Universidad Complutense Madrid, Apuntes de Matemáticas

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AN ´ALISIS DE VARIABLE REAL

V´ıctor Manuel S´anchez de los Reyes

Departamento de An´alisis Matem´atico

Universidad Complutense de Madrid

• 1. Los n´umeros reales, sucesiones y series
  • 1.1. Los n´umeros naturales. Inducci´on
  • 1.2. Los n´umeros enteros
  • 1.3. Los n´umeros racionales
  • 1.4. Sucesiones
  • 1.5. Series
  • 1.6. Expresi´on decimal de los n´umeros racionales
  • 1.7. Los n´umeros irracionales
  • 1.8. Los n´umeros reales
    • 1.8.1. Ordenaci´on. Intervalos
    • 1.8.2. Supremo e ´ınfimo
    • 1.8.3. Construcciones con n´umeros reales
    • 1.8.4. El teorema de Bolzano-Weierstrass
    • 1.8.5. Subsucesiones
    • 1.8.6. L´ımites superior e inferior
    • 1.8.7. La propiedad de Cauchy
  • 1.9. Series convergentes
    • 1.9.1. Comparaci´on de series de t´erminos positivos
    • 1.9.2. Series alternadas 4 ´INDICE
    • 1.9.3. Convergencia absoluta
    • 1.9.4. Criterios de convergencia
    • 1.9.5. Producto de series
• 2. Funciones, l´ımites y continuidad
  • 2.1. Funciones reales de variable real
  • 2.2. L´ımites
  • 2.3. Continuidad
• 3. Derivaci´on
  • 3.1. Definiciones
  • 3.2. T´ecnicas para el c´alculo de derivadas
  • 3.3. Propiedades de las funciones derivables
    • 3.3.1. Crecimiento y decrecimiento. M´aximos y m´ınimos locales
    • 3.3.2. El teorema del valor medio
    • 3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor
    • 3.3.4. An´alisis local de una funci´on derivable
  • 3.4. C´alculo de primitivas
• 4. Integraci´on
  • 4.1. Integral de una funci´on continua
  • 4.2. La integral de Riemann
  • 4.3. El teorema fundamental del C´alculo
  • 4.4. Integrales impropias
  • 4.5. Aplicaciones de la integral
• ´INDICE - 4.5.1. Longitud de la gr´afica de una funci´on - 4.5.2. Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revoluci´on
  • 4.6. Las funciones trigonom´etricas
  • 4.7. Las funciones logar´ıtmica y exponencial
• 5. Sucesiones y series de funciones
  • 5.1. Convergencia puntual
  • 5.2. Convergencia uniforme
  • 5.3. Propiedades de la funci´on l´ımite
    • 5.3.1. Continuidad
    • 5.3.2. Integraci´on
    • 5.3.3. Derivaci´on
  • 5.4. Series de potencias
• Bibliograf´ıa

Cap´ıtulo 1

Los n´umeros reales, sucesiones y

series

1.1. Los n´umeros naturales. Inducci´on

Definici´on 1.1.1. Los n´umeros naturales son los n´umeros 1, 2 , 3 ,... y N designa a la colecci´on de todos ellos.

Los axiomas de Peano constituyen una caracterizaci´on de N: (i) En N hay un elemento distinguido, 1. (ii) Para cada n ∈ N est´a definido en N de manera ´unica el siguiente de n, n+, que verifica n+^6 = 1.

(iii) n+^ = m+^ implica que n = m. (iv) (Principio de inducci´on matem´atica) Si un subconjunto A de N verifica que 1 ∈ A y, si k ∈ A, resulta tambi´en que k+^ ∈ A, entonces A = N.

Definici´on 1.1.2. Para definir la suma en N se procede as´ı: se fija un elemento arbitrario n ∈ N y se trata de definir n + m cuando m recorre N. Para ello se define n + 1 = n+^ y n + m+^ = (n + m)+. De forma an´aloga, las relaciones n · 1 = n y n · m+^ = n · m + n sirven para definir el producto. Por otra parte, n > m significa que n = m + d para alg´un d ∈ N, y en estas circunstancias d se designa n − m, y se llama diferencia de n a m.

El principio de inducci´on nos sirve para establecer que una determinada propiedad P (n) es verdadera para todo n ∈ N, de la forma siguiente:

7

8 CAP´ITULO 1. LOS N UMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES´

(i) Comprobamos que P (1) es verdadera. (ii) Probamos que si P (k) es verdadera, entonces P (k + 1) es verdadera. En general, fijado n 0 ∈ N, podemos establecer que una propiedad P (n) es verdadera para cada n ≥ n 0 cuando se cumple:

(i) P (n 0 ) es verdadera. (ii) Si P (k) es verdadera (k ≥ n 0 ), entonces P (k + 1) es verdadera. O bien: (i) P (n 0 ) es verdadera. (ii) Si P (i) es verdadera para cada i tal que n 0 ≤ i ≤ k, entonces P (k+1) es verdadera.

Definici´on 1.1.3. Dado n ∈ N se define el factorial de n como

n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1.

Definici´on 1.1.4. Dados n ∈ N y k ∈ N∪{ 0 } con k ≤ n se define el n´umero combinatorio (n k

como (^) ( n k

= (^) k!(nn −! k)!

con la convenci´on 0! = 1.

Los n´umeros combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobaci´on es inmediata a partir de la definici´on anterior:

(i)

(n k

( (^) n n−k

(ii)

(n+ k

( (^) n k− 1

(n k

con 0 < k ≤ n. A partir de la propiedad anterior se demuestra f´acilmente por inducci´on la f´ormula de Newton:

Teorema 1.1.5. Dado n ∈ N se tiene que

(a + b)n^ =

∑^ n k=

n k

an−kbk.

10 CAP´ITULO 1. LOS N UMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES´

(xv) 13 + 151 + · · · + (^4) n^12 − 1 = (^2) nn+.

3.- Demostrar que xn = √^15

[(1+√ 5

2

)n −

2

)n] ∈ N para todo n ∈ N.

4.- Probar que para todo n ∈ N:

(i) 2^2 n^ + 15n − 1 es m´ultiplo de 9.

(ii) 5n^ − 1 es m´ultiplo de 4.

(iii) 7n^ − 6 n − 1 es m´ultiplo de 36.

(iv) n^5 − n es m´ultiplo de 5.

(v) 11n+2^ + 12^2 n+1^ es m´ultiplo de 133.

(vi) 2^2 n+1^ + 1 es m´ultiplo de 3.

(vii) 4n+1^ + 5^2 n−^1 es m´ultiplo de 21.

(viii) 10^6 n+2^ + 10^3 n+1^ + 1 es m´ultiplo de 111.

5.- Demostrar que cualquier n´umero de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas de 3 y 5 botellas.

1.2. Los n´umeros enteros

Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los n´umeros enteros apoy´andose en el ya conocido N. Al par ordenado (a, b) de n´umeros naturales se asocia el entero positivo a − b si a > b, 0 si a = b y el entero negativo −(b − a) si a < b. Se observa as´ı que a pares distintos puede asociarse el mismo n´umero entero n. Precisamente, se establece que la colecci´on de tales pares constituye la identidad de n.

Definici´on 1.2.1. Las definiciones de suma, producto y ordenaci´on en Z son las siguientes:

(i) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (ii) (a, b) · (c, d) = (ac + bd, bc + ad). (iii) (a, b) > (c, d) significa que a + d > b + c.

Observaci´on 1.2.2. Estas definiciones coinciden con las de N cuando se trata de enteros positivos y son independientes de la elecci´on del par ordenado que representa a cada n´umero.

1.3. LOS N UMEROS RACIONALES´ 11

1.3. Los n´umeros racionales

A cada par ordenado (a, b) con b 6 = 0 de n´umeros enteros se asocia la fracci´on ab.

Definici´on 1.3.1. La suma y el producto de fracciones se define mediante

a b +^

c d =^

ad + bc bd

y a b

c d =^

ac bd. La fracci´on ab se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de fracciones positivas. Que dos fracciones ab y a b′′ son equivalentes significa que ab′^ = a′b. La colecci´on de todas las fracciones que son equivalentes entre s´ı se llama n´umero racional, y el conjunto de todos ellos se designa por Q.

Observaci´on 1.3.2. En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la sustitu- ci´on de un t´ermino por una fracci´on equivalente produce un resultado equivalente. Por esta raz´on, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de n´umeros racionales. Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son tambi´en, el n´umero correspon- diente se llama positivo, y la colecci´on de todos ellos se designa por Q+. Que x ∈ Q+^ se denota tambi´en x > 0.

Por otra parte, si una fracci´on ab es tal que existe un entero n que verifica a = bn, entonces cualquier fracci´on a b′′ equivalente a ab verifica tambi´en que a′^ = b′n. En estas circunstancias el n´umero racional correspondiente se identifica con n, y de esta forma se puede considerar que Z ⊂ Q. Tambi´en resulta que las definiciones que se han establecido en Q coinciden con las de Z cuando se refieren a los elementos de Q que se identifican con los enteros.

Las propiedades de la suma, el producto y la ordenaci´on en Q son las siguientes: (i) Propiedad asociativa de la suma: (x + y) + z = x + (y + z). (ii) Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x. (iii) x + 0 = x y x + (−x) = 0 (−x se llama opuesto de x, y est´a definido por −ba si ab representa a x. El n´umero x + (−y) se designa tambi´en x − y y es el ´unico z que verifica x = y + z).

(iv) Propiedad asociativa del producto: (xy)z = x(yz).

1.4. SUCESIONES 13

Ejercicios

1.- Establecer una biyecci´on entre N y el conjunto A = {x ∈ Q : 2 < x < 3 }.

2.- Demostrar que no existe x ∈ Q tal que x^2 = 2.

3.- Sean x, y ∈ Q+^ tales que √x + √y ∈ Q. Probar que √x, √y ∈ Q.

4.- Averiguar si log 4 5 ∈ Q.

1.4. Sucesiones

Hay muchos procesos que llevan a asociar a cada n ∈ N un determinado n´umero xn y se obtiene as´ı un objeto x 1 , x 2 , x 3 ,... , xn,... llamado sucesi´on.

La mayor parte de las veces una sucesi´on se determina mediante una f´ormula para obtener xn a partir de n. Por ejemplo: xn =

1 + (^1) n )n

. Otras veces se indica qu´e n´umero es x 1 y qu´e f´ormula permite obtener cada uno de los dem´as a partir del anterior. Por ejemplo: x 1 = 2, xn+1 = (^12)

xn + (^) x^2 n

. En general se llama sucesi´on recurrente a aquella en la que, a partir de alguno de sus t´erminos, todos se obtienen mediante una f´ormula (de recurrencia) que los relaciona con uno o varios t´erminos precedentes. Es necesario entonces indicar expl´ıcitamente los primeros t´erminos y utilizar la f´ormula a partir del siguiente.

No es necesario enumerar los t´erminos de una sucesi´on a partir de 1. Puede hacerse a partir de n 0 ∈ N, a partir de 0, etc.

Definici´on 1.4.1. Una sucesi´on xn es creciente (estrictamente creciente) si xn ≤ xn+ (xn < xn+1) para todo n ∈ N y es decreciente (estrictamente decreciente) si xn ≥ xn+ (xn > xn+1) para todo n ∈ N. Todos estos tipos de sucesiones se denominan sucesiones mon´otonas.

Definici´on 1.4.2. Una sucesi´on xn est´a acotada superiormente (inferiormente) si existe un n´umero A tal que xn ≤ A (xn ≥ A) para todo n ∈ N. Se dice entonces que A es una cota superior (inferior) de la sucesi´on. Si xn est´a acotada superior e inferiormente se dice que est´a acotada.

La observaci´on de una sucesi´on creciente y acotada superiormente nos sugiere que existe un n´umero x al cual los t´erminos de la sucesi´on se acercan cada vez m´as, llegando a estar tan pr´oximos a ´el como se pueda desear.

14 CAP´ITULO 1. LOS N UMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES´

Definici´on 1.4.3. Se dice que el n´umero x es el l´ımite de la sucesi´on xn o que xn converge a x y se expresa mediante l´ n→∞ım xn = x si para todo  > 0 existe n 0 ∈ N tal que para todo n ∈ N con n ≥ n 0 se tiene que |xn − x| < . Se dice entonces que xn es convergente. Las sucesiones que no son convergentes se denominan divergentes.

Definici´on 1.4.4. Se dice que la sucesi´on xn tiene l´ımite +∞ y se expresa mediante

nl´→∞ım xn^ = +∞^ si para todo^ A >^ 0 existe^ n^0 ∈^ N^ tal que para todo^ n^ ∈^ N^ con^ n^ ≥^ n^0 se tiene que xn > A. An´alogamente se define que la sucesi´on xn tiene l´ımite −∞.

Ejercicios

1.- Demostrar que xn = (^1) n + (^) n+1^1 + (^) n^1 +2 + · · · + (^) n+^1 n es decreciente y que todos los t´erminos de la sucesi´on son menores que 2.

2.- Se considera la sucesi´on xn dada por x 1 = 1 y xn+1 = 13 xn + 4. Demostrar que xn < 6 para todo n ∈ N y que xn es creciente.

3.- Sea la sucesi´on xn dada por x 1 = 32 y xn+1 = 2 − (^) x^1 n. Demostrar que 1 ≤ xn ≤ 2 para todo n ∈ N y que xn es decreciente.

4.- Determinar el l´ımite de cada una de las sucesiones siguientes:

(i) xn = n n+100 (^2) +.

(ii) xn = (^32) nn+500+.

(iii) xn = 1 + 12 + 13 + · · · + (^1) n.

(iv) xn = 23 nn^23 +5+2nn−+1^1.

(v) xn = 100 n^3 −nn (^22) +25−^1.

(vi) xn = 32 nn^33 +100− 100.

5.- Estudiar la convergencia de:

(i) 1, 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ,...

(ii) xn = [1 + (−1)n] (^21) n + [1 + (−1)n+1]n 2.

6.- Demostrar que las siguientes sucesiones son mon´otonas, acotadas y no tienen l´ımite racional:

(i) x 1 = 2, xn+1 = (^12)

xn + (^) x^2 n

16 CAP´ITULO 1. LOS N UMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES´

El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a pq se puede describir as´ı: p q =^ 10 p q 10 −^1 =

a 1 + r q^1

10 −^1

= 0 .a 1 + (^10) qr 110 −^2 = 0 .a 1 +

a 2 + r q^2

10 −^2

= 0 .a 1 a 2 + (^10) qr 210 −^3 = 0 .a 1 a 2 +

a 3 + r q^3

10 −^3

= 0 .a 1 a 2 a 3 + r q^3 10 −^3 = · · ·

Los restos sucesivos rn son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q primeras divisiones, y a partir de ah´ı el proceso es peri´odico. Los cocientes an son enteros no negativos menores que 10.

Observaci´on 1.6.1. La aplicaci´on de este proceso a dos fracciones equivalentes produce la misma sucesi´on de cocientes. Esto significa que tal sucesi´on viene determinada un´ıvo- camente por un n´umero racional.

Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina un representaci´on peri´odica

0 .a 1 a 2... arar+1ar+2... ar+sar+s+...

en la que a partir de alguna posici´on un bloque de cifras (per´ıodo) empieza a repetirse, es decir, ar+s+1 = ar+1, etc.

Dicha representaci´on infinita la interpretamos como la serie ∑^ ∞ n=

an 10 −n

cuya suma parcial n-´esima es 0.a 1 a 2... an. Ya que

p q = 0.a^1 a^2... an^ +^

rn q 10

−n

y 0 ≤ rn < q para cada n ∈ N resulta

0 ≤ pq − 0 .a 1 a 2... an < 10 −n

y esto prueba que la suma de la serie es pq cuya representaci´on decimal es la de partida salvo que ´esta tuviera per´ıodo 9. De aqu´ı se deduce que dos n´umeros racionales distintos no pueden tener la misma representaci´on decimal.

Definici´on 1.6.2. El mayor entero menor o igual que x ∈ Q se denomina parte entera de x, y se designa por [x].

1.7. LOS N UMEROS IRRACIONALES´ 17

Observaci´on 1.6.3. Dado x ∈ Q, x − [x] es un n´umero racional no negativo y menor que 1.

Ejercicios

1.- Sea x = 3, 14205205205.. .. Determinar la representaci´on decimal de −x − [−x].

1.7. Los n´umeros irracionales

Definici´on 1.7.1. Las expresiones decimales no peri´odicas las denominaremos n´umeros irracionales.

Ejemplos 1.7.2. (i) Consideremos la sucesi´on xn del Ejercicio 1.4.6.i con l´ımite irracional x. Ya que x^2 n converge a 2, se tiene que x^2 = 2 debido a que |x^2 n − x^2 | = |xn + x||xn − x| < 4 |xn − x|. Por tanto, x =

2. Usando que

|xn −

2 | = |x

(^2) n − 2 | |xn +

< (^21) n

para todo n ≥ 3 podemos aproximar

2 con tantas cifras decimales exactas como se quiera.

(ii) Al l´ımite irracional x de la sucesi´on xn del Ejercicio 1.4.6.ii se le designa por e. Usando el ejercicio 1.5.2 podemos aproximar e con tantas cifras decimales exactas como queramos.

(iii) La relaci´on entre la longitud de una circunferencia y la de su di´ametro es un n´umero irracional 3, 141592... que se designa por π.

1.8. Los n´umeros reales

Definici´on 1.8.1. Los n´umeros racionales y los irracionales constituyen el conjunto R de los n´umeros reales.

1.8.1. Ordenaci´on. Intervalos

La ordenaci´on de R se establece en los siguientes t´erminos:

1.8. LOS N UMEROS REALES´ 19

Definici´on 1.8.7. Dados A, B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal de B es mayor que el de A si existe una aplicaci´on inyectiva de A en B y no existe una biyecci´on de A en B.

Ejemplo 1.8.8. El cardinal de cualquier intervalo de n´umeros reales es mayor que el de N.

En efecto, sean (a, b) ⊂ R, ak la primera cifra decimal de a menor que la correspon- diente de b y ai la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9. Definimos una aplicaci´on inyectiva f de N en (a, b) mediante f (n) = [a] + 0.a 1 a 2... ai− 1 + (ai + 1)10−i^ + 10 −i−^1 + 10−i−^2 + · · · + 10−i−n^ con n ∈ N.

Y cualquier aplicaci´on inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta considerar un n´umero de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f (n) para todo n ∈ N.

1.8.2. Supremo e ´ınfimo

Definici´on 1.8.9. Sea A ⊂ R, A 6 = ∅. Un n´umero mayor (menor) o igual que cada elemento de A se llama cota superior (inferior) de A. Cuando A tiene cota superior (inferior) se dice que est´a acotado superiormente (inferiormente). Cuando suceden ambas cosas se dice que est´a acotado.

Si A est´a acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento m´aximo (m´ınimo) que se designa m´ax A (m´ın A) y que es mayor (menor) o igual que todos los dem´as.

Observaci´on 1.8.10. No todos los conjuntos acotados tienen m´aximo y m´ınimo. Por ejemplo, (0, 1).

Definici´on 1.8.11. Sea A ⊂ R, A 6 = ∅. Se definen el supremo y el ´ınfimo de A mediante:

sup A = m´ın{C ∈ R : x ≤ C ∀x ∈ A}

e ´ınf A = m´ax{c ∈ R : x ≥ c ∀x ∈ A}.

Observaci´on 1.8.12. El intervalo [´ınf A, sup A] contiene a A y cualquier intervalo cerrado contenido en ´este y distinto de ´el no contiene a A.

Teorema 1.8.13 (Teorema del supremo (´ınfimo)). Sea A ⊂ R, A 6 = ∅ y acotado supe- riormente (inferiormente). Entonces existe sup A (´ınf A).

20 CAP´ITULO 1. LOS N UMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES´

Demostraci´on. Sea s el m´ınimo entero cota superior de A. Si s ∈ A, entonces s = sup A. En otro caso, [s − 1 , s) ∩ A 6 = ∅. Los dem´as elementos de A carecen de inter´es en orden a obtener el supremo. Consideramos la descomposici´on de [s − 1 , s) en los diez intervalos de la primera generaci´on y elegimos de ellos el situado m´as a la derecha entre los que tienen elementos de A. Dividimos ´este en los diez intervalos de la segunda generaci´on y elegimos otra vez el situado m´as a la derecha entre los que tienen elementos de A. As´ı continuamos indefinidamente. Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando, o bien definen un n´umero que pertenece a todos y es claramente sup A, o bien desde uno en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es sup A. La prueba para ´ınf A se hace con un procedimiento an´alogo.

Observaci´on 1.8.14. Los t´erminos supremo e ´ınfimo se suelen usar tambi´en para referirse a conjuntos A no acotados superiormente (sup A = +∞) o inferiormente (´ınf A = −∞).

Observaci´on 1.8.15. El supremo y el ´ınfimo de una sucesi´on se designan sup n∈N

xn e ´ nınf∈N xn y son, respectivamente, el supremo y el ´ınfimo del conjunto constituido por los n´umeros que son algunos de sus t´erminos.

Observaci´on 1.8.16. El supremo de una sucesi´on creciente es su l´ımite, al igual que el ´ınfimo de una decreciente.

1.8.3. Construcciones con n´umeros reales

Definici´on 1.8.17. Dados x, y ∈ R con partes enteras a 0 y b 0 y partes decimales 0.a 1 a 2... y 0.b 1 b 2... respectivamente, se define la suma x + y como el l´ımite de la sucesi´on creciente y acotada superiormente (por ejemplo, por a 0 + b 0 + 2) a 0 + b 0 + 0.a 1 a 2... an + 0.b 1 b 2... bn. Si x + y = 0, o bien y = −x, se dice que y es el opuesto de x (y x el opuesto de y). La suma x + (−y) se expresa tambi´en de la forma x − y.

Definici´on 1.8.18. El valor absoluto de x ∈ R, |x|, se define as´ı: | 0 | = 0, y si x 6 = 0, |x| es el ´unico n´umero positivo del conjunto {x, −x}.

Observaci´on 1.8.19. Puesto que −(−x) = x, resulta que | − x| = |x|. Por otra parte, la relaci´on |x| <  es equivalente a x <  y −x < , y lo mismo puede decirse de la relaci´on |x| ≤ .

Proposici´on 1.8.20. (i) (Desigualdad triangular) Si x, y ∈ R, entonces |x + y| ≤ |x| + |y|.