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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRIA, MATEIMCA CICLO SUPERIOR
Tipo: Apuntes
1 / 30
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¡No te pierdas las partes importantes!
Contenidos:
Ángulos orientados en el sistema cartesiano
Sistema circular de medición de ángulos
Razones trigonométricas
La circunferencia trigonométrica
Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo
Funciones trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Identidades trigonométricas
Actividad 1:
Actividad 2:
Actividad 3:
Si ahora bordeamos el círculo con el semieje negativo de las x, “pinchando” el cero en el mismo lugar pero yendo
en el sentido de las agujas del reloj:
Construiremos sólo uno de los análogos a los gráficos anteriores para que comprendas cómo quedan los números
familiarices con esta forma en que estamos colocando la recta real sobre la circunferencia trigonométrica. Pero te
adelantamos que esta acción que hemos descripto como “enrollar”, “bordear” es para todo el eje real, para ambos semiejes,
Se trata de tres valores muy fáciles de recordar:
Observá ahora que este triángulo es igual al
anterior, por lo tanto, el cateto vertical mide
y el cateto horizontal mide
2
3
2
1
En este caso se trata de un triángulo que además
de ser rectángulo es isósceles. Por lo tanto, tanto el
cateto horizontal como el vertical tiene la misma
medida. Aplicando el teorema de Pitágoras Y
llamando con la letra “A” a ambos catetos
obtenemos: 1 2 1
2 2 2 2
A A A de donde
despejando A y racionalizando el denominador
llegaremos a que la medida de ambos catetos es
2
2
El pequeño: El mediano: El grande:
2
1
2
2
2
3
Actividad 4:
Actividad 5:
Actividad 6:
Actividad 7:
trigonométrico:
y
. Puede pensarse también como el seno del ángulo
correspondiente (en este caso obtuso) pero hagamos el esfuerzo de pensarlo como el número “A”.
El seno y el coseno del número real A son la ordenada y la abscisa del punto A respectivamente. En este caso el
seno es un número positivo y el coseno un número negativo.
y. Puede pensarse también como el seno del ángulo
correspondiente (de entre 180 y 270 grados) pero hagamos el esfuerzo de pensarlo como el número “A”.
El seno y el coseno del número real A son la ordenada y la abscisa del punto A respectivamente. En este caso
tanto el seno como el coseno son números negativos.
IMPORTANTE: Debés analizar el dibujo anterior hasta que no te quede ninguna duda.
IMPORTANTE: Debés analizar el dibujo anterior hasta que no te quede ninguna duda.
y. Puede pensarse también como el seno del ángulo
correspondiente (de entre 270 y 360 grados) pero hagamos el esfuerzo de pensarlo como el número “A”.
El seno y el coseno del número real A son la ordenada y la abscisa del punto A respectivamente. En este caso el
seno es negativo y el coseno es positivo.
Puede pensarse también como el seno del ángulo correspondiente (de entre 270 y 360 grados) pero hagamos el esfuerzo
de pensarlo como el número “A”.
El seno y el coseno del número real A son la ordenada y la abscisa del punto A respectivamente. En este caso
tanto el seno como el coseno son números negativos.
Actividad 9:
Completar las cinco celdas que faltan en el siguiente cuadro:
Seno
Signo en el
primer
cuadrante:
POSITIVO
Signo en el
segundo
cuadrante:
Signo en el
tercer
cuadrante:
Signo en el
cuarto
cuadrante:
x, cosx 1
x/ cosx 1
x, 1 cosx 1
x/ 1 cosx 1
x, 1 cosx 1
x/ 1 cosx 1
x, cos 1
x/ cosx 1
Ahora vamos a resolver algunas ecuaciones trigonométricas.
Primer ejemplo resuelto:
Comencemos con uno muy simple:
senx 1
Fijate que este valor del seno es únicamente para el número
de ese intervalo, o sea es el valor de la ordenada cuando
el número real
A . Pero ahora observá que si no estuviese la condición de un dominio pequeño como éste:
puntos de la recta real (tanto de la semirrecta positiva como de la negativa) que estarían “superpuestos” en ese lugar:
;
;
; … ;
, … ;
;
; … ;
… etc. ¿Cómo podríamos escribirlos a todos? Fijate que todos son
más o menos un múltiplo par de
por lo tanto podríamos escribirlos:
Segundo ejemplo resuelto
cos 1
2
x
cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
2
x x x ó x
Los valores 1 y – 1 son tomados por el coseno (por la abscisa) cuando el número real que venimos llamando A es 0 o es
simplemente resolver la ecuación cos 1
2
x , para cualquier x real encontraríamos infinitos puntos de la recta real (tanto
de la semirrecta positiva como de la negativa) que estarían “superpuestos” en esos dos lugares:
0
; 1 ·
; 2 ·
; 3 ·
; … ; 140
, … – 1 ·
; – 2 ·
; – 3 ·
; … ; 140
, … etc. ¿Cómo
podríamos escribirlos a todos? Fijate que todos son todos múltiplos de
(múltiplos pares y múltiplos impares de
)
Las soluciones son los infinitos números reales
x del tipo
x 2 k
2
con
entero.
Las soluciones son los infinitos números reales
x del tipo
x k
con
entero.
Tercer ejemplo resuelto
cos
2
x
cos
cos
cos
cos
2
x x x ó x
Es importante que tratemos de resolver esta ecuación pensando sólo en el círculo trigonométrico, sin recurrir a la
calculadora.
es uno de los llamados “valores notables”. Se trata de los que encontramos un par de páginas antes. Ahora nos
preguntaremos en qué lugar del primer cuadrante (del primer cuarto de circunferencia) el coseno (la abscisa) toma el
valor y realizar o pensar en el siguiente esbozo:
otra:
Pero veamos que está la otra opción: que
cos x con lo cual vemos que en el segundo y cuarto cuadrantes hay
dos soluciones más:
. Veremos más adelante cómo su gráfica mostrará asíntotas verticales en esos infinitos
puntos.
Actividad 12:
Completar el siguiente cuadro (Ayuda: recordar la definición de tangente y los signos del seno y del coseno en cada
cuadrante)
Tangente
Signo en el
primer
cuadrante:
POSITIVO
Signo en el
segundo
cuadrante:
Signo en el
tercer
cuadrante:
Signo en el
cuarto
cuadrante:
Una cuestión importante que tiene que ver con rectas perpendiculares.
Cuando al inicio de este curso estudiamos rectas paralelas, en ningún momento hablamos de perpendiculares, auque
pudimos hacerlo dando una definición, de hecho algunos alumnos la recordaron de la escuela media. También quedará
más claro el porqué del hecho que las rectas decrecientes tienen pendiente negativa.
Nuestra espera tuvo que ver con la justificación de dicha definición. Observemos cómo son los entre sí los ángulos que
forman dos rectas perpendiculares.
Obsevá con atención por qué los ángulos que forman, con el eje de las abscisas, en sentido antihorario los ángulos de los
rectas perpendiculares difieren en 90 grados.
Ahora bien ¿Por qué hemos llamado a una de las pendientes m y a la otra
m
Recurramos al círculo trigonométrico para comprender: Tomemos en él dos ángulos suplementarios
Podemos observar claramente que:
0
sen cos 90
0
cos sen 90
Si dividimos ambas igualdades miembro a miembro obtenemos:
0
tan 90
tan Si ahora recordamos que la pendiente
de una recta es la tangente del ángulo que la misma
forma con eje de las abscisas obtendremos esta propiedad que seguramente conocen: Si dos rectas son perpendiculares
la relación entre sus pendientes es: Si llamamos
a una de ellas, la otra tendrá pendiente
. Otra forma de enunciar
esta propiedad es decir que el producto de ambas pendientes debe ser igual a 1.
Actividad 13:
Dada la recta de ecuación 4
y x. Hallar la ecuación explícita de la recta perpendicular a ella que contiene al origen
de coordenadas. Graficar ambas.
NO ESTÁN LAS RESPUESTAS DE TODAS ESTAS ACTIVIDADES. LAS REALIZAREMOS EN CLASE.
Actividad 14:
Actividad 15:
Actividad 16:
