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INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA. 5TO
¿Qué es la Trigonometría?
La trigonometría es, atendiendo al significado etimológico de la palabra, la medición de los triángulos (del griego trigono y metron ). La trigonometría forma parte de la ciencia matemática y se encarga de estudiar las razones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. ORIGEN. Ya los estudiosos del antiguo Egipto y Babilonia estaban al tanto de los teoremas acerca de la medición de los triángulos semejantes y las proporciones de sus lados. Se sabe que los astrónomos de Babilonia registraban los movimientos de los planetas y los eclipses. Los egipcios, dos mil años antes de Cristo, ya utilizaban la trigonometría en una forma primitiva para construir sus pirámides. Los fundamentos de la actual trigonometría se desarrollaron en la Antigua Grecia, pero además en la India y en manos de estudiosos musulmanes. Estudiosos de la trigonometría antigua fueron Hiparco de Nicea, Arybhata, Varahamihira, Brahmagupta, Abu’l-Wafa, entre otros. El primer uso de la función “seno” se remonta al siglo VIII a. C. en la India. Quien introdujo el tratamiento analítico de la trigonometría en Europa fue Leonhard Euler. Se conocieron entonces como las “fórmulas de Euler”. Partieron de la correspondencia que existe entre la longitud de los lados de un triángulo a partir de que mantienen la misma proporción. Si un triángulo es semejante entonces la relación entre la hipotenusa y un cateto es constante. Si observamos que una
PRECURSORES.
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría
moderna. Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe: El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos. El segundo es puramente astronómico. El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera. Regiomontanus Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida. Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a
Aplicaciones de la trigonometría en la ciencia y
en la vida cotidiana
1 - Aplicaciones en la astronomía
La trigonometría se usa en la astronomía para calcular la distancia
del planeta Tierra al Sol, a la Luna, el radio de la Tierra y también
para medir la distancia entre los planetas.
Para realizar esas mediciones se valen de la triangulación, la cual
consiste en tomar distintos puntos de lo que se desea medir y
considerar cada uno como vértices de triángulos; de ahí se saca la
distancia entre un punto y otro.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos, y lo utilizaron en la astronomía.
2 - Aplicaciones en la arquitectura
La aplicación de la trigonometría en la arquitectura es algo que
nunca debe faltar. De su uso depende la creación de los planos y
su posterior ejecución.
La creación de una casa o de un edificio debe seguir unos
parámetros específicos. Por ejemplo: se debe medir cada ángulo
de todas las paredes y las columnas con el objeto de evitar alguna
deformidad que con el tiempo pueda hacer que el edificio se
derrumbe.
Un ejemplo claro del uso de la trigonometría en la arquitectura se
observa en las pirámides egipcias y en las construcciones
realizadas por las civilizaciones que habitaban el continente
americano antes de la llegada de los españoles.
Debido a la aplicación de la trigonometría es que esas
construcciones siguen casi intactas con el paso del tiempo.
3 - Aplicaciones en la navegación
La trigonometría fue utilizada en la navegación durante muchos
años y para ello crearon lo que hoy se conoce como sextante,
instrumento con el que se podía medir la distancia triangulando
con el Sol o las estrellas.
El sextante era utilizado de la siguiente manera: se debía
determinar la altura angular del Sol (o de las estrellas o de
cualquier astro que pueda servir como punto de referencia) por
encima del horizonte.
Posteriormente se podrían realizar cálculos matemáticos para
determinar el punto en el que se encuentra el observador, es
decir, la persona que está usando el sextante.
Conociendo dos puntos de una costa o una isla, el sextante
también podía ser utilizado para medir la distancia en la que se
encontraban los barcos de la costa.
El sextante era el encargado de orientar a los capitanes de los
barcos. En la actualidad el sextante ha sido reemplazo por los
sistemas satelitales. Estos también se valen del uso de la
trigonometría.
4 - Aplicaciones en la geografía
En la geografía la trigonometría se usa para el cálculo de las
distancias en un mapa; es decir, se vale de los paralelos y los
meridianos para poder calcular la longitud.
5 - Aplicaciones en los videojuegos
La trigonometría se usa para la programación de videojuegos. Por
esto, todo lo que se presenta en la pantalla requiere de la
trigonometría.
Tomando en cuenta todos estos puntos se puede calcular la
trayectoria del balón. Esto también puede ser aplicado para medir
la trayectoria de un proyectil, un cohete, entre otros elementos.
11 - Aplicaciones en la medicina
La trigonometría se aplica en la medicina para poder leer los
electrocardiogramas, examen que registra gráficamente la
actividad eléctrica del corazón en función del tiempo.
En estos estudios aparecen funciones del seno y el coseno. De
acuerdo a cómo van apareciendo se les va otorgando una letra que
le da significada a la onda. Esto permite que los médicos lo puedan
leer y dar un diagnóstico oportuno.
12 - Aplicaciones en tráfico
La trigonometría es fundamental para medir distancias geográficas
y así poder establecer rutas, elementos de tráfico, establecer
límites de velocidad, etc.
13 - Aplicaciones en el arte
La trigonometría (al igual que la geometría) están vinculados al
arte desde la Antigüedad, ya que su competencia se aplica en
dibujos, pinturas, esculturas y obras arquitectónicas. Esto es
percebible a través de las proporciones, simetría, la luz o las
sombras.
Con el desarrollo del diseño gráfico, esta aplicación se ha
acentuado debido a las comodidades de una computadora de
calcular fórmulas.
RAZONES O FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo Seno El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.
Cosecante La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por csc B o cosec B. Secante La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.
Cotangente La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B o ctg B. SOH-CAH-TOA: Una manera sencilla de recordar SOH-CAH-TOA es un acrónimo que se usa para poder memorizar las definiciones de las razones trigonométricas más importantes: seno, coseno y tangente. La siguiente tabla explica su significado.
