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Tema 3
Trigonometr´ıa.
3.1. Trigonometr´ıa plana
Trigonometr´ıa, rama de las matem´aticas que estudia las relaciones entre los lados y los ´angulos de tri´angulos, de las propiedades y aplicaciones de las fun- ciones trigonom´etricas de ´angulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometr´ıa son la trigonometr´ıa plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometr´ıa esf´erica, que se ocupa de tri´angulos que forman parte de la superfi- cie de una esfera. En esta secci´on nos centraremos en el estudio de los conceptos fundamentales de la trigonometr´ıa plana.
Definici´on 3.1 ( Angulo)´. Un ´angulo se define como la porci´on comprendida entre dos semirrectas con origen en un mismo punto, denominado v´ertice del ´angulo.
Unidades de medici´on de ´angulos
Grado: Un ´angulo tiene la amplitud de un grado si ´esta es igual a la nonag´esima parte de la de un ´angulo recto. El grado presenta dos subunidades; el minuto que es la sexag´esima parte de un grado y el segundo que es la sexag´esima parte de un minuto. Para expresar un ´angulo en grados lo podemos realizar de dos formas; forma compleja que se trata de expresarlo en grados minutos y segundos y la forma incompleja que se trata de expresarlo en grados siguiendo el sistema decimal.
Forma compleja: 36o 12 ′36” Forma incompleja: 36, 21 o
2 Trigonometr´ıa.
Radi´an: Un radi´an es la medida del ´angulo central^1 de una circunferencia que abarca un arco de longitud igual a la del radio. La medida, en radianes, de un ´angulo central de una circunferencia se expresa como la raz´on del arco determinado por el ´angulo y el radio de la circunferencia.
Entre grados y radianes existe una relaci´on de proporcionalidad directa, por tanto para la conversi´on de una medida a otra bastar´a con tener en cuenta que 2 π rad = 360o^ y realizar una simple regla de tres.
Grados 0 o^30 o^45 o^60 o^90 o^180 o^270 o^360 o
Radianes 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 32 π 2 π
Cuadro 3.1: Relaci´on grados-radianes entre los ´angulos notables.
Teniendo en cuenta que las semirrectas son diferentes en cuanto a su identifi- caci´on (lado inicial y final), se suele identificar ´angulos de magnitud positiva si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotaci´on es en el sentido de las agujas del reloj.
(^1) Angulo cuyo v´´ ertice est´a en el centro de la circunferencia.
4 Trigonometr´ıa.
Relaciones fundamentales de la trigonometr´ıa
- sen^2 α + cos^2 α = 1
- tg α =
sen α cos α
- 1 + tg^2 α =
cos^2 α
Ejercicio 1. Calcular las restantes razones trigonom´etricas del ´angulo α sabiendo:
a) sen α = 23 b) tg α = 2
a) Despejando en la primera relaci´on fundamental se obtiene que cos α =
1 − sen^2 α =
√ 5 3 , utilizando la segunda relaci´on^ tg^ α^ = sen α cos α =^ √^2 5 =^
2 √ 5
b) Despejando en la primera relaci´on fundamental se obtiene que cos α = √^1 1+tg^2 α
= √^15 =
√ 5 5 y ahora despejando en la segunda sen α = tg α · cos α = 2
√ 5 5
Ejercicio 2. Demostrar que tg^2 α − sen^2 α = tg^2 α · sen^2 α.
tg^2 α − sen^2 α =
sen^2 α cos^2 α
− sen^2 α =
sen^2 α − sen^2 α · cos^2 α cos^2 α
sen^2 α(1 − cos^2 α) cos^2 α
despejando en la primera relaci´on se obtiene que sen^2 α = 1 − cos^2 α, entonces
tg^2 α − sen^2 α =
sen^2 α(1 − cos^2 α) cos^2 α
sen^2 α · sen^2 α cos^2 α
sen^2 α cos^2 α
· sen^2 α =
= tg^2 α · sen^2 α.
3.3. Razones trigonom´etricas de un ´angulo cualquiera
Dado un ´angulo cualquiera α, ´este lo podemos considerar como un ´angulo central de la circunferencia goniom´etrica^2 cuyo lado inicial est´a sobre el segmento que une el origen con el punto (1, 0). El lado final del ´angulo cortar´a a la circunferencia en un punto de coordenadas (x, y), se definen las razones trigonom´etricas de este ´angulo como: sen α = y cos α = x tg α =
y x
(^2) Se denomina circunferencia goniom´etrica a aquella circunferencia centrada en el origen de
coordenadas y de radio unidad.
3.4 Reducci´on al primer cuadrante 5
1
− 1
− 1 x 1
y
α
Figura 3.1: Circunferencia goniom´etrica.
Razones 1 er^ Cuadrante 2 o^ Cuadrante 3 er^ Cuadrante 4 o^ Cuadrante sen α + + − − cos α + − − + tg α + − + −
Cuadro 3.2: Signo de las razones trigonom´etricas en cada cuadrante.
Ejercicio 3. Sabiendo que sen α =
√ 3 4 y que^ α^ es un ´angulo del segundo cuadrante, calcular las restantes razones trigonom´etricas.
Es un ejercicio igual que el 1, con la ´unica diferencia que las razones habr´a que calcularlas con su signo.
cos α = −
1 − sen^2 α = −
√ 13 4 tg^ α^ =^
sen α cos α =^
−√√ 3 13 =^
−√ 39 13
3.4. Reducci´on al primer cuadrante
En esta secci´on vamos a comparar las razones trigonom´etricas de un ´angulo cualquiera con las de uno que est´e situado en el primer cuadrante.
Angulos suplementarios:^ ´ α y π − α
Dos ´angulos son suplementarios si suman π radianes, es decir dos ´angulos com- plementarios son α y π − α y la relaci´on entre sus razones trigonom´etricas es:
sen(π − α) = sen α cos(π − α) = − cos α tg(π − α) = − tg α
Ejemplo 3.3.
sen 56 π = sen(π − π 6 ) = sen π 6 = 12 , cos 56 π = − cos π 6 = −
√ 3 2 ,^ tg^
5 π 6 =^ −^ tg^
π 6 =^
− √ 3 3
3.5 F´ormulas trigonom´etricas 7
3.5. F´ormulas trigonom´etricas
Suma y diferencia de ´angulos
sen(α ± β) = sen α · cos β ± cos α · sen β
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β
tg(α ± β) =
tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β
Angulo doble^ ´
sen(2α) = 2 sen α · cos α
cos(2α) = cos^2 α − sen^2 α
tg(2α) =
2 tg α 1 − tg^2 α
Angulo mitad^ ´
sen
α 2
1 − cos α 2
cos
α 2
1 + cos α 2
tg
α 2
1 − cos α 1 + cos α
Transformaci´on de sumas y rectas en productos
sen α + sen β = 2 sen
(α+β 2
· cos
(α−β 2
sen α − sen β = 2 cos
(α+β 2
· sen
(α−β 2
cos α + cos β = 2 cos
(α+β 2
· cos
(α−β 2
cos α − cos β = −2 sen
(α+β 2
· sen
(α−β 2
8 Trigonometr´ıa.
Ejercicio 4. Sabiendo que sen α =
√ 5 3 y^ cos^ β^ =^
4 5 , calcular^ cos(α^ +^ β),^ sen(2β)^ y tg α 2.
Las formulas para resolver el ejercicio necesitan previamente calcular las dem´as razones de α y β.
cos α =
1 − sen^2 α =
1 − 59 = 23 sen β =
1 − cos^2 α =
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β = 23 · 45 −
√ 5 3 ·^
3 5 =^
8 − 3 √ 5 15 sen(2β) = 2 sen β · cos β = 2 · 45 · 35 = (^2425)
tg α 2 = ±
1 −cos α 1+cos α =
1 − (^23) 1+ 23 =
1 5 =^
√ 5 5
Ejercicio 5. Calcular sen(3α) en funci´on de sen α y cos α.
sen(3α) = sen(2α + α) = sen(2α) · cos(α) + cos(2α) · sen α = = 2 sen α·cos α·cos α+(cos^2 α−sen^2 α) sen α = 2 sen α·cos^2 α+cos^2 α·sen α−sen^3 α =
= 3 cos^2 α · sen α − sen^3 α = sen α · (3 cos^2 α − sen^2 α).
sen(3α) = sen α · (3 cos^2 α − sen^2 α)
Ejercicio 6. Demostrar que
1 − tg^2 α 2 1 + tg^2 α 2
= cos α.
tg α 2 = ±
1 −cos α 1+cos α ⇒^ tg
2 α 2 =^
1 −cos α 1+cos α 1 − tg^2 α 2 1 + tg^2 α 2
1 − (^1) 1+cos−cos^ αα 1 + (^1) 1+cos−cos^ αα
1+cos α−1+cos α 1+cos α 1+cos α+1−cos α 1+cos α
2 cos α 2
= cos α.
3.6. Resoluci´on de ecuaciones trigonom´etricas
Esta secci´on la dedicaremos a resolveremos ecuaciones sencillas en las que apare- cen razones trigonom´etricas.
Resolveremos ecuaciones del tipo P (sen x, cos x, tg x) = 0 donde P es una fun- ci´on polin´omica. La forma com´un de proceder es, utilizando las relaciones fundamen- tales o f´ormulas trigonom´etricas, reescribir la ecuaci´on en funci´on de una sola raz´on trigonom´etrica y posteriormente realizar un cambio de variable para as´ı obtener una ecuaci´on polin´omica c´omoda de resolver.
Ejemplo 3.7. Vamos a resolver las siguientes ecuaciones:
- sen^2 x − sen x = cos^2 x
10 Trigonometr´ıa.
3.7. Resoluci´on de Tri´angulos
Resolver un tri´angulo es hallar todos los elementos de este, es decir, sus tres lado y sus tres ´angulos.
A partir de resultados ya vistos y los que veremos a continuaci´on, es posible encontrar todos los elementos de un tri´angulo cualesquiera conociendo tres de sus elementos, siendo alguno de los datos conocidos la longitud de uno de sus lados.
Figura 3.2: Tri´angulo
Teorema 3.8 (Seno).
Dado un tri´angulo cualquiera como el de la figura 3.2, se cumple:
a sen A
b sen B
c sen C
Teorema 3.9 (Coseno).
Dado un tri´angulo cualquiera como el de la figura 3.2, se cumple:
a^2 = b^2 + c^2 − 2 b · c · cos A b^2 = a^2 + c^2 − 2 a · c · cos B c^2 = a^2 + b^2 − 2 a · b · cos C
Ejercicio 7. Resolver, si es posible, los siguientes tri´angulos:
a) a = 25 cm., B = 36o^ y C = 58o A = 180o^ − (B + C) = 86o Utilizando el teorema del seno:
b =
a · sen B sen A
= 14, 73 cm. c =
a · sen C sen A
= 21, 25 cm.
3.7 Resoluci´on de Tri´angulos 11
b) b = 40 cm., c = 45 cm. y A = 62o Utilizando el teorema del coseno:
a =
402 + 45^2 + 2 · 40 · 45 · cos 62o^ = 43, 987 cm.
Utilizando el teorema del seno:
sen B =
b · sen A a
= 0, 8 → B = 53, 38 o
C = 180o^ − (A + B) = 64, 62 o
c) b = 45 cm., c = 50 cm. y B = 40o
Utilizando el teorema del seno: sen C =
c · sen B b
= 0, 71 → C = 45, 6 o
A = 180o^ − (B + C) = 94, 4 o^ → a =
b · sen A sen B
= 69, 8 cm.
d) a = 13 cm., b = 12 cm. y c = 5 cm. Utilizando el teorema del coseno:
cos A =
b^2 + c^2 − a^2 2 bc
= 0 → A = 90o
Utilizando el teorema del seno:
sen B =
b · sen A a
→ B = 67, 38 o
C = 180o^ − (A + B) = 22, 62 o
Ejercicio 8. Halla la altura de una torre sabiendo que desde un punto situado a 20 m. de la base se observa el extremo superior de la torre bajo un ´angulo de 55 o.
α = 55o
h =?
20 m.
tg 55o^ =
h 20
→ h = 20 · tg 55o^ = 28, 56 m.
Ejercicio 9. Desde los extremos de una pista del aeropuerto, que mide 2300 m. de largo, se observa un avi´on bajo los ´angulos de 30 o^ y 45 o, respectivamente. ¿A qu´e altura del suelo vuela el avi´on?. (El pie de la perpendicular del avi´on se encuentra entre los extremos de la pista).
3.8 Funciones trigonom´etricas 13
Propiedades de la funci´on cos x
Es una funci´on continua en R y acotada, su imagen es el intervalo [− 1 , 1].
cos : R → [− 1 , 1]
Es una funci´on par, cos(−x) = − cos x, y peri´odica de periodo 2π.
Corta al eje OY en el punto (0, 1) y al eje OX en los puntos {((2k+1) 2 π, 0) : k ∈ Z}. Es positiva en los intervalos
(4k−1)π 2 ,^
(4k+1)π 2
: k ∈ Z
y negativa en
(4k+1)π 2 ,^
(4k+3)π 2
: k ∈ Z
Es creciente en los intervalos {((2k + 1)π, 2 kπ) : k ∈ Z} y decreciente en {(2kπ, (2k + 1)π) : k ∈ Z}. Tiene un m´aximo relativo en los puntos {x = 2kπ : k ∈ Z} y un m´ınimo relativo en {x = (2k + 1)π : k ∈ Z}, los cuales son tambi´en absolutos.
Es c´oncava en los intervalos
(4k−1)π 2 ,^
(4k+1)π 2
: k ∈ Z
y convexa en {( (4k+1)π 2 ,^
(4k+3)π 2
: k ∈ Z
Figura 3.4: Gr´afica de la funci´on y = cos x
Propiedades de la funci´on tg x
Es una funci´on continua en R excepto en los puntos {(2k+1) 2 π: k ∈ Z}, donde presenta una discontinuidad de salto infinito. Es una funci´on sobreyectiva.
tg : R → R
Es una funci´on impar, tg(−x) = − tg x, y peri´odica de periodo π.
14 Trigonometr´ıa.
Corta al eje OY en el origen y al eje OX en los puntos {(kπ, 0) : k ∈ Z}. Es positiva en los intervalos {(kπ, (2k+1) 2 π) : k ∈ Z} y negativa en {((2k− 2 1)π, kπ) : k ∈ Z}.
Las rectas x = (2k+1) 2 πson as´ıntotas verticales de y = tg x.
l´ım x→ (2k+1) 2 π^ −^
tg x = +∞ l´ım x→ (2k+1) 2 π+^
tg x = −∞
Es una funci´on creciente en todo su dominio.
Es convexa en los intervalos {(kπ, (2k+1) 2 π) : k ∈ Z} y c´oncava en {((2k− 2 1)π, kπ) : k ∈ Z}.
Figura 3.5: Gr´afica de la funci´on y = tg x
3.9. Funciones trigonom´etricas inversas
Hasta el momento, dado un ´angulo nos proponemos obtener las razones trigonom´etri- cas asociadas a dicho ´angulo. Podemos plantearnos la pregunta rec´ıproca: Si cono- cemos el valor de la raz´on trigonom´etrica, ¿podemos conocer el ´angulo con el que trabajamos?. La respuesta es afirmativa definiendo de manera adecuada el conjunto donde podemos definir de manera rec´ıproca las funciones trigonom´etricas. As´ı, se definen las funciones arcoseno (arc sen), arcocoseno (arc cos) y arcotangente (arc tg) como las funciones inversas del seno, coseno y tangente, respectivamente. Esto es:
arc sen x = α ⇔ sen α = x arc cos x = α ⇔ cos α = x arc tg x = α ⇔ tg α = x
Sabemos que hay muchos ´angulos que tienen la misma raz´on trigonom´etrica, por tanto para quedar bien definidas las funciones inversas debemos de fijar un rango para cada una de ellas, as´ı estas funciones quedan:
