trigonometria teoria, Ejercicios de Trigonometría

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Cortesía de

Presentación

Este libro reúne la teoría completa y problemas (resueltos y propuestos). Son problemas tipo, que presentan las mismas características de los que se plantean al postulante en el concurso de admisión a la Universidad Nacional Federico Villarreal. La Plana Docente de trigonometría los expone y resuelve en 16 clases de manera ejemplar para que puedan servir como modelos en la resolución de otros problemas parecidos con los que el estudiante de CEPREVI tiene que enfrentarse en sus prácticas calificadas, exámenes parciales y finales. La Plana Docente de trigonometría de CEPREVI es conocida por los estudiantes no sólo por sus condiciones pedagógicas sino también por el amplio conocimiento de los temas de la trigonometría, lo cual hacen de este libro una guía teórica y práctica de gran utilidad para el estudiante de CEPREVI.

Los profesores.

Sistemas de Medición Angular

Ángulo Trigonométrico:

Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

Convención

β

O

L.F.

L.I.

0

Ángulos Positivos : Si el rayo gira en sentido antihorario.

Ángulos Negativos : Si el rayo gira en sentido horario.

α O Ejemplo : Nótese en las figuras:

• “θ” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.
• “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa. ∴ Se cumple: x = -θ

O

B

A

θ X

UNIDAD 1

Notas:

1. ÁNGULO NULO

Si el rayo no gira, la medida del ángulo sera cero A

B

O

O

2. ÁNGULO DE UNA VUELTA

Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.

O

1V (^) O

-1V

3. MAGNITUD DE UN ÁNGULO

Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Así por ejemplo en la figura (1), e l ángulo trigonométrico mide “3 vueltas”, en la figura (2) el ángulo trigonometrico mide “-2 vueltas”.

Fig. 1 Fig 2.

Medición de ángulos

Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada (metros, pulgadas, etc.), para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.

Sistema Sexagesimal (Inglés)

Su unidad ángular es el “grado sexagesimal”(1º), el cual es equivalente a la 360 ava parte del ángulo de una vuelta.

1º = 360

1 v ∴ 1v = 360º

Equivalencias 1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3600”

Sistema Centesimal (Francés)

Su unidad angular es el “grado Centesimal” (1g), el cual es equivalente a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta.

1 g^ = 400

1 v → 1v = 400g

Equivalencias

1 g^ = 100m^1 m^ = 100s^1 g^ = 10000s

Ejemplo (2) Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: b = 15g

Resolución

Magnitud equivalente Factor de Conversión

π rad ∴ ∴ 200 g g

rad

b = 15° · (^) g

rad 3

rad

Ejemplo (3) Convertir a grados sexagesimales la siguiente magnitud angular: q = 24g

Resolución

Magnitud equivalente Factor de Conversión

9° ∴ ∴ 10 g g

g g

24. 9º^ 108º 21.6º

Ejemplo (4)

Hallar: E =

g m g

Resolución Recordando: 1º = 60’ 1 g^ = 100m 9º ∴ ∴ 10 g Reemplazando en:

E =

m g m g

∴ E = 60 + 100 + 2 = 162

Ejemplo (5)

Hallar: a+b ; sabiendo: rad 8

π ∴ ∴ a°b’ Resolución Equivalencia: π rad = 180°

rad • 180º^ 180º^ 45º^ 44º^ 1º^ 22º 1º 22º 30 ' 22º 30 ' 8 rad 8 2 2 2

π (^) = = = + = + = + = π Factor de conversión



Luego: rad 8

π ∴ ∴ 22º30’

Comparando: a = 22 b = 30 Entonces: a + b = 52 ... Rpta.

Nótese que : “Para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión”.

Ejemplo (6) Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular: a = 16g

Resolución A) 16 g^ ∴ sexagesimales (°)

Factor de conversión = (^) g

Luego: 16 g • 9ºg^ 144º^ 72º 14, 4º 10 10 5

α = = = =

B) 16 g^ ∴ radianes

Factor de conversión = (^) g

πrad

Luego: 16 g• radg^16 rad^2 rad 200 200 25

α = π^ = ⋅ π^ = π

Fórmula general de conversión

Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.

De la fig. Sº ∴ ∴ Cg^ ∴ ∴ R rad ... () Además 180º ∴ ∴ 200 g^ ∴ ∴ π rad ... (*)

Dividiendo () entre (*) tenemos:

S C R 180 200

π Fórmula o Relación de Conversión

Reemplazando en (1): 6(180K) + 2(200K) = 222 1480K = 222 K =

\ R = πK = 203

1. Un ángulo positivo mide Sº o Cg, calcular el valor simplificado de:

C S

C S

C S

C S

P +

Resolución

S C S^ 9K K (^9 10) C 10K

^ =

Calculamos en forma particular:

C S 10K 9K 19K 19

C S 10K 9K K

Reemplazamos en “P”:

P = 4 19 − 319 + 8

P = 4 19 −^3

P =

P = 2

27

Problemas I

1. Simplificar:

70 g 18 K rad 40 4

= −^ °

π (^) − °

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Si: a = 1 2' 3''

° (^) , hallar: a − 15 a) 30 b) 33 c) 35 d) 53 e) 32

1. En la figura, hallar “x”.

10°(1-12x)

πx rad

a) 3 b) 1/3 c) 2 d) 1/2 e) 1

1. Si: S = # de grados sexagesimal C = # de grados centesimal Simplificar:

M 4 C^ S^3 C^ S 8 C S C S

= +^ − + +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Calcular:

E C^ S^ 20R 3 C S 20R

= π^ + π^ + π − π + a) 5/11 b) 10/11 c) 11/ d) 1 e) 2

1. Si: S^ C 3 2

• (^) = 40. Hallar “R”, siendo

“S”, “C” y “R” los conocidos. a) 4

π (^) b) 3

π (^) c) 2

π

d) 6

π (^) e) 5

π

1. De la condición: 5° < > x

π (^) rad. Hallar:

g E x 10

=^ °

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

1. En un triángulo se cumple que la suma del primer y segundo ángulo es igual a ( 34 π^ )rad, y que la suma del segundo y tercer ángulo es 150 g, según sus ángulos que tipo de triángulo es: a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero d) Rectángulo e) Rectángulo isósceles
2. Se crea un nuevo sistema de medición angular denominado “x” tal que 7 unidades de este nuevo sistema equivale a 35g. Calcular el equivalente de ( 10

π (^) )rad, en el nuevo sistema. a) 1x^ b) 2x^ c) 3x d) 4x^ e) 5x

1. Hallar la medida en radianes de un ángulo, tal que: C 10 = a

k (^) + 1 π

^ S

= ak^ - 1 π a) 0,1 b) 0,2 c) 0, d) 0,4 e) 0,

1. Si: 22g^ <> A°B’ Hallar: K = B^10 A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. Sabiendo que:

a^2 4ab b^2 2S C ab

− = +^ + ; a, b^ ∈^ R+ Señale el menor valor que puede tomar la medida circular del ángulo, si “S” y “C” representan los conocidos.

a) (^80)

π rad b) 40

π (^) rad c) 3 80

π rad

d) 5 4

π (^) rad e) 3 8

π (^) rad

CLAVES I

1. c 2. c 3. b 4. b 5. b
2. a 7. b 8. e 9. d 10. e
3. b 12. b 13. c 14. e 15. d
4. d 17. e 18. b 19. b 20. c

Problemas II

1. Hallar “x” de la figura:

9x°

360 g

10x g a) 13 b) –20 c) 20 d) –15 e) –

1. Halle el valor de la siguiente expresión:

100 g 5 rad 45 W 9 (^7) rad 15 59' 60'' 20

• π + ° = π (^) − °

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1. La diferencia de dos ángulos

suplementarios es de 80 g 3

   . Hallar el complemento del menor de ellos.

a) 3

π (^) rad b) 5

π (^) rad c) 9

π (^) rad

d) 15

π (^) rad e) 29

π (^) rad

1. Reducir: a g^ bm M a b'

a) 1/5 b) 2/5 c) 3/ d) 4/5 e) 6/

1. Si: α = 8°47" y β = 21°59'13". Exprese “α+β” en radianes.

a) 15

π (^) rad b) 12

π (^) rad c) 6

π (^) rad

d) 4

π (^) rad e) 3

π (^) rad

1. En un triángulo ABC, se tiene que:

A= x°; B=10xg; C=

2 x 45

π rad. Calcular la medida del mayor ángulo del triángulo ABC.

a) 4

π (^) rad b) 6

π (^) rad c) 3

π (^) rad

d) 2

π (^) rad e) 2 3

π (^) rad

1. Se ha creado un nuevo sistema de medida angular cuya unidad es el grado “x” (1x), tal que:

1 x^ < > 240

π (^) rad

¿A cuántos grados “x” equivalen 180 minutos sexagesimales? a) 2x^ b) 3x^ c) 4x d) 5x^ e) 6x

1. Si se cumple que: g m g m g

x y x y ' y y y ' x

Calcular: x/y a) 1/6 b) 1/5 c) 1/ d) 1/3 e) 1/

1. Halle la medida sexagesimal del ángulo que cumple que:

5C + 3S –

80R

π = 292 ; siendo: S, C y R, lo convencional para un ángulo. a) 9° b) 27° c) 36° d) 45° e) 54°

1. Si al número de grados centesimales de un ángulo, le agregamos el triple de su número de grados sexagesimales y el quíntuple de su número de radianes resulta: 444+3π. Halle la medida sexagesimal de dicho ángulo. a) 18° b) 36° c) 72° d) 108° e) 120°
2. Halle la medida radial del ángulo que cumple que: 32R^2 (C S) (C S)

π + = − (^)  + π  π 

a) 3 4

π (^) rad b) 3

π (^) rad c) 4 3

π (^) rad

d) 5 4

π (^) rad e) 4 5

π (^) rad

1. Si: S = x^2 27

^ C = 10

x Hallar “x”, siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 9 e) 11

1. Para un cierto ángulo se cumple que:

S m^2 38

= − ^ C m^2 38

Halle la medida circular de dicho ángulo, siendo S y C lo convencional para un ángulo.

a) 19

π (^) rad b) 38

π (^) rad c) 190

π (^) rad

d) 380

π (^) rad e) 1900

π (^) rad

1. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo de modo que: 10SC R 4S 3C R

=^ π + − π − Hallar: “R”

a) 6

π (^) b) 3

π (^) c) 2 3

π

d) 5 6

π (^) e) 3 5

π

1. Si se cumple que: (S + C)°〈 〉− 1945 πrad. Siendo S y C lo convencional para un ángulo. Calcule la medida radial de dicho ángulo.

Arco y Sector Circular

1. Arco

Una porción cualquiera de una circunferencia recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia. �AB : Arco AB A : Origen del Arco AB B : Extremo del arco AB O : Centro de la circunferencia R : Radio de la circunferencia

a. Amplitud

Dada por la medida del ángulo central que subtiende el arco. i. LONGITUD DE ARCO En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “ q” radianes determina una longitud de arco “L”, que se calcula multiplicando el número de radianes “q” y el radio de la circunferencia “R”. L : Longitud del Arco AB R : Radio de la Circunferencia q : Número de radianes del ángulo central (0 Resolución L = R • θ L = 4 • 0, L = 2 El perímetro 2p del sector AOB será: 2p = R + R + L 2p = 4m + 4m + 2m 2p = 10m

Nota

La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2π por el radio “R” de la circunferencia (2πR).

LC = 2pR

2. Sector Circular

Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente.

AOB: Sector Circular AOB

b. Área del sector circular

El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes; es decir:

R^2

S

=^ ⋅ θ

Donde: S : Area del Sector circular AOB

0

R

A

B

O

R

R (^) S θrad O B

A

Resolución Denotemos por: L 1 : Longitud del arco , el radio R 1 = 12 m L 2 : Longitud del arco , de radio R 2 = 4 m

De la figura

L 2 = R 2 • θ 2 = 4m • 2

π

L 2 = 2π m

Según el dato: L + L = 4πm L 1 + L 2 = 4πm L 1 + 2π = 4πm L 1 = 2πm

El área del sector AOB será

1 1 1

L • R 2 m • 12m

S

= 12πm^2

Observaciones

1. El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de área “S” (figura 1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (figura 2).

Fig. 1 Fig. 2

Ejemplos Hallar el cociente de las áreas sombreadas “A” y “B” respectivamente.

C

8m

B

A

12m

4m

L 1

L 2

R

R S (^) S

3S

5S

7S

R R R R

R^

R^

R^

R

B

A

4 4 4 4

Resolución Recordando la observación: A = 7S B = 3S

∴

B

A

2. Área de un trapecio circular

• Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos.
• El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir: - h 2

B b A (^) T (^)  

=^ +

Donde: AT = Área del trapecio circular

También: θ = h

B −b

Ejemplos (1) Calcular el valor del área del trapecio circular y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada:

Resolución

AT = •^2 2

 +^

θ =

∴ AT = 7m^2 ∴ θ = 2

Ejemplos (2) Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m².

S

3S

5S

7S

4 4 4 4

b^ AT B

h

h

θrad

3m^ AT 4m

2m

2m

θrad