una señal discreta
𝑥[𝑛] y produce una nueva señal 𝑦[𝑛]. La señal 𝑥[𝑛] es el muestreo de una señal continua 𝑥(𝑡) y a la
vez la señal de salida 𝑦
[
]
debe convertirse en una señal continua (analógica) 𝑦
Las señales continuas pertenecen al mundo real y su discretización tiene como objetivo facilitar su
procesamiento en un equipo electrónico. Toda la electrónica digital se basa en ese principio.
- Señales discretas más importantes
El impulso unitario discreto 𝜹[𝒏]
Esta señal es la versión discreta del delta de Dirac definido en la sección 2 del curso. Su definición es
mucho más sencilla que la del delta de Dirac pero posee muchas propiedades análogas a aquella.
𝛿[𝑛] = {
El impulso unitario discreto es la versión más sencilla de una señal discreta de duración finita.
Podemos también definir una traslación del impulso unitario discreto:
𝛿[𝑛 − 𝑚] = {
La substracción de dos escalones unitarios cuya diferencia de valor de inicio es 1, digamos 𝑢[𝑛] −
𝑢[𝑛 − 1 ] es un impulso unitario. En este caso, usted puede verificar que:
[
]
[
]
[
]
Del mismo modo:
𝑢[𝑛 − 𝑚] − 𝑢[𝑛 − (𝑚 + 1 )] = 𝛿[𝑛 − 𝑚]
Consideremos ahora la señal discreta llamada ventana:
2 𝑑
[
]
0 , 𝑛 que toma cualquier otro valor
De acuerdo con las propiedades del escalón unitario, por lo tanto, usted puede comprobar que:
2 𝑑
[𝑛] = 𝑢[𝑛 + 𝑑] − 𝑢[𝑛 − (𝑑 + 1 )]
La señal exponencial discreta
Tal señal puede ser de base real o compleja. Se define como
𝑥[𝑛] = {
𝑛
El conjunto D define si esta señal es de duración finita (si D es finito) o bien infinita (si D es infinito) o
bien si la señal se propaga hacia la derecha (por ejemplo, si 𝐷 = { 0 , 1 , 2 … }) o si la señal se propaga
hacia la izquierda (por ejemplo, si 𝐷 = {… − 2 , − 1 , 0 }).
Veamos algunos ejemplos:
[
]
𝑛
0 , otro valor
Este ejemplo corresponde a la secuencia 1 , 0. 8 , 0. 64 , 0. 512 , 0. 4096 , la cual es estrictamente
hablando, una secuencia geométrica finita.
Un segundo ejemplo:
𝑥[𝑛] = {
𝑛
0 , otro valor
La secuencia de valores en este caso corresponde a una secuencia geométrica infinita. En este caso la
secuencia tiende a cero cuando n tiende a infinito.
Un ejemplo más:
[
]
𝑛
0 , otro valor
Veamos ahora una exponencial de base compleja:
𝑥[𝑛] = {
𝑛
0 , otro valor
Esta señal es una secuencia de valores complejos y no puede ser graficada en el eje de coordenadas
convencional. Sin embargo, es posible graficar tanto
[
]|
como 𝐴𝑟𝑔
[
])
tal como se hizo en la
unidad 3 (para los espectros de magnitud y fase). Note también que este ejemplo es un caso
particular de la señal discreta 𝑥
𝑗𝑛𝜃
Finalmente, una señal que se propaga a la izquierda:
𝑦[𝑛] = {
𝑛
0 , otro valor
Problema 1 - Exprese la señal discreta como una suma de senos, cosenos y un posible término
constante.
Para solucionar este problema, teniendo en cuenta que el periodo es igual a 3, podemos intentar
usar las funciones cos [
2 𝜋
3
𝑛] 𝑦 sen [
2 𝜋
3
𝑛] las cuales tienen periodo 3. Entonces podemos escribir la
señal discreta en consideración como:
𝑥[𝑛] = (𝐴 + 𝐵cos [
𝑛] + 𝐶sen [
𝑛]) 𝑢[𝑛]
Donde A , B , C deben ser calculadas con los valores conocidos de 𝑥[ 0 ] = 1 , 𝑥[ 1 ] = − 1 , 𝑥[ 2 ] = 0.
Reemplazando y operando tenemos el sistema de ecuaciones lineales:
1
2
√
3
2
1
2
√
3
2
Resolviendo 𝐴 = 0 , 𝐵 = 1 , 𝐶 = −
1
√
3
Y, por lo tanto: 𝑥[𝑛] = (cos [
2 𝜋
3
𝑛] −
1
√
3
sen [
2 𝜋
3
𝑛]) 𝑢[𝑛]
Este es un ejemplo de una serie de Fourier discreta, los métodos generales para calcular dichas series
y para determinar las propiedades de dicha serie se estudian en los cursos de Procesamiento Digital
de Señales.
También podríamos escribir la serie en forma exponencial tal como se hizo para una serie de Fourier
trigonométrica de una señal periódica continua. Usando las expresiones del seno y del coseno en
forma exponencial tenemos que:
[
]
−𝑗
2 𝜋
3
𝑛
𝑗
2 𝜋
3
𝑛
[
]
Queda para usted señor lector comprobar esta expresión. Note que como serie exponencial se sigue
cumpliendo que los coeficientes de las exponenciales 𝑒
𝑗𝜃
−𝑗𝜃
son conjugados al igual que la serie
de Fourier exponencial para una señal continua periódica.
La función potencial discreta
Se define como 𝑥[𝑛] = {
𝑘
Dependiendo del conjunto D tendremos diferentes señales discretas.
Por ejemplo, si 𝐷 =
tenemos que la señal es de la forma:
[
]
𝑘
[
]
(k: entero positivo)
También, una combinación lineal de señales de este tipo produce una señal polinomial del tipo:
[
]
0
𝑘
𝑘
𝑘− 1
2
𝑘− 2
𝑘− 1
1
𝑘
[
]
Un ejemplo de esto es una señal cuadrática tal como:
[
]
2
[
]
Naturalmente pueden existir señales finitas de este tipo y también señales que se propagan hacia la
izquierda.
Señal causal y anticausal
Entre las señales que se propagan hacia la derecha destacamos las llamadas señales causales, es
decir, aquellas señales que toman valores nulos para todo valor negativo de la variable
independiente. La primera señal que se nos viene a la mente es el escalón unitario o cualquier otra
que use el escalón unitario para su definición, por ejemplo 𝑥
[
]
[
]
, sin embargo, no son
las únicas posibles.
Entonces podemos decir que una señal causal discreta es toda señal que cumple que:
𝑥[𝑛] = 0 , ∀𝑛 < 0
Del mismo modo, podemos considerar la noción de una señal que es nula para todo 𝑛 ≥ 0.
Evidentemente, tal señal a la que denominaremos anticausal es en cierto sentido el “opuesto” de
una señal causal.
Antes de continuar, citemos el ejemplo más elemental de una función anticausal el cual es la señal
𝑢[−𝑛 − 1 ]. Procedamos a construir la gráfica de esta señal usando las propiedades del escalón
unitario.
𝑢[−𝑛 − 1 ] 1 1 1 1 0 0 0 0
Considerando pues, ambos tipos de señales, podemos afirmar que cualquier señal que no es causal
ni anticausal debe ser la suma de dos señales de cada uno de esos dos tipos:
𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑙
𝑎𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑙
Esta afirmación se puede verificar en muchos ejemplos y nos hace concluir que toda señal tiene una
parte causal y otra parte anticausal.
Veamos un ejemplo para 𝑘 = 2
Este efecto se conoce como upsampling o bien sobre-muestreo y corresponde físicamente al caso
cuando disminuimos el periodo de muestreo (de 𝑇
𝑠
a
𝑇
𝑠
𝑘
) lo cual equivale a decir que aumentamos la
frecuencia del muestreo (lo que quiere decir que en una misma unidad de tiempo tomamos más
muestras).
En el caso que multiplicamos la variable independiente de la señal por un número positivo r 𝑟 > 1 ,
es decir cuando pasamos de la señal 𝑥
[
]
a la señal 𝑥
[
]
entonces la señal experimenta el
fenómeno de compresión horizontal, en otras palabras, el ancho de la gráfica de la señal se reduce r
veces respecto a su ancho original.
Tomemos ahora 𝑟 = 𝑘 un número entero positivo y veamos que sucede con el muestreo de una
señal continua cuando pasamos de los valores 𝑡 = 𝑛𝑇 𝑠
a los valores de muestreo 𝑡 = 𝑘𝑛𝑇
𝑠
. Veamos
esto gráficamente cuando 𝑘 = 2 :
Este efecto se conoce como downsampling o bien sub-muestreo y corresponde físicamente al caso
cuando aumentamos el tamaño del periodo de muestreo (de 𝑇 𝑠
a 𝑘𝑇
𝑠
) lo cual equivale a decir que
disminuimos la frecuencia del muestreo (lo que quiere decir que en una misma unidad de tiempo
tomamos menos muestras).
Reflejo de una señal (horizontal y vertical)
Cuando manipulamos una señal discreta 𝑥 = 𝑥[𝑛] (leemos “ x en función de n ”) tenemos dos
posibilidades de crear nuevas señales. En el primer caso hacemos un cambio de signo de la variable
independiente (𝑛 → −𝑛) lo cual nos produce la nueva señal 𝑦 = 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛] y en el segundo caso,
hacemos un cambio de signo de la variable dependiente (es decir, cambiamos el signo de la función
(𝑥 → −𝑥) lo cual nos produce la nueva señal 𝑤 = 𝑤[𝑛] = −𝑥[𝑛]. En ambos casos, la gráfica de la
nueva señal tiene un tipo de simetría respecto a la señal inicial.
Examinemos estos dos casos:
En el primer caso, al igual que una señal continua tenemos una transformación de “espejo” de la
gráfica usando el eje vertical:
Consideremos la gráfica de la siguiente señal:
Al cambiar 𝑛 → −𝑛 se produce la reflexión de la gráfica respecto del eje vertical:
En una señal par 𝑥[𝑛] = 𝑥[−𝑛], la reflexión con el eje vertical de coordenadas no altera la gráfica de
la señal.
En el segundo caso, al igual que una señal continua tenemos una transformación de “espejo” de la
gráfica usando el eje horizontal:
Lo cual representa una suma de potencias positivas y negativas de la variable z con coeficientes
tomados de los respectivos valores de la señal discreta.
Ejemplo: Un filtro FIR simétrico es un sistema de procesamiento de señales discretas definido por
una función de transferencia del tipo (véase la sección 12 para más detalles):
ℎ[𝑛] = ∑ 𝑏
𝑘
𝛿[𝑛 − 𝑘]
𝑁− 1
𝑘= 0
𝑛
, 𝑛 = 0 , 1 , … 𝑁 − 1 son los coeficientes del filtro de orden N (es decir definido por esos N
coeficientes)
Calculemos la transformada Z de la función de transferencia:
[
])
[
]
∞
𝑛=−∞
−𝑛
𝑘
[
]
𝑁− 1
𝑘= 0
∞
𝑛=−∞
Ahora intercambiamos las sumatorias tal como explicamos:
𝑍(ℎ[𝑛]) = ∑ ℎ[𝑛]
∞
𝑛=−∞
−𝑛
𝑘
𝛿[𝑛 − 𝑘]
𝑁− 1
𝑘= 0
∞
𝑛=−∞
𝑘
𝛿[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑛=−∞
𝑁− 1
𝑘= 0
−𝑛
Tal como vimos, la sumatoria
𝑘
[
]
∞
𝑛=−∞
tiene como único sumando no nulo a
𝑘
[
]
−𝑘
𝑘
[
]
−𝑘
𝑘
−𝑘
, por lo tanto, la transformada queda como:
[
])
𝑘
𝑁− 1
𝑘= 0
−𝑘
Región de convergencia ROC
Dada una sucesión {x[n]} con n ∈ ℤ. Definimos la Transformada Z como la aplicación que asocia a
{x[n]} la función compleja Z(x[n]) definida por:
𝑍(𝑥[𝑛]) = 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑧
−𝑛
∞
𝑛=−∞
La función compleja tiene por dominio la región donde converge la serie, la cual se denomina región
de convergencia de la Transformada z (ROC)
▪ Si la sucesión x[n] tiene elementos no nulos para n positivo y negativo se denomina señal
bilateral. Su ROC de la TZ es de la forma 𝑟
2
1
▪ Si x[n]=0 para n≥0 la señal se llama anticausal. El ROC de su TZ es de la forma |𝑧| < 𝑟
1
▪ Si x[n]=0 para n<0 la señal se llama Causal (unilateral). El ROC de su TZ es de la forma 𝑟 2
Nota: Para toda señal x[n], la señal a
[
]
[
]
[
]
es causal, muchas veces llamada parte causal
de 𝑥[𝑛]
La serie geométrica y su convergencia
En los ejemplos expuestos hemos tratado con señales discretas de duración finita. En tales casos, la
transformada z existe para todos los valores del plano complejo excepto quizá el valor 𝑧 = 0 cuando
se tiene potencias negativas de 𝑧. Este conjunto de valores admisibles de 𝑧, el cual constituye un
dominio de la transformada de una señal discreta adquirirá un nombre especial pronto.
En el caso de señales discretas de duración infinita, la suma que define la transformada se convierte
en una suma infinita o como se le llamó en el curso de Matemática Analítica 4, una serie infinita, y se
plantea por lo tanto el problema de la convergencia de dicha serie. En otras palabras, se plantea la
siguiente pregunta: ¿Para qué valores de la variable 𝑧, la serie infinita que define la transformada 𝑧
de una señal de duración infinita existe?
Para resolver este problema, la serie geométrica es una herramienta muy útil en muchos casos que
trataremos en este curso.
La serie geométrica en variable compleja 𝑧 ∈ ℂ se definió en el curso de Matemática Analítica 4
como una serie de potencias positivas con coeficientes iguales a 1:
𝑛
∞
𝑛= 0
Además, se estableció que esta serie converge (es decir tiene una suma finita y determinada) cuando
los valores de 𝑧 cumplen la condición |𝑧| < 1. Dicha suma de la serie para |𝑧| < 1 se demuestra que
es igual a:
𝑛
∞
𝑛= 1
2
para
Usemos este resultado para la transformada 𝑍(𝑛𝑢[𝑛]):
[
])
𝑛
∞
𝑛= 1
2
para |
O bien:
𝑍(𝑛𝑢[𝑛]) =
− 1
− 1
2
para
Nótese que estos primeros resultados de la transformada Z están expresados en función de la
variable 𝑧
− 1
lo cual se usa en la teoría de Señales y Sistemas lo mismo que en la técnica de
Procesamiento Digital de Señales. También es posible trabajar con la variable 𝑧 para lo cual hay que
hacer una simple transformación algebraica:
𝑍(𝑢[𝑛]) =
𝑧
𝑧− 1
, siendo |𝑧| > 1
Y también:
[
])
2
para
Linealidad de la trasformada Z
La linealidad es una propiedad que se extiende a todas las transformadas que se ha estudiado en
este curso.
A saber: Si 𝑍(𝑥[𝑛]) = 𝑋(𝑧) y 𝑍(𝑦[𝑛]) = 𝑌(𝑧) entonces la transformada Z de una combinación lineal
de las señales discretas ( a,b son coeficientes reales o en general complejos):
𝑍(𝑎𝑥[𝑛] + 𝑏𝑦[𝑛]) = 𝑎𝑋(𝑧) + 𝑏𝑌(𝑧)
La condición importante que hay que tener en cuenta es que los ROCs de ambas transformadas
deben tener una intersección no nula de lo contrario no es posible combinar las señales en tiempo
discreto para producir una transformada válida.
La condición de linealidad se suele expresar por medio de dos condiciones que se deducen del
principio que hemos enunciado para la linealidad: Si tomamos 𝑎 = 𝑏 = 1 entonces tendremos que la
transformada de la suma es la suma de las transformadas (siempre considerando que la intersección
de ROCs no sea nula)
[
]
[
])
Y si tomamos 𝑏 = 0 se tiene que la transformada de una señal multiplicada por una constante es
igual al producto de dicha constante por la transformada de la señal:
𝑍(𝑎𝑥[𝑛]) = 𝑎𝑋(𝑧)
La propiedad de linealidad se usa para extender considerablemente la lista de transformadas que se
puede obtener a partir de solo algunas transformadas obtenidas en base a la definición:
Problema. Calcular la transformada Z de las señales discretas:
i. 𝑥[𝑛] = sen(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛] , 𝜃
0
coeficiente real constante
ii. 𝑥[𝑛] = cos(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛] , 𝜃
0
coeficiente real constante
iii. 𝑥[𝑛] = sen(𝜃
0
𝑛 + 𝛼)𝑢[𝑛] , 𝜃
0
, 𝛼 coeficientes reales constantes
Solución:
i. Consideramos la identidad sen(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛] =
𝑒
𝑗𝜃
0
𝑛
−𝑒
−𝑗𝜃
0
𝑛
2 𝑗
y luego usamos la linealidad junto
con la transformada de una señal discreta exponencial (vea 4.3):
𝑍(sen(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛]) =
𝑗𝜃
0
𝑛
𝑢[𝑛]) −
−𝑗𝜃
0
𝑛
𝑢[𝑛])
[
𝑗𝜃 0
𝑧
− 1
−𝑗𝜃 0
𝑧
− 1
]
Efectuando operaciones:
sen
0
[
])
− 1
sen(𝜃
0
1 − 2 cos(𝜃
0
− 1
− 2
Respecto al ROC de esta transformada notemos que el ROC de cada sumando es:
𝑗𝜃
0
| = 1 por lo que el ROC de la intersección es |𝑧| > 1 lo cual es independiente del valor
de 𝜃
0
ii. Consideramos la identidad cos(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛] =
𝑒
𝑗𝜃 0
𝑛
+𝑒
−𝑗𝜃 0
𝑛
2
y luego usamos la linealidad junto
con la transformada de una señal discreta exponencial (vea 4.3):
𝑍(cos(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛]) =
𝑗𝜃
0
𝑛
𝑢[𝑛]) +
−𝑗𝜃
0
𝑛
𝑢[𝑛]) =
[
𝑗𝜃 0
𝑧
− 1
−𝑗𝜃 0
𝑧
− 1
]
Efectuando operaciones:
𝑍(cos(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛]) =
− 1
cos
0
1 − 2 cos(𝜃
0
− 1
− 2
El ROC en este caso se obtiene analizando como en i por lo que es
iii. Usemos la identidad trigonométrica:
sen(𝜃
0
𝑛 + 𝛼) = sen(𝜃
0
𝑛) cos(𝛼) + cos(𝜃
0
𝑛) sen(𝛼)
Ahora usamos la linealidad y las expresiones obtenidas en i y ii (tenga en cuenta que sen(𝛼)
y cos(𝛼) son constantes.
[sen(𝜃
0
𝑛 + 𝛼)𝑢[𝑛]] = cos(𝛼)𝑍(sen(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛]) + sen(𝛼)𝑍(cos(𝜃
0
𝑛)𝑢[𝑛])
De donde tenemos que:
𝑍[sen(𝜃
0
𝑛 + 𝛼)𝑢[𝑛]] = cos(𝛼)
− 1
sen
0
1 − 2 cos
0
− 1
− 2
− 1
cos
0
1 − 2 cos
0
− 1
− 2
Efectuando operaciones:
𝑍[sen(𝜃
0
𝑛 + 𝛼)𝑢[𝑛]] =
− 1
sen(𝜃
0
) cos(𝛼) + ( 1 − 𝑧
− 1
cos(𝜃
0
)) sen(𝛼)
1 − 2 cos
0
− 1
− 2
𝑍[sen(𝜃
0
𝑛 + 𝛼)𝑢[𝑛]] =
sen
− 1
sen
0
1 − 2 cos(𝜃
0
− 1
− 2
Transformada inversa
Si tenemos la transformada Z de una señal discreta desconocida incluyendo su ROC entonces
podemos obtener dicha señal en el tiempo discreto. La transformada inversa se denotará como:
− 1
(𝑋(𝑧)) = 𝑥[𝑛] , para 𝑧 ∈ 𝑅𝑂𝐶(𝑋(𝑧))
