¡Descarga Trimestral Mates 2n Batx y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
FULL D’EXAMEN
ETAPA: BATXILLERAT CURS: BAT2 GRUPS: PROVA: PROVA TRIMESTRAL TRIM: 1 MATÈRIA: MATEMÀTIQUES DATA: TEMA: Model
A
Qualificació
ALUMNE/A: Cognoms^ Nom
No es valorarà cap resultat que no estigui precedit pel procediment de resolució o per un raonament. Feu 5 de les 6 activitats proposades.
- Donada la funció f ( x )= 2x
2 x − 3
, trobeu:
a) L'equació de les asímptotes. b) L'equació de la recta tangent a la gràfica de f^ ( x )^ en el punt d'abscissa x =^2.
a)
D (^) f =ℝ−{ 3 }
lim x → 3 −
2x^2 x − 3
=^18
0 −^
=−∞ ; lim x → 3 +
2x^2 x − 3
=^18
0 +^
=+∞ ⇒ x = 3 és asímptota vertical.
lim x →±∞
2x^2 x ( x − 3 )
= 2 = m (^) ; lim
x →±∞ (^
2x^2 x − 3
−2x) = lim
x →±∞ (^
2x^2 −2x^2 + 6x
x − 3 )
= 6 = n (^) ⇒ y =2x + (^6) és
asímptota obliqua.
b)
f ' ( x )= 2x
(^2) −12x
( x − 3 )^2
; y − y 0 = m ( x − x 0 ) ;
x 0 = 2 y 0 = f ( 2 )=− 8
m = f ' ( 2 )=− 16 }^
⇒ y +^8 =−^16 (^ x −^2 )^ ⇒
⇒ y =−16x^ +^24
La gràfica no és necessària.
FULL D’EXAMEN
- Donada la funció f ( x )=( x^2 − 4 x + 5 ) ex
a) Determineu els extrems absoluts de f ( x ) en l'interval [ 0 , 2 ]. b) Determineu els punts d'inflexió de f ( x ).
a) f ' ( x )= ex^ ( x^2 −2x+ 1 ) ; f ' ( x )= 0 ⇒ x = 1 ; 1 ∈(0,2)
f ( 0 )= (^5) ⇒ Mínim B (0,5) f ( 1 )=2e f ( 2 )= e^2 ⇒ Màxim^ D (2, e^2 )
b) f ' ' ( x )= e x^ ( x^2 − 1 ) ; f ' ( x )= (^0) ⇒ x =± 1. El signe de la segona derivada depèn de
x^2 − 1. Es pot comprovar com canvia de signe als dos costats de cada punt, també gràficament.
Per x =− 1 la segona derivada passa de positiva a negativa i per x = 1 passa de negativa a positiva.
Per tant els punts d'inflexió són A (^) (−1,
e )^
i B (1,2^ e^ )
La gràfica no és necessària
FULL D’EXAMEN
- Donada la funció f ( x )= x
(^2) + a x + 1
a) Determineu el valor del paràmetre a per tal que f ( x ) tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x =^2. b) Per a = 3 , determineu els intervals de creixement i decreixement de f ( x ).
a) f ' ( x )= x
(^2) +2x− a
( x + 1 )^2
; f ' ( 2 )=
8 − a 9
; f ' ( 2 )= 0 ⇒ a = 8
La gràfica no cal.
b) f ' ( x )= x
(^2) + 2x− 3
( x + 1 )^2
; f ' ( x )= 0 ; (^) x^2 +2x− 3 = 0 ⇒ (^) { x =−^3 x = 1 }
{
f ' (− 3 −^ )> 0 f ' (− 3 +^ )< 0 }^
⇒ màxim relatiu
{
f ' ( 1 −^ )< 0 f ' ( 1 +^ )> 0 }^
⇒ mínim relatiu
Creixent en (−∞ , − 3 )∪(1,+∞) Decreixent en (− 3 , − 1 )∪(−1,1)
FULL D’EXAMEN
La gràfica no cal
FULL D’EXAMEN
- Calculeu les següents primitives:
a) (^) ∫ x −^3 x^2 + 1
dx b) (^) ∫^6 x^2 ln( x )^ dx
a) (^) ∫ x −^3 x^2 + 1
dx =∫ (^) (
x x^2 + 1
x^2 + 1 )^
dx =∫
x x^2 + 1
dx −∫
x^2 + 1
dx
Calculem cada una de les primitives per separat:
∫
x x^2 + 1
dx =
2 ∫^
2x x^2 + 1
dx =
ln( x^2 + 1 )+ C
∫
x^2 + 1
dx = (^3) ∫
1 + x^2
dx = 3 arctg x + C
Per tant: (^) ∫ x −^3 x^2 + 1
dx =^1 2
ln( x^2 + 1 )− 3 arctg x + C
b) (^) ∫ 6 x^2 ln( x ) dx = (^6) ∫ x^2 ln( x ) dx. Aquesta primitiva s'ha de fer per parts, considerant que
f ( x )= lnx , per tant f ' ( x )= 1 x
i g ' ( x )= x^2 , per tant g ( x )= x
3 3
Calculem (^) ∫ x^2 ln( x )^ dx
∫ x^2 ln(^ x )^ dx =^
x^3 3
ln( x )−∫ 1 x
x^3 3
dx = x
3 3
ln( x )−^1 3 ∫^
x^2 dx = x
3 3
ln ( x )− 1 3
x^3 3
∫^6 x
(^2) ln( x ) dx = 6 (
x^3 3
ln( x )− 1 3
x^3 3 )
+ C
FULL D’EXAMEN
- Volem unir el punt M situat en un costat d'un carrer de 9 m d'amplada amb un punt N situat a l'altre costat i 10 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a un punt P situat a l'altre costat del carrer i un altre des de P fins a N seguint el mateix costat del carrer, segons l'esquema següent:
El cost de la instal·lació del cable MP és de 13 € per metre i del cable PN de 5 € per metre. Quin punt haurem d'escollir de manera que la connexió de M amb N sigui tan econòmica com sigui possible? Quin serà aquest cost mínim?
Anomenem x al segment que va des de la projecció de M a P i per tant 10 − x al segment PN.
El segment PM és una hipotenusa PM = (^) √ 92 + x^2
El cost de la instal·lació serà per tant: f ( x )= 13 √ 81 + x^2 + 5 ( 10 − x )
f ' ( x )= 13 2x 2 √ 81 + x^2
− 5 ; f ' ( x )= (^0) ⇒ 13 2x 2 √ 81 + x^2
− 5 = (^0) ⇒ 13x √ 81 + x^2
⇒ 13x= 5 √ 81 + x^2 ⇒ 169 x^2 = 25 ( 81 + x^2 ) ⇒ 144x^2 = 2025 ⇒ x =
=3,75 m
{
f ' (3,74)< 0 f ' (3,76)> 0 }^
⇒ Mínim.
f (^) (
4 )
