Tratamiento de Datos Experimentales: Errors, Apuntes de Automatización Industrial

¡Descarga Tratamiento de Datos Experimentales: Errors y más Apuntes en PDF de Automatización Industrial solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

FÍSICA I (UPC)

PRÀCTICA 1 - ERRORS

, CARLOS RUIZ 17-

Escola d’ Enginyeria de Barcelona Est. EEBE

TRACTAMENT DE DADES EXPERIMENTALS (ERRORS)

Abans d’anar al laboratori llegiu amb cura tot el guió de la pràctica ja

que a l’inici de la sessió hi ha un petit qüestionari. Després de la

pràctica, completeu l’informe (només les pàgines 5-10) i lliureu-lo al

vostre/a professor/a de pràctiques en el termini d’una setmana.

Objectius

• Familiaritzar-se amb el càlcul bàsic d’errors i aprendre a distingir entre errors sistemàtics i casuals.
• Utilització de programes (entorns de càlcul simbòlic i numèric) que en facilitin els càlculs.

Introducció

En tota mesura d’una magnitud experimental x , cal també determinar el marge raonable on, amb gran seguretat, es troba el seu valor real.

Si el valor acceptat de la magnitud és x i, suposem simètric l’ interval entorn de x de radi  x , escrivim com a resultat:

x ±  x

L'error absolut del valor de x ,  a ( x ), és aquest  x. Les seves unitats són les de x. També es treballa amb l'error relatiu de x (que és una quantitat adimensional!):

 r ( x ) =  a ( x ) /x (1)

Els errors es classifiquen en sistemàtics  s ( x ), i casuals ,  c ( x ). Els sistemàtics són els que tenen que veure amb la imperfecció de tot sistema experimental o amb el seu ús incorrecte. És possible fer-los més petits millorant aparells i sistemes de treball. Com més petit és l'error sistemàtic, major és l'exactitud de la mesura.

( X )

que prové de la dispersió de les mesures (i està relacionada amb la desviació estàndard

 x ). En el cas de mesures molt precises, també es pot prendre el que s’anomena

desviació estàndard de la mitjana que és l’anterior expressió dividida per √N, però per

les nostres mesures faríem massa petit  c ( x ). Però si es fa realitza malament una

mesura d'un sèrie de mesures cal descartar-la. Posem per exemple que realitzem la mesura: 2.01, 1.98, 2.00, 2.03, 2.13,1.97, 1.96 ; en aquest cas el valor 2.13 caldria que fos descartat abans de calcular la mitjana i l'error casual. Finalment, com s'ha dit, l’error absolut total, a^ ( x ), és la suma quadràtica dels dos errors.

 a ( x )   s ( x )^2   c ( x )^2 (4)

En cas que siguin semblants, el que es pot fer és acceptar que l’error total és el doble de l’error sistemàtic (o aquest multiplicat per √2). En cas que un dels dos errors domini damunt l’altre es pot menystenir l’error menys significatiu.

3. Propagació dels errors

Sovint no ens interessa el valor de les magnituds mesurades sinó el d'una funció d'elles. En general agafarem expressions conegudes del càlcul diferencial acceptant l'analogia entre error i diferencial, ja que l'error hauria de ser sempre petit:

 a^ ( x ) dx

Si ens interessa l'error d’una funció y = f ( x ) considerarem que dy = dy / dx · dx , i, per tant:

( ) x dx

df x dx dx

df x  a y  dy    a (5)

Si la funció f és una funció de vàries variables, y = f ( x 1 , x 2 ,... x n ), acceptarem una versió

modificada de la fórmula del diferencial total de y , per tal d'evitar valors negatius, sense que l'error total sigui, tanmateix, excessivament gran (suma quadràtica):

n

i

i

a i

a (^) x x

y y 1

2  ( )  ( ) (6)

Per exemple, es mesura la longitud dels dos costats d'un rectangle, a i b però ens interessa l'àrea de la superfície S = a · b. Sigui a = (2.3 ± 0.1) cm i b = (6.8 ± 0.2) cm

S = 2.3 · 6.8 = 15.64 cm

2

 a^ (S) = (b· a(a))^2  (a· a(b))^2 = 0.821 cm

2

i, per tant, S = (15.64 ± 0.821) cm^2 que serà finalment presentat com (15.6 ± 0.9) cm

2 .

Donem ara alguns resultats d'ús freqüent:

-  a(xn) = n xn-1  a(x) -  a(ln x) =  a(x)/x =  r(x) -  a(ex) = ex  a(x) -  a(sin x) = cos x  a(x)

• Per a sumes i restes, es sumen (quadràticament) els errors absoluts:

 a^ ( a + b ) =  a^ ( a )^2^  a( b )^2

• Per a multiplicacions i divisions, es sumen (quadràticament) els errors relatius:

 r^ ( a. b ) =  r^ ( a )^2^  r( b )^2

4. Presentació dels resultats i notació

Prendrem per conveni representar els errors absoluts sempre amb una xifra significativa (en experiments molt ben fets se’n poden donar dues), que prové de l'arrodoniment per excés del valor obtingut després dels càlculs que correspongui fer (sense arrodoniments). Hi ha una excepció: quan la xifra de l’ordre següent al que es manté és zero: 2.03 s’arrodoneix a 2 i no a 3. El valor de la magnitud s'ajusta al mateix ordre de la xifra presentada en l'error, arrodonint simplement. Per exemple, si els càlculs donen com resultat: ( 7.64713 ± 0.3248 ) u comencem per ajustar per excés l'error a 0.4, i com això vol dir "dècimes", ajustem a "dècimes" el valor de la magnitud que queda com 7.6. És a dir, presentarem com a resultat final, en les unitats que correspongui (u): ( 7.6 ± 0.4 ) u. També és correcte la notació sense els parèntesis: 7.6 ± 0.4 u o bé amb l'error entre parèntesis, entenen que afecta l’última xifra presentada de la magnitud: 7.6(4) u. Els errors relatius es presenten amb un màxim de tres xifres significatives, per conveni prendrem dues xifres significatives als errors relatius. Tots aquests ajustos es fan després dels càlculs; mentrestant cal conservar sempre cm a mínim una xifra representativa més (millor dues). Convé adonar-se que de tots els càlculs que es facin, el que al final queda és una xifra significativa per l'error, i el valor de la magnitud arrodonida a l'ordre adequat. En cas que no es presentessin explícitament errors en un càlcul, cal seguir la norma (vegeu per exemple Tipler p.8) que el nombre de xifres donades en el resultat d'un càlcul no ha d'excedir el de donades en els valors que intervenen en els càlculs. Per exemple 2.31· 5.1 = 11.781, però com que 5.1 es presenta amb dues xifres, el resultat també ha de ser presentat amb dues xifres i serà, per tant, 12.

NO OBLIDEU QUE :

• primer hem de calcular el valor de la magnitud
• després es calcula l'error
• finalment es dóna congruència al resultat



 s ( t ) =

Ara preneu el cronòmetre, i inicialitzant-lo a zero cada vegada intenteu mesurar un interval el més proper possible a 3s, anoteu la mesura. Repetiu la mesura 10 vegades i poseu els resultats a la Taula 1.

No es tracta de mesurar cap fenomen físic, només el vostre temps de reacció...res més. Potser comproveu que la dispersió de les mesures és més gran que no l’error sistemàtic del propi aparell. És precisament per això que en molt cassos, malgrat la precisió de l’aparell de mesura, cal considerar l’error casual!

Calculeu la mitjana dels temps que heu mesurat, eq. 2, l’error absolut de la mesura de 3s, tot calculant la desviació estàndard, eq. 3, i doneu el resultat també a la Taula 1.



ൌ ݐ , desviació estàndard de la mostra = c^ =

Finalment calculeu l’error absolut amb l'eq. 4 i expresseu el resultat final de l’interval que heu mesurat.

Error total  a ( x )  s ( x )^2   c ( x )^2 = t = ±

Comenteu la rellevància de l’error sistemàtic en aquest cas. Es podria menystenir?

Mesures amb un Flexòmetre

Preneu el flexòmetre de la Figura 2 i mesureu la superfície de la taula de treball de laboratori. Cal que mesureu la longitud, a , i amplada, b. Aquí no repetirem la mateixa mesura moltes vegades, no determinarem doncs l'error casual.

Figura 2

En aquest cas trobaríeu encertat agafar l’error casual igual al sistemàtic? Determineu l'error absolut.

s^ =  c^ =  a^ =

Anoteu els resultats de les mesures de a i b a la Taula 2. Calculeu-ne la superfície amb el corresponent error absolut i expresseu correctament el resultat final a la Taula 2. Calculeu finalment l’error relatiu. Adjunteu tots els càlculs.

a = ±

b = ± Càlculs:

S = ±

Mesures amb un Dinamòmetre

En alguns aparells de mesura, com és el cas del dinamòmetre és molt importat assegurar-se que no hi ha error de zero , és a dir que inicialment la mesura sigui nul·la. Comproveu que, en la posició de treball (vertical, amb el ganxo de subjecció amunt i el de mesura avall, alerta que és el mateix!), no hi hagi error de zero. Si no és el cas, corregiu-lo tot fent girar la femella de la part superior fins que marqui 0.

Fixeu-vos en quan val l'interval mínim que pot mesurar la balança, i per tant, determineu l’error sistemàtic. Fixeu-vos en quan val el mínim interval, i determineu l’error sistemàtic. 

s^ =

Determineu la massa del conjunt de peses que ja heu pesat abans amb el dinamòmetre. Alerta amb les unitats! Anoteu el resultat a la Taula 3.

Propagació d'errors experimentals

Un cop heu determinat la massa i pes del conjunt de pesos utilitzats podem comprovar si aquestes mesures són congruents, atenent als errors experimentals de les mesures. Per això determineu la diferència | M g- P | amb el corresponent error i determineu justificadament si és igual a 0, anoteu el resultat a la Taula 3 i incloeu aquí els càlculs i comentaris. Per fer els càlculs preneu gef ≈ 9,81 m/s 2 a Barcelona, sense error.

| Mg-P | =

 ( | Mg-P | ) =

per tant... Mg-P= ≤

Què en podeu dir del resultat?

Alternativament, podem utilitzar les dades obtingudes per mesurar el valor de l'acceleració de la gravetat al laboratori de Física-I de l'Escola d'Enginyeria de Barcelona Est. Anoteu el resultat a la Taula 3 i incloeu aquí els càlculs i comentaris.

g=P / M=

 (P / M) =

per tant... g= ≤

Comenteu el resultat del valor obtingut de g: