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Asignatura: Estadística, Profesor: Manuel Alfredo Mosquera Rodríguez,, Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UVIGO
Tipo: Apuntes
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Variables aleatorias Continuas Discretas
Características de una variable aleatoria Esperanza matemática de una variable aleatoria Momentos de una variable aleatoria Mediana de una variable aleatoria Cuantiles de una variable aleatoria
Principales variables aleatorias Discretas Continuas
Teorema Central del Límite
Una Variable aleatoria es una función que representa el resultado de un experimento aleatorio: 𝑋: Ω → ℝ
Ejemplos:
Ejemplo:
El espacio muestral es Ω = {(1,1), (1,2), …. (6,5), (6,6)}
El tamaño del espacio muestral viene determinado por 𝑉𝑅6,2 = 6^2 = 36
Nos interesa medir la variable aleatoria 𝑋 = "Máximo de las tiradas"
X puede tomar los valores: 1,2,3,4,5,
𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(salga (1,1)) = 1/ 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑃(salga (1,2) 𝑜 (2,1) 𝑜 (2,2) ) = 3/ 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑃(salga (1,3) 𝑜 (3,1) 𝑜 (3,2) 𝑜 (2,3) 𝑜 (3,3) ) = 5/ 𝑃(𝑋 = 4) = 𝑃(salga (4,1) 𝑜.. 𝑜 (4,4) ) = 7/ 𝑃(𝑋 = 5) = 𝑃(salga (5,1) 𝑜.. 𝑜 (5,5) ) = 9/ 𝑃(𝑋 = 6) = 𝑃(salga (6,1) 𝑜.. 𝑜 (5,6) ) = 11/
Toman una cantidad finita de valores distintos,
DX = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥𝑛}
Cada valor tiene una probabilidad (entre 0 y 1) asociada.
0 ≤ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 ≤ 1 ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛
La suma de todas las probabilidades debe de ser 1.
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=
= 1
Además tienen que verificar:
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑥𝑖∈𝐴
para cualquier suceso 𝐴 ∈ Ω.
La función que asigna a cada valor 𝑥𝑖 su probabilidad correspondiente 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖), se le conoce como FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD. (^5)
Para calcular probabilidades de un conjunto de valores de una variable aleatoria discreta sólo hay que sumar las probabilidades de los puntos que están en ese conjunto.
Ejemplo.
Con los datos del ejemplo anterior, la probabilidad de que tuviera tres préstamos personales: 𝑃 𝑋 = 3 =
Probabilidad de que tuviera más de dos préstamos
𝑃 𝑋 > 2 = 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 =
O también, 𝑃 𝑋 > 2 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 1 − 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 1 −
Función de Distribución
La Función de Distribución de una variable aleatoria es una función que está definida en toda la recta real y que calcula la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que el punto, es decir:
𝐹: ℝ → 0, 𝑥 → 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥
Además, verifica que,
Si la variable aleatoria es discreta se cumple:
𝑥𝑖≤𝑥
Es una función creciente, que toma valores entre cero y uno.
Es una función constante a trozos (forma de escalera).
Tiene discontinuidades en los puntos donde la probabilidad es distinta de cero: 1,2,3,4.
Los saltos de esas discontinuidades son las probabilidades de dichos puntos: 𝐹(2) − 𝐹(2−) =
0 1 2 3 4 5
0.^ 0.^ 0.^ 0.^ 0.^
stepfun(1:4, y0, f = 0)
x
f(x)
Toman valores dentro de un intervalo o dentro de varios intervalos. Como dentro de un intervalo hay infinitos valores distintos, la probabilidad de que esa variable tome un único valor siempre es cero.
Las probabilidades de las variables continuas se miden mediante la FUNCIÓN DE DENSIDAD. Es una función positiva cuya integral en toda la recta real siempre vale 1.
𝑓: 𝑋 → ℝ 𝑥 → 𝑓 𝑥
+∞ −∞ = 1
𝑏 𝑎
Función de Distribución de una variable Continua
Recordemos que la Función de Distribución, 𝐹, es: 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥
Si la variable es Continua, se calcula como
𝑥
−∞
NOTA: Se puede obtener la función de densidad sin más que derivar la función de distribución:
d𝐹 𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo:
Sea X, la variable aleatoria con función de densidad
(^2) si 0 < 𝑥 < 1 0 en otro caso
a. Calculemos 𝑃 𝑋 > 0.6 :
b. Calculemos la Función de Distribución:
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
−∞
En el caso de las variables continuas, la Función de distribución es continua, no presenta ningún tipo de discontinuidad, es decir: 𝐹 𝑥−^ = 𝐹 𝑥 ∀ 𝑥
La gráfica de la función de distribución de este ejemplo sería:
Ejemplo:
Dadas las siguientes funciones de distribución:
a) Indicar si corresponden a variables continuas o discretas
b) Calcular la función de masa de probabilidad o de densidad en cada caso.
∞
−∞ 𝑋 DISCRETA:
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
𝑘
𝑖=
En general,
𝑋 CONTINUA:
𝐸 𝑔 𝑋 = 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞ 𝑋 DISCRETA:
𝐸 𝑔 𝑋 = 𝑔(𝑥𝑖) 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
𝑘
𝑖=
(^2) si 0 < 𝑥 < 1 0 en otro caso
𝐸 𝑋 =
