¡Descarga Tratamiento de datos experimentales: Errors y su propagación - Prof. Jordi José y más Apuntes en PDF de Ingenieria Eléctrica solo en Docsity!
Tractament de dades experimentals. (Errors)
1. Introducció
L'objectiu és la determinació, per a una magnitud experimental x , del marge raonable on, amb gran seguretat, es troba el valor real.
( X )
Si el valor acceptat de la magnitud és x i, suposem simètric l’ interval entorn de x de radi ∆ x , escrivim com a resultat: x ± ∆ x.
L'error absolut del valor de x , ε a ( x ), és aquest ∆ x. Les seves unitats són les de x.
També es treballa amb l'error relatiu de x , ε r ( x ) ≡ ε a ( x ) /x (És adimensional!)
Els errors es classifiquen en sistemàtics ε s ( x ), i casuals, ε c ( x ).
Els sistemàtics són els que tenen que veure amb la imperfecció de tot sistema experimental o amb el seu ús incorrecte. És possible fer-los més petits millorant aparells i sistemes de treball. Com més petit és l'error sistemàtic, major és l'exactitud de la mesura. Els casuals estan relacionats amb la part incontrolada de tot experiment i només es determinen estadísticament. Tan més petit és l'error casual, major és la precisió de la mesura.
x (^) x
x
x xx x (^) x x x
x
x x
xxx
exacte però inexacte i inexacte però exacte i imprecís imprecís precís precís
L’error total és la suma quadràtica dels dos errors: ε a ( x )= ε s ( x )^2 + ε c ( x )^2
2. Lectura dels aparells i reiteració de les mesures.
Els aparells utilitzats seran bé analògics (agulla sobre una escala), bé digitals (presentació numèrica del valor).
Cal conèixer el funcionament de l'aparell a cada rang de mesures (el que s'anomena "índex de classe de l'aparell" que indica l'error relatiu en % sobre el fons d'escala). Si la classe és 1, per
exemple, i el fons d'escala 3, l'error sistemàtic ε s ( x )és 1% de 3 = 0.03.
Si no es coneix l'índex de classe, en el cas d'aparells analògics s'accepta que l'error sistemàtic val la meitat de l' interval de l'escala en què es treballi. A l'exemple del dibuix, 0.25, que és aproximat per excés com 0.3 i el valor de la lectura és 1.3 ± 0.3. En el cas d'aparells digitals, prenem com a mínim error sistemàtic de la lectura mitja unitat de l'últim ordre presentat. En el nostre cas, cinc deumil·lèsimes, i la lectura completa és: 2.6210 ± 0.0005. En general, convé reiterar les mesures fetes per assegurar el resultat. Si repetim N vegades una mesura, { x 1 , x 2 ,... x N }, prenem com a valor de la magnitud, la mitjana dels valors mesurats:
N
x x
N
xi
∑ i = = ,
i com a error casual, ε c ( x ):
∑^ (^ )
N
xi
i
c (^) x x N
x^2 1
que prové de la dispersió de les mesures (i està relacionada amb la desviació estàndard). Finalment,
com s'ha dit, l’error absolut total, εa^ ( x ),és la suma quadràtica dels dos errors.
En cas que siguin semblants, el que es pot fer és acceptar que l’error total és el doble de l’error sistemàtic (o aquest multiplicat per √2). En cas que un dels dos errors domini damunt l’altre es pot menystenir l’error menys significatiu.
3. Propagació dels errors
Sovint no ens interessa el valor de les magnituds mesurades sinó el d'una funció d'elles. En general agafarem expressions conegudes del càlcul diferencial acceptant l'analogia entre error i diferencial, ja que l'error hauria de ser sempre petit:
εa^ (x)≈ dx
Si ens interessa l'error d’una funció y = f ( x ) considerarem que dy = dy / dx · dx , i, per tant:
( ) x dx
df x dx dx
df x ε a y ≈dy = ≈ εa
Si la funció f és una funció de vàries variables, y = f ( x 1 , x 2 ,... x n ), acceptarem una versió modificada de la fórmula del diferencial total de y , per tal d'evitar valors negatius, sense que l'error total sigui, tanmateix, excessivament gran (suma quadràtica):
∑
n
i
i
a i
a (^) x x
y y 1
2
Si no es presentessin explícitament errors en un càlcul, cal seguir la norma (Tipler p.8) que diu, bàsicament, que el nombre de xifres donades en el resultat d'un càlcul no ha d'excedir el de donades en els valors que intervenen en els càlculs. Per exemple 2.31· 5.1 = 11.781, però com que 5.1 es presenta amb dues xifres, el resultat també ha de ser presentat amb dues xifres i serà, per tant, 12.
NO OBLIDEU QUE :
- primer hem de calcular el valor de la magnitud. Això sol ser fàcil i ràpid i és el més important
- després es calcula l'error, cosa que és normalment més difícil
- finalment donem congruència al conjunt 5. Problemes
Problema 1 Un cilindre té un diàmetre que mesura d = (21.2 ± 0.1) cm i una alçada h = (75.1 ± 0.2) cm. Determineu el seu volum.
Problema 2 Per a determinar el valor d'una resistència R se li aplica un voltatge V = (6.3 ± 0.1)V i es mesura que la intensitat que hi circula val I = (29 ± 2) mA. Trobeu R i el seu error.
Problema 3 Determineu el mòdul del producte escalar de dos vectors A i B de mòduls A = 8.8 ± 0.2 i B = 7.7 ± 0.1, que formen una angle de 72° ± 1°.
