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SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
I. SISTEMA SEXAGESIMAL
( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales
∡ ⡩ ⤲⤱⤕⤢⤰⤑ ⡱⡴⡨
II. SISTEMA CENTESIMAL
( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales
1 ⤗^ =
∡ ⡩ ⤲⤱⤕⤢⤰⤑ ⡲⡨⡨
1 g^ = 100m^1 m^ = 100s^1 g^ =10 000s
III. SISTEMA RADIAL
( rad ) : Radián
∡ ⡩ ⤲⤱⤕⤢⤰⤑ ⡰ゕ
CONVERSIÓN DE SISTEMAS I
Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión.
9° 180° 200 g^ 27’ 81’’ 27’ 162’ 10 g^ ․ᡰᡓᡖ^ ․ᡰᡓᡖ^20 m^ 250°^5000 s^5 m
CONVERSIÓN DE SISTEMAS II
Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera
S = # de grados sexagesimales de la C = # de grados centesimales de la R = # de radianes de la
Se cumple:
NOTACIONES IMPORTANTES
Para un ángulo cualquiera se cumple:
de grados sexagesimales = S
de minutos sexagesimales = 60S
de segundos sexagesimales = 3600S
de grados centesimales = C
de minutos centesimales = 100C
de segundos centesimales = 10000C
LONGITUD DE ARCO
L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio θ: # de radianes de la ᡥ∡ᠧᡁᠨ
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio θ: # de radianes de la ᡥ∡ᠧᡁᠨ
B
O (^) S° = C g^ = R rad
A
1 rad r
r o r
O R^ LC^ ᠸ〄 =^2 ․ᡄ
θ rad ᠸ = ‖ ∙ ᡄ R
R
o L
B
A
o (^) θ rad
R
B
A
o R
OTRAS FORMULAS
ÁREA DEL CÍRCULO (AC)
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT)
A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h = R - r
ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA
‖〃: Ángulo barrido por la rueda ᠱ〰: Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda
NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA ( #∄ )
APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS
I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO
II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE
III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA
ᡅᡗᡦ =^
ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᡁᡨᡳᡗᡱᡲᡧ ᠴᡡᡨᡧᡲᡗᡦᡳᡱᡓ
=
ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᠧᡖᡷᡓᡕᡗᡦᡲᡗ ᠴᡡᡨᡧᡲᡗᡦᡳᡱᡓ
=
ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᡁᡨᡳᡗᡱᡲᡧ ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᠧᡖᡷᡓᡕᡗᡦᡲᡗ =^
ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᠧᡖᡷᡓᡕᡗᡦᡲᡗ ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᡁᡨᡳᡗᡱᡲᡧ =^
ᡅᡗᡕ =^
ᠴᡡᡨᡧᡲᡗᡦᡳᡱᡓ ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᠧᡖᡷᡓᡕᡗᡦᡲᡗ
=
ᠩᡱᡕ =^
ᠴᡡᡨᡧᡲᡗᡦᡳᡱᡓ ᠩᡓᡲᡗᡲᡧ ᡁᡨᡳᡗᡱᡲᡧ
=
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
h
o
h
a
R-r
r R-r
r b
O R^ ᠧ〄 =^ ․^ ∙^ ᡄ⡰
R
R R
R (^) R
Eje
R r
R (^) r
Eje
ᡕ⡰^ = ᡓ⡰^ + ᡔ⡰
R r
Correa
a
b
c
α
β
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
EN POSICIÓN NORMAL
ⅵↇ↖∵ 㐄
ᡁᡰᡖᡗᡦᡓᡖᡓ ᡄᡓᡖᡡᡧ ᡈᡗᡕᡲᡧᡰ
=
⅙↗∁∵ =^
ᠧᡔᡱᡕᡡᡱᡓ ᡄᡓᡖᡡᡧ ᡈᡗᡕᡲᡧᡰ
=
ⅶↃ↉∵ =
ᡁᡰᡖᡗᡦᡓᡖᡓ ᠧᡔᡱᡕᡡᡱᡓ
=
ᠧᡔᡱᡕᡡᡱᡓ ᡄᡓᡖᡡᡧ ᡈᡗᡕᡲᡧᡰ
=
ⅵↇↅ∵ =^
ᡄᡓᡖᡡᡧ ᡈᡗᡕᡲᡧᡰ ᠧᡔᡱᡕᡡᡱᡓ
=
ᡄᡓᡖᡡᡧ ᡈᡗᡕᡲᡧᡰ ᡁᡰᡖᡗᡦᡓᡖᡓ
=
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
CUADRANTALES
R.T. (^) 0 rad0° π/2 rad^ 90° Π rad^ 180° 3π/2 rad^ 270°
Sen O 1 O − 1 Cos 1 O − 1 O Tag O N O N Ctg N O N O Sec 1 N − 1 N Csc N 1 N − 1
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES
QUE 360°
• PRIMERA FORMA:
• SEGUNDA FORMA:
II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES
QUE 360°
Si: > 360° → = 360ᡦ + ‐
III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
NEGATIVOS
ᡅᡗᡦ䙦− 䙧^ = −ᡅᡗᡦ
ᠩᡧᡱ䙦− 䙧^ = ᠩᡧᡱ
ᡆᡓᡙ䙦− 䙧^ = −ᡆᡓᡙ
ᠩᡲᡙ䙦− 䙧^ = −ᠩᡲᡙ
ᡅᡗᡕ䙦− 䙧^ = ᡅᡗᡕ
ᠩᡱᡕ䙦− 䙧^ = −ᠩᡱᡕ
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES RECÍPROCAS
IDENTIDADES POR COCIENTE
IDENTIDADES PITAGÓRICAS
ᡅᡗᡦ⡰^ + ᠩᡧᡱ⡰^ = 1
ᡅᡗᡕ⡰^ = 1 + ᡆᡓᡙ⡰
ᠩᡱᡕ⡰^ = 1 + ᠩᡲᡙ⡰
Signo ± depende de la R.T. original
Signo ± depende de la R.T. original
ᡰ⡰^ = 㒓ᡶ⡰^ + ᡷ⡰
− +
r
y 䙦ᡶ; ᡷ䙧
x
− − 䙦ᡶ; ᡷ䙧
䙦ᡶ; ᡷ䙧
r r
r
ᡄ 䙲^180 °^ ±
270 ° ± 䙳^ =^ ±^ ᠩᡁ^ −^ ᡄ.^ ᡆ
IDENTIDADES AUXILIARES
ᡅᡗᡦ⡲^ ㎗ ᠩᡧᡱ⡲^ 㐄 1 − 2 ᡅᡗᡦ⡰^ ∙ ᠩᡧᡱ⡰
ᡅᡗᡦ⡴^ + ᠩᡧᡱ⡴^ = 1 − 3 ᡅᡗᡦ⡰^ ∙ ᠩᡧᡱ⡰
䙦ᡅᡗᡦ + ᠩᡧᡱ + 1 䙧䙦ᡅᡗᡦ + ᠩᡧᡱ + 1 䙧 (^) = 2 ᡅᡗᡦ ᠩᡧᡱ
䙦 1 ± ᡅᡗᡦ ± ᠩᡧᡱ 䙧⡰^ = 2 䙦 1 ± ᡅᡗᡦ 䙧䙦 1 ± ᠩᡧᡱ 䙧
㒓 1 ± 2 ᡅᡗᡦ ∙ ᠩᡧᡱ = |ᡅᡗᡦ ± ᠩᡧᡱ |
ᡅᡗᡕ⡰^ + ᠩᡱᡕ⡰^ = ᡅᡗᡕ⡰^ ∙ ᠩᡱᡕ⡰
PROPIEDAD:
Si ⅗ⅵↇ↖∵ + ⅘⅙↗∁∵ = ⅙, se cumple que:
ᡅᡗᡦ =
ᡅᡡ ᡷ ᡱóᡤᡧ ᡱᡡ: ⅗⡰^ + ⅘⡰^ = ⅙⡰
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPUESTOS
IDENTIDADES AUXILIARES
ᡅᡗᡦ䙦 + ‐䙧 ∙ ᡅᡗᡦ䙦 − ‐䙧 = ᡅᡗᡦ⡰^ − ᡅᡗᡦ⡰‐
ᠩᡧᡱ䙦^ + ‐䙧^ ∙ ᠩᡧᡱ䙦^ − ‐䙧^ = ᠩᡧᡱ⡰^ − ᡅᡗᡦ⡰‐
ᡅᡗᡦ䙦^ ± ‐䙧
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
DOBLE
ᠩᡧᡱ⡰^ − ᡅᡗᡦ⡰
2 ᠩᡧᡱ⡰^ − 1
IDENTIDADES AUXILIARES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
TRIPLE
ᠩᡧᡱ 3 = 4 ᠩᡧᡱ⡱^ − 3 ᠩᡧᡱ
PARA DEGRADAR:
4 ᡅᡗᡦ⡱^ = ᡅᡗᡦ 3 − 3 ᡅᡗᡦ
4 ᠩᡧᡱ⡱^ = 3 ᠩᡧᡱ + ᠩᡧᡱ 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
MITAD
