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En este ensayo se estudia el péndulo de huygens, un invento clave en la historia de la navegación marítima. A partir del siglo xvi, los problemas de navegación en alta mar, especialmente la determinación de la longitud geográfica, provocaban grandes pérdidas económicas. El péndulo simple, según galileo, podría solucionar este problema si fuera isócrono, pero resultaba dependiente de la amplitud de oscilación. Huygens, al descubrir que el péndulo cicloidal mantenía un ritmo de oscilación constante, diseñó un reloj basado en esta curva geométrica. En este texto se resuelven problemas relacionados con el péndulo simple y se estudia su ecuación dinámica, demostrando su integrabilidad y obteniendo la correspondiente integral primera. Además, se analiza el límite de oscilaciones pequeñas y se obtiene la función analítica θ(t) en este caso.
Tipo: Apuntes
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Introducción. Con la exploración y conquista de nuevas tierras de ultramar, a partir del siglo xvi se pusieron de manifiesto los graves problemas de navegación relacionados con la dificultad de determinar la longitud geográfica en alta mar, lo que conducía a la pérdida de grandes sumas de dinero debido al frecuente extravío de los navíos mercan- tes. En principio, si sabemos la diferencia horaria entre dos lugares situados a la misma latitud, podemos conocer la diferencia horaria entre dos lugares situados a la misma latitud, podemos conocer la diferencia de longitud entre los mismos, dado que la Tie- rra realiza una rotación completa en 24 horas. Pero para ello debemos construir un reloj cuyo ritmo no se vea afectado por el oleaje y las inclemencias meteorológicas. Galileo creyó que el péndulo simple era isócrono, es decir, el periodo de sus oscilaciones no depende de la amplitud de las mismas. En tal caso, el péndulo simple podría utilizarse para construir un reloj preciso. Por desgracia, Galileo estaba equivocado. A través de este ensayo comprenderemos por qué Christiann Huygens diseñó un reloj basado en una ligadura ingeniosa: la curva cicloide (lugar geométrico descrito por un punto de una circunferencia que rueda a lo largo de una recta horizontal). Y es que el ritmo de oscilación del péndulo cicloidal se mantiene a pesar del vaivén de las olas, incluso en la peor de las tempestades...
Fecha límite de entrega: miércoles 16 de diciembre de 2015 a las 13 : 00.
Cuestiones.
1. Haciendo uso del formalismo lagrangiano obtenga la ecuación dinámica de un péndulo simple de masa m y longitud l cuando este se separa un ángulo θ con respecto a la vertical. Compare con el resultado obtenido mediante el formalismo newtoniano. Demuestre que el sistema es integrable y obtenga la correspondiente integral primera. 2. Demuestre que cuando el péndulo se activa separándolo un ángulo θ 0 de la ver- tical y se suelta partiendo del reposo, dicha integral puede expresarse en la forma
t = ±
l g
∫ (^) β ( θ 0 )
π /
d α √ 1 − k^2 sin^2 α
correspondiente a una integral elíptica de primera especie , donde β ( θ 0 ) = sin−^1
k sin^
θ 2
y k = sin θ 20. Nótese que cos θ = 1 − 2 sin^2
( (^) θ 2
, y que haciendo un cambio de variable se tiene sin
( (^) θ 2
sin
θ 0 2
sin α.
3. Demuestre que en el límite de oscilaciones pequeñas (1) se reduce a una integral inmediata de la forma (^) ∫ (^) u
1
du′ √ 1 − u′^2
donde u′^ = θ / θ 0. Obtenga la función analítica θ (t) en este caso e interprete su sig- nificado físico.
4. Las ecuaciones de transformación del péndulo de Huygens vienen dadas en tér- minos de las ecuaciones paramétricas de una cicloide
x = R( ϕ − sin ϕ ), y = R( 1 − cos ϕ ) (2)
donde R es el radio de la circunferencia generatriz de la cicloide y ϕ es el ángulo formado por dicho radio con la vertical. Haciendo uso del formalismo lagrangiano de- muestre que la ecuación dinámica del péndulo de Huygens viene dada por la expresión
ϕ ¨ sin
( (^) ϕ 2
ϕ ˙^2 2 cos
( (^) ϕ 2
g 2 R cos
( (^) ϕ 2
5. Demuestre que la ecuación (3) puede reducirse a la forma correspondiente a un os- cilador armónico simple en una dimensión mediante el cambio de variable u = cos
( (^) ϕ 2
¿Qué significado geométrico puede darse a la coordenada generalizada u?