Variables aleatorias continuas, Apuntes de Psicología

¡Descarga Variables aleatorias continuas y más Apuntes en PDF de Psicología solo en Docsity!

VARIABLES ALEATORIAS

CONTINUAS

MODELOS DE PROBABILIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONTINUA 2/

• (^) La integral, para que F(x) sea una función de distribución, entre - e  o entre a y b , siempre que sean el valor mínimo y máximo que puede tomar la variable aleatoria, es igual a 1.
• (^) Para obtener la probabilidad de que un valor de la variable aleatoria esté comprendido en x 1 y x 2 debe resolverse el siguiente cálculo ( ) ( ) 1

b

a

F x  f x dx   2 1 ( ) ( ) x F x f x dx x  

FUNCIÓN DE DENSIDAD 1/

• (^) Cuando se mostró la expresión correspondiente a la función de distribución de una variable aleatoria continua aparecía f(x), que se denomina función de densidad. La función de densidad no es más que la derivada primera de la función de distribución.
• (^) La función de densidad, para cada valor de la variable aleatoria, proporciona el valor de la ordenada, que no es una probabilidad, pues no tiene sentido para una variable aleatoria continua. Para cada valor de la variable la probabilidad asociada es un valor tan pequeño que, en la práctica, podemos considerarlo igual a cero.
• (^) La probabilidad se obtiene mediante la función de masa y dado un intervalo cerrado y centrado en x

( ) ( )

x dx

x dx

p x f x dx

 

FUNCIÓN DE DENSIDAD 2/

Mean,Std. dev. 0, Normal Distribution -5 -3 -1 1 3 5 x 0 0, 0, 0, 0, density Mean 10 Exponential Distribution x density 0 10 20 30 40 50 60 0 0, 0, 0, 0, 0, Lower limit,Upper limit 0, Uniform Distribution x density 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0, 0, 0, 0, 0,5 Shape 10 Pareto Distribution x density 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 2 4 6 8 10

ESPERANZA MATEMÁTICA 1/

• (^) La esperanza matemática no es más que el momento de primer orden respecto al origen.
• La definición de la esperanza matemática para variables aleatorias continuas es
• Se interpreta la esperanza matemática como valor esperado al realizar un ensayo de la variable aleatoria. En teoría de juegos tiene la interpretación de ganancia esperada.  

( )

b

a

  m ^^ E^ X^  f^ x x dx 

VARIANZA 1/

• (^) La varianza de una variable aleatoria es el momento centrado de segundo orden respecto a la esperanza matemática.
• En el caso de variables aleatorias continuas la varianza se define como
• La varianza se interpreta como un indicador de agrupación o variabilidad de los valores de la variable aleatoria. La raíz cuadrada de la varianza se denomina desviación estándar.

 ^   ^ 

b

a

  ^^ E^ X^ ^  ^ f^ x^ x^   dx

DISTRIBUCIÓN NORMAL 2/

• (^) La función de densidad de esta distribución es
• (^) La función de distribución no puede obtenerse exactamente integrando la función de densidad normal, calculándose la probabilidad mediante procedimientos de aproximación numérica. La expresión de la función de distribución es
• Debe advertirse que, cuando se refieren la función de densidad y la función de distribución normal, se suelen utilizar notaciones especiales, (x) y (x), respectivamente. 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ; 0, 2 x x f x e x           (^)             2 1 2 1

( ) ( ) ; x^ x x F x e dx x         (^)               

DISTRIBUCIÓN NORMAL 3/

• (^) Notaremos la distribución normal mediante N(,). El primer parámetro es de localización, mientras el segundo es de escala.

Cuando  = 0 y  = 1, la distribución se ha denominando normal

unitaria , normal estándar , normal tipificada o normal centrada y reducida.

• La esperanza matemática, que coincide con la moda y la

mediana , es E(X) = . La varianza toma el valor Var(X) = ^2. En

cuanto a la simetría y el apuntamiento,  1 = 0 y  2 = 0,

respectivamente. Una distribución simétrica y con un valor de apuntamiento igual a cero se denomina mesocúrtica.

• (^) Una propiedad interesante de la distribución normal es que existen dos valores, situados simétricamente respecto a la

media , y que son  -  y  + , donde la función de densidad

presenta dos puntos de inflexión.

• (^) Para calcular la probabilidad de obtener un valor comprendido entre dos valores dados, x 1 y x 2 , siendo x 2 > x 1 , es suficiente

obtener (x 2 ) - (x 1 ) = Prob(x 1 < x < x 2 ).

• (^) Una relación importante es que (-x) = 1 - (x).

DISTRIBUCIÓN NORMAL 5/

• (^) Si X es una variable aleatoria con distribución normal, por medio de la transformación Z = (X - )/, que no es más que un desplazamiento para centrar respecto a la media y una reducción de la escala en un factor inverso a la desviación estándar de la variable, se obtiene una función normal unitaria. Esta transformación se ha denominado tipificación o estandarización. De hecho Z es una variable con distribución N(0,1); o sea, la distribución normal unitaria.
• (^) Para cualesquiera de los valores posibles de los parámetros de una distribución normal, la transformación anterior es una aplicación biyectiva entre X  N(,) y Z  N(0,1). Como quiera que Prob(X < x) = Prob(Z < (x- )/ ), basta disponer de una tabla que proporcione los valores de probabilidad para Z , pues realizando la estandarización podemos obtener la probabilidad buscada para cualquier valor de X. Y así se hizo y, por eso, en los textos de Estadística sólo existen tablas de probabilidad para Z y no para otras distribuciones normales.

DISTRIBUCIÓN NORMAL 6/

• (^) Distribución normal unitaria; o sea, N(0,1).
• (^) En la parte superior la función de densidad.
• (^) La gráfica inferior corresponde a la función de distribución. 0, Función de distribución normal unitaria Valores P ro b a b ilid a d a c u m u la d a^ -5^ -4^ -3^ -2^ -1^0 1 2 3 4 0 0, 0, 0, 0, 1 0, Función de densidad normal unitaria Valores D e n s id a d -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0, 0, 0, 0,

DISTRIBUCIÓN NORMAL 8/

• (^) En las funciones de densidad anteriores se observa que, al incrementar la desviación estándar, manteniendo constante la media, el máximo valor de la función de densidad normal decrece. Simultáneamente, la función de densidad en las colas toma mayores valores. La razón es que cuando existe una variabilidad menor, las puntuaciones se concentran más en torno a la media.
• (^) Puede parecer, al representar las tres funciones de densidad normales a la vez, que no posean el mismo valor del coeficiente de apuntamiento. De hecho, es igual para las tres y, como se ha dicho, igual a cero. El efecto se produce porque en la representación en la misma escala no tiene en cuenta la variabilidad diferencial. Si se hubieran representado de forma separada las tres funciones, veríamos que tienen la misma forma que la distribución normal unitaria.

DISTRIBUCIÓN NORMAL 9/

• (^) Varias distribuciones normales con medias 60, 100 y 140, pero con desviación estándar igual a 15 en todos los casos.
• (^) En la imagen superior las funciones de densidad.
• (^) Las funciones de distribución se hallan en la imagen inferior. 60, 100, 140, Funciones de densidad normal Valores D e n sid a d 0 40 80 120 160 200 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 60, 100, 140, Funciones de distribución normal Valores P ro b a b ilid a d a c u m u la d a^0 40 80 120 160 0 0, 0, 0, 0, 1

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA 1/

• (^) Se trata de una de las distribuciones más importantes de la Estadística debido a su relevancia en la inferencia, ya sea en la estimación como en la decisión.
• (^) Supongamos que Z 1 , Z 2 , ..., Z son variables aleatorias independientes con distribución normal unitaria. En ese caso, la distribución de ^2 (ver la expresión siguiente) sigue una distribución gama con  = /2,  = 2 y  = 0.
• (^) La función de densidad de una distribución Ji-Cuadrada es 2 2 1 i i i Z          

; 0 2 ( / 2) e f       

  

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA 2/

• (^) Una variable aleatoria con una función de densidad como la

anterior se dice que tiene una distribución Ji-Cuadrada con 

grados de libertad.

• (^) Se denota la distribución Ji-Cuadrada mediante ^2 () o ^2 .
• (^) La esperanza matemática y la variancia son, respectivamente, E(^2 ) =  y Var(^2 ) = 2, mientras moda (^2 ) =  - 2.
• (^) En cuanto a los momentos de forma 1 2 8 12      