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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CÁLCULO DE UNA VARIABLE – APRENDIZAJE ACTIVO – PARALELO “1”
UNIDAD 3 : ANTIDERIVADAS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
TUTORIAL # 3 – 14 DE DICIEMBRE DE 2022
TEMA 1 ( 25 PUNTOS)
La velocidad con la que una partícula se desplaza a lo largo de una recta en un instante
𝒕 es 𝒗(𝒕) = 𝒕 √𝟏 + 𝒕
𝟐
𝒌𝒎⁄ 𝒉𝒓. Determine la expresión para la distancia 𝒙(𝒕) recorrida
por la partícula, sabiendo que 𝒙(𝟎) = 𝟎 𝒌𝒎.
Solución:
Dado que la distancia recorrida 𝑥 es la antiderivada de la velocidad 𝑣, se la puede
obtener aplicando la TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE) y la REGLA DE LA POTENCIA:
2
2
1 2
⁄
2
Sustituyendo, antiderivando y expresando la familia de antiderivadas en términos de la
variable original:
1 ⁄ 2
[
3 2
⁄
] =
3 ⁄ 2
2
3 ⁄ 2
2
3
Se calcula la constante de integración 𝐶, utilizando la condición 𝑥
proporcionada en el problema:
2
3 2
⁄
Bajo las condiciones dadas, la expresión para la distancia 𝑥 recorrida por la partícula es:
2
3
[
]
TEMA 2 ( 35 PUNTOS)
El VALOR ACUMULADO 𝑽
(en 𝒅𝒐
𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 ) de un flujo continuo de ingresos 𝒇
por año,
puede ser calculado mediante la expresión:
−𝒓𝒕
donde el tiempo 𝒕 es medido en años y 𝒓 es la tasa de interés anual en notación
decimal (ejemplo: 𝟏% debe especificarse como 𝟎. 𝟎𝟏 ).
Determine una expresión para el VALOR ACUMULADO 𝑽
considerando que el flujo de
ingresos es 𝒇(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎 𝒕
𝟐
- 𝟏𝟎𝟎 , con una tasa de interés anual del 𝟏𝟎% y teniendo
en cuenta que 𝑽
Solución:
Para obtener el VALOR ACUMULADO 𝑉 se considera la PROPIEDAD DE LINEALIDAD a la expresión
dada:
2
− 0. 1 𝑡
2
− 0. 1 𝑡
Se aplica por primera vez la TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR PARTES:
2
− 0. 1 𝑡
−
𝑡
10
𝑑𝑡
−
𝑡
10
−
𝑡
10
= − 10 𝑒
− 0. 1 𝑡
2
− 0. 1 𝑡
−
𝑡
10 𝑑𝑡)
Se aplica por segunda vez la TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR PARTES en la integral ∫
−
𝑡
10 𝑑𝑡 :
−
𝑡
10
𝑑𝑡
−
𝑡
10
−
𝑡
10
= − 10 𝑒
− 0. 1 𝑡
− 0. 1 𝑡
− 0. 1 𝑡
−
𝑡
10
𝑑𝑡 = − 10 𝑡𝑒
− 0. 1 𝑡
− 0. 1 𝑡
− 0. 1 𝑡
− 0. 1 𝑡
Se reemplazan los valores de 𝑘 =
1
250
y 𝑁 = 1000 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠, y, se antideriva ambos
lados de la ecuación:
1
1
Para la primera integral, se realiza la DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES de la función
integrando, se plantea la igualdad de polinomios, se calculan los dos coeficientes
desconocidos 𝐴 y 𝐵, se aplica la propiedad de linealidad, y, se obtiene la familia de
antiderivadas:
Entonces:
[ ∫
]
[𝑙𝑛(|𝑥|) − 𝑙𝑛(| 1000 − 𝑥|)]
2
2
Luego:
2
2
2
1
1
2
Si se toma 𝑘
3
1
2
y despejando la variable 𝑥 se tiene que:
3
3
𝑙𝑛(|
𝑥
1000 −𝑥
|)
4 𝑡+ 4 𝑘
3
4 𝑡
4 𝑘
3
; 𝑒
4 𝑘
3
= 𝐶
Con base en que
𝑥
1000 −𝑥
0 , se tiene que:
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
Se calcula la constante de integración , utilizando la condición 𝑥
[
]
proporcionada en el problema:
4 ( 0 )
4
( 0
)
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
4 𝑡
El 𝑛𝑢́ 𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑥 que conocen la información para los valores de 𝑘 y 𝑁 dados,
es:
4 𝑡
4 𝑡
