1.8 | Trigonometría 15
■ EJEMPLO 1.9 Coordenadas cartesianas y polares
OBJETIVO Comprender cómo se convierte del plano
de coordenadas rectangulares al plano de coordenadas
polares y a la inversa.
PROBLEMA a) Las coordenadas cartesianas de un
punto en el plano xy son (x, y) 5 (23.50 m, 22.50 m)
como se muestr a en la fig ura activa 1.7. Ha llar las coor-
denadas polares de este punto. b) Convierta (r, u) 5
(5.00 m, 37.0°) a coordenadas rectangulares.
ESTRATEGIA Aplique las funciones trigonométricas y sus inversas, junto con el teorema de Pitágoras.
Tip 1.3 Grados contra
radianes
Cuando calcule func iones trigo-
nométricas, cerciórese de que
su calculadora está programada
en grados o r adianes, consistente
con la medida en gr ados que
está utilizando en u n problema
determinado.
2Mucha gente util iza el nemotécnico SOHCAHTOA para recordar l as formulas tr igonométricas bá sicas: Seno 5
Opuesto/Hipotenus a, Coseno 5 Adyacente/Hipotenusa y Tangente 5 Opuesto/Adyacente. (Agradecimientos
al profesor Do n Chodrow por señala r esto.)
Figura activa 1.7
(Ejemplo 1.9) Conversión de coordenada s
cartesianas a coordenadas polares.
(–3.50, –2.50)
x (m)
r
y (m)
u
Figura activa 1.6
Algu nas funciones trigonométrica s
de un triá ngulo rectángulo.
x
ry
sen = y
r
cos = x
r
tan = x
y
y
x
u
u
u
u
1.8 Trigonometría
Considere el triángulo rectángulo de la figura activa 1.6, donde el lado y es opuesto al án-
gulo u, el lado x es adyacente al ángulo u y el lado r es la hipotenusa del triángulo. Las fun-
ciones trigonométricas básicas definidas en el triángulo mencionado son las razones de las
longitudes de los lados del triángulo. Estas relaciones son conocidas como las funciones
seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). En términos de u, las funciones trigonométri-
cas básicas son como sigue:2
sen u5lado opuesto a u
hipotenusa 5y
r
cos u5lado adyacente a u
hipotenusa 5x
r
tan u5 lado opuesto a u
lado adyacente a u5y
x
[1.1]
Por ejemplo, si el ángulo u es igual a 30°, entonces la razón de y a r siempre es 0.50; es de-
cir, sen 30° 5 0.50. Observe que las funciones seno, coseno y tangente son cantidades sin
unidades porque cada una representa la razón de dos longitudes.
Otra relación importante, denominada teorema de Pitágoras, existe entre las longitu-
des de los lados de un triángulo rectángulo:
r
2 5 x2 1 y2 [1.2]
Por último, con frecuencia será necesario hallar los valores de las relaciones inversas.
Por ejemplo, se sabe que el seno de un ángulo es 0.866, pero necesita conocer el ángulo
mismo. Es posible expresar la función seno inverso como sen21 (0.866), que es la manera
corta de hacer la pregunta “¿Qué ángulo tiene un seno de 0.866?” Al oprimir dos teclas de
su calculadora revela que este ángulo es 60.0°. Intente esto y demuestre que tan21 (0.400)
5 21.8°. Asegúrese que su calculadora está programada para grados, y no para radianes.
Además, la función inversa de la tangente puede regresar sólo valores entre 290° y 190°,
de este modo cuando un ángulo está en el segundo o tercer cuadrante, es necesario sumar
180° a la respuesta en la pantalla de la calculadora.
Las definiciones de las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas in-
versas, así como el teorema de Pitágoras, pueden ser aplicados a todo triángulo rectángulo,
independientemente de si sus lados corresponden a las coordenadas x y y.
Estos resultados de la trigonometría son eficaces en la conversión de coordenadas rec-
tangulares a coordenadas polares, o bien, a la inversa, como se muestran en los ejemplos
de más adelante.
(continúa)
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