Modelo de Redes: Árbol de Expansión Mínima - Ingeniería Industrial, Apuntes de Investigación de Operaciones

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Pregrado

Sesión: 11

MODELO DE REDES:

ARBOL DE EXPANSION MINIMA

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VIDEO MOTIVACIONAL:

https://www.youtube.com/watch?v=io0vh78kVxs

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METODO DE REDES

EN ALGUNOS PROBLEMAS DE

OPTIMIZACIÓN PUEDE SER ÚTIL

REPRESENTAR EL PROBLEMA A TRAVÉS

DE UNA GRÁFICA, por ejemplo: ruteo de vehículos, distribución de producto, programa de actividades en un proyecto, redes de comunicación, etc. LOS MODELOS DE REDES resultan siendo algoritmos especiales a tratar para estos casos. Una RED es una gráfica con uno o mas valores asignados a los nodos y/o a los arcos: Nodos: (a i )demanda, oferta, eficiencia, confiabilidad. Arcos: (c ij ) costo, distancia, capacidad Ejemplos: red de agua potable, red de comunicación, red logística,etc.

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GRÁFICA o grafo

ES UN CONJUNTO DE NODOS (N) Y ARCOS (A) QUE CONECTAN LOS NODOS. SE DENOTA POR: G=(N,A) LOS NODOS SE NUMERAN : 1,2,...,n LOS ARCOS SE DENOTAN (i,j) indicando que une el nodo i al nodo j i j

CONCEPTOS BASICOS

Un arco (i,j) es dirigido si

conecta i con j pero no j con i.

Una gráfica G=(N,A) es dirigida

si sus arcos están dirigidos.

En una gráfica no dirigida (i,j)

y (j,i) representan el mismo

arco (no dirigido).

i j

Pregrado Un Camino o Ruta del nodo i al nodo j es una secuencia de arcos que unen el nodo i con el nodo j: ( i ,i 1 ), (i 1 ,i 2 ), (i 2 ,i 3 ),...,(i k , j ). Esto representa la Ruta de “k” arcos. Un Ciclo es un camino que une un nodo consigo mismo:( i ,i 1 ), (i 1 ,i 2 ), (i 2 ,i 3 ),...,(i k , i )

CONCEPTOS BASICOS

Pregrado PROBLEMA: Conectar todos los nodos con el mínimo costo. MODELO DEL ÁRBOL DE EXPANSION MINIMA: Dada una red conexa no dirigida G=(N,A) con costos c ij en cada arco (i,j)  A, encontrar el Árbol Generador de costo mínimo

PROBLEMAS Y MODELOS DE REDES

ÁRBOL DE EXPANSION MINIMA La idea es ir haciendo crecer el número de nodos que pertenecen al árbol de peso mínimo. Debemos ir buscando nodos y arcos que puedan ser agregados y que satisfagan la propiedad de mantener mínimo peso.

Pregrado 10 h i d e g f b c 8 4 11 8 1 2 7 7 2 14 10 6 9 a 4 Ejemplo: Dada la siguiente red de conexiones, obtener el árbol de expansión mínima ÁRBOL DE EXPANSION MINIMA

Ingeniería Industrial Pregrado Algoritmo de Kruskal b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 1 2 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 b c d a h i g f e 4 8 7 9 14 10 (^12) 8 4 2 6 7 11 (a) (c) (e) (g) (b) (d) (f) (h)

Ingeniería Industrial Pregrado SOLUCION OPTIMA 1: h i d e g f b c 8 4 11 8 1 2 7 7 2 14 10 6 9 4 a h i d e g f b c 8 4 11 8 1 2 7 7 2 14 10 6 9 4 a Arcos: (a,b)=4, (a,h)=8, (h,g)=1, (g,f)=2, (f,c)=4, (i,c)=2, (c,d)=7, (d,e)= Peso mínimo=4+8+1+2+4+2+7+9= 37

SOLUCION OPTIMA 2:

Arcos: (a,b)=4, (b,c)=8, (h,g)=1, (g,f)=2, (f,c)=4, (i,c)=2, (c,d)=7, (d,e)= Peso mínimo=4+8+1+2+4+2+7+9= 37 Algoritmo de Kruskal

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Ejemplo 2:

Una ciudad del norte del país cuenta con un nuevo plan de vivienda el cual contara con una zona de 8 conjuntos habitacionales que se ubicaran en las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se harán las edificaciones no se encuentra dentro del casco urbano, existen limitaciones para satisfacer las necesidades de conexión de agua potable en las viviendas que se irán a construir. Se deben realizar las obras correspondientes de tal forma que todos los conjuntos habitacionales puedan estar interconectados a fin de minimizar los gastos de la obra. Por ello será importante la optimización de longitud total de las interconexiones, donde las distancias existentes entre cada conjunto habitacional están dadas en kilómetros. Se tomara para este caso como la matriz de conexiones del conjunto de edificaciones el nodo 1.

Pregrado 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 Tenemos la siguiente red : 2 2 4 6 8 7 3 3 3

Pregrado 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 Tenemos la siguiente red : 2 2 4 6 8 7 3 3 3

Pregrado 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 Tenemos la siguiente red : 2 2 4 6 8 7 3 3 3

Pregrado 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 Tenemos la siguiente red : 2 2 4 6 8 7 3 3 3