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Procesos VAR y Cointegraci´on
Marta Reg´ulez Castillo^1 Departamento de Econom´ıa Aplicada III (Econometr´ıa y Estad´ıstica) (UPV-EHU)
Octubre 2006
(^1) Estas notas han sido elaboradas para el curso de Econometr´ıa Financiera II
dentro del programa de doctorado en Finanzas Cuantitativas, pero no tienen la intenci´on de suplir los libros de texto recomendados. De hecho en gran parte es- tan basadas en ellos. Agradezco a la profesora Ainhoa Zarraga sus comentarios y correcciones a una versi´on m´as antigua de estas notas.
´Indice general
Cap´ıtulo 1
Introducci´on
1.1. Matrices de correlaciones cruzadas
Considerar un vector yt = (y 1 t,... , ykt)′^ k-dimensional de series temporales. Un proceso estoc´astico es estacionario (en sentido d´ebil) si sus primeros y segundos momentos son invariantes con el tiempo. Esto es si
i) E(yt) = μ para todo t. ii) E[(yt −μ)(yt−h −μ)′] = Γy(h) = Γ ′ y(−h) para todo t y^ h^ = 0,^1 ,... La media μ es un vector k −dimensional que consiste en la esperan- za no condicionada de los componentes de yt. La matriz de covarianzas Γy(0) es una matriz (k×k). El i-´esimo elemento de la diagonal principal de Γy(0) es la varianza de yit, mientras que el elemento (i,j)- ´esimo de Γy(0) es la covarianza entre yit e yjt. A sus elementos los denotamos por Γij (0).
Sea D una matriz diagonal (k × k) donde la diagonal est´a formada por las desviaciones t´ıpicas de yit para i = 1,... , k. Esto es,
D = diag
(√ Γ 11 (0), · · · ,
√ Γkk(0)
)
La matriz de correlaciones cruzadas en el retardo h (CCM) para yt se define como: ρ(h) = D−^1 Γy(h)D−^1
En concreto, el (i, j)-´esimo elemento de ρh es
ρij (h) =
Γij (h) √ Γii(h)
√ Γjj (h)
Cov(yit, yj,t−h) std(yit) std(yjt)
(^1) Se basa en el cap´ıtulo 8 del libro de Tsay.
1
2 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´
donde std denota desviaci´on estandar, esto es el coeficiente de correla- ci´on entre yit e yj,t−h.
Comentarios:
La matriz de correlaciones cruzadas contempor´anea
ρ(0) = D−^1 Γy(0)D−^1
es una matriz sim´etrica con elementos en su diagonal principal igual a la unidad, esto es ρij (0) = ρji(0), − 1 ≤ ρij (0) ≤ 1 y ρii(0) = 1 para 1 ≤ i, j ≤ k. Sus elementos nos dan las correlacio- nes contempor´aneas entre los elementos del vector yt.
Los elementos de CCM para el retardo h > 0 nos muestran la correlaciones entre los diferentes elementos del vector yt e yt−h, por lo que ρij (h) mide la dependencia lineal de yit en yj,t−h que se observ´o h periodos antes. En consecuencia, si ρij (h) 6 = 0 y h > 0, se dice que la serie yjt va por delante o antecede (leads) a la serie yit en el retardo h. De igual forma, ρji(h) mide la dependencia lineal de yjt en yi,t−h. Si ρji(h) 6 = 0 y h > 0, se dice que la serie yit va por delante o antecede a la serie yjt en el retardo h. El elemento de la diagonal principal de ρii(h) es el coeficiente de autocorrelaci´on con h-retardos de yit.
En general, para h > 0 ρij (h) 6 = ρji(h) para i 6 = j porque los dos coeficientes de correlaci´on miden relaciones lineales diferentes entre las series yit y yjt. Por lo tanto, en general Γy(h) y ρ(h) no son matrices sim´etricas.
Utilizando que Cov(x, z) = Cov(z, x) y el supuesto de estaciona- riedad d´ebil, se tiene que
Cov(yit, yj,t−h) = Cov(yj,t−h, yit) = Cov(yjt, yi,t+h) = Cov(yjt, yi,t−(−h))
por lo que Γij (h) = Γj,i(−h). Dado que Γji(−h) es el elemento (j, i)-´esimo de la matriz Γy(−h), y la anterior igualdad se satisface para 1 ≤ i, j ≤ k, tenemos que
Γy(h) = Γ
′ y(−h)^ y^ ρ(h) =^ ρ
′(−h)
En consecuencia, al contrario de lo que ocurre en el caso univa- riante, ρ(h) 6 = ρ(−h) para h > 0. Dado que ρ(h) = ρ′(−h) en la pr´actica es suficiente con considerar la matrices de correlaciones cruzadas ρ(h) para h ≥ 0.
4 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´
donde y =
(∑ T t=1 yt
) /T es el vector de medias muestrales. La matriz
de correlaciones cruzadas ρ(h) se estima con
ρˆ(h) = Dˆ−^1 Γˆy(h) Dˆ−^1 , h ≥ 0
donde Dˆ es una matriz diagonal (k × k) con las desviaciones t´ıpicas muestrales de los componentes del vector yt en su diagonal.
Ejemplo 8.1 del cap´ıtulo 8 del Tsay
Considerar el fichero^1 de datos m-ibmspln.txt: Periodo: 1926:01 - 1999:12 (T = 888), frecuencia mensual. Variables: IBM: Monthly log returns of IBM stock SP500: Standard & Poors 500 index. Vector bi-variante de series temporales yt = (IBMt, SP (^500) t).
0
10
20
30
40
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
IBM
year
IBM monthly log returns in percentages (1926:1 a 1999:12)
0
10
20
30
40
1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
SP 5
year
Monthly log returns of SP 500 index in percentages (1926:1 a 1999:12)
(^1) El fichero IBM-SP.gdt contiene tambi´en esos datos en formato Gretl.
1.2. DEPENDENCIA LINEAL 5
Estad´ısticos principales de los rendimientos mensuales en logaritmos de IBM y el ´ındice SP (en tantos por ciento, Enero 1926 a Diciembre 1999)
Variable Media Mediana M´ınimo M´aximo IBM 1 , 24023 1 , 22299 − 30 , 367 30 , 0971 SP500 0 , 537164 0 , 936600 − 35 , 584 35 , 2219
Variable Desv. T´ıp. C.V. Asimetr´ıa Exc. de curtosis IBM 6 , 72868 5 , 42535 − 0 , 236855 1 , 92779 SP500 5 , 64472 10 , 5084 − 0 , 522144 8 , 14155
Matrices de Correlaciones cruzadas (valor cr´ıtico^2 al 0,05 (a dos colas) = 0,0658) h=0 h= IBM SP 500 IBM − 1 SP 500 − 1 1,0000 0,6356 0,0758 0,1012 IBM 1,0000 0,0445 0,0761 SP 500 h=2 h= IBM − 2 SP 500 − 2 IBM − 3 SP 500 − 3 0,0163 -0,0597 -0,0189 -0,0710 IBM 0,0214 -0,0157 -0,0735 -0,1103 SP 500 h=4 h= IBM − 4 SP 500 − 4 IBM − 5 SP 500 − 5 -0,0228 -0,0331 0,0044 0,0671 IBM 0,0392 0,0239 0,0024 0,0845 SP
(^2) Los valores en negrita dentro de la tabla indican una correlaci´on significativamente distinta de cero. El valor cr´ıtico corresponde a 2 √ T siendo T = 888.
1.2. DEPENDENCIA LINEAL 7
0
10
20
30
40
-30 -20 -10 0 10 20 30
IBM
SP 5
IBM con respecto a SP 5 (con ajuste m nimo-cuadrÆtico) Y = 0,833 + 0,758X
0
10
20
30
40
-30 -20 -10 0 10 20 30
IBM
SP
IBM con respecto a SP1 (con ajuste m nimo-cuadrÆtico) Y = 1,18 + 0,121X
Los gr´aficos muestran que las dos series est´an contempor´aneamente correlacionadas. De hecho el coeficiente de correlaci´on muestral para h = 0 entre las dos series de de 0, 64 siendo significativo al 5 %. Sin embargo, las correlaciones cruzadas en el retardo h = 1 son muy d´ebiles si es que existen. La correlaciones cruzadas significativas al 5 % aparecen para los retardos 1 y 3.
SP500 presenta cierta autocorrelaci´on muy marginal en los retar- dos 1 y 3,
IBM depende d´ebilmente de los retardos 1 y 3 de SP500, primero positivamente y luego de forma negativa. Esta observaci´on se basa en el elemento (1,2) de las CCM en los retardos h = 1 y h = 3.
8 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´
0
10
20
30
40
-30 -20 -10 0 10 20 30
SP 5
IBM
0
10
20
30
40
-30 -20 -10 0 10 20 30
SP 5
SP
SP 5 con respecto a SP1 (con ajuste m nimo-cuadrÆtico) Y = 0,495 + 0,0761X
-0.
0
1
(^0 2 4 6) retardo 8 10 12
FAC de IBM +- 1,96/T^0,
-0.
0
1
(^0 2 4 6) retardo 8 10 12
FACP de IBM +- 1,96/T^0,
10 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´
Cap´ıtulo 2
Procesos Vectoriales
Autorregresivos Estables
2.1. Condici´on de estabilidad
VAR(p)
yt = ν + A 1 yt− 1 + ... + Apyt−p + ut t = 0, ± 1 , ± 2 ,...
yt = (y 1 t,... , ykt)′^ un vector (k × 1) de variables aleatorias,
Ai matrices fijas (k × k) de coeficientes,
Ai =
a 11 ,i a 12 ,i... a 1 k,i a 21 ,i a 22 ,i... a 2 k,i .. .
ak 1 ,i ak 2 ,i... akk,i
ν = (ν 1 ,... , νk)′^ es un vector de t´erminos de intercepto permi- tiendo la posibilidad de que E(yt) sea distinta de cero.
Finalmente, ut = (u 1 t,... , ukt)′^ es un vector (k × 1) de innova- ciones tal que E(ut) = 0, E(utu′ t) = Σu, E(utu′ s) = 0 para t 6 = s donde
Σu =
E(u^21 t) E(u 1 tu 2 t)... E(u 1 tukt) E(u 2 tu 1 t) E(u^22 t)... E(u 2 tukt) .. .
E(uktu 1 t) E(uktu 2 t)... E(u^2 kt)
se supone finita y no singular. (^2) Se basa en los cap´ıtulos 2,3 y 4 del libro de L¨utkepohl.
11
2.1. CONDICI ON DE ESTABILIDAD´ 13
Companion form:
¿C´omo representar un proceso VAR(p) en forma de VAR(1)?
︸︷︷︸^ Yt (kpx1)
= η + (^) ︸︷︷︸A (kpxkp)
Yt− 1 + Ut
yt yt− 1 .. . yt−p+
ν 0 .. . 0
A 1 A 2... Ap− 1 Ap Ik 0... 0 0 0 Ik 0 0 .. .
0 0... Ik 0
yt− 1 yt− 2 .. . yt−p
ut 0 .. . 0
Yt es estable si det(Ikp − Az) 6 = 0 para |z| ≤ 1
Dado que:
det(Ikp − Az) = det(Ik − A 1 z −... − Apzp)
Entonces se dice que yt es un proceso VAR(p) estable si
det(Ik − A 1 z −... − Apzp) 6 = 0 para |z| ≤ 1 Ejemplo 2: [ y 1 t y 2 t
]
︸ ︷︷ ︸ yt
[ ν 1 ν 2
]
︸ ︷︷ ︸ ν
[ 0 , 5 0 , 1 0 , 4 0 , 5
]
︸ ︷︷ ︸ A 1
[ y 1 ,t− 1 y 2 ,t− 1
]
︸ ︷︷ ︸ yt− 1
[ 0 0 0 , 25 0
]
︸ ︷︷ ︸ A 2
[ y 1 ,t− 2 y 2 ,t− 2
]
︸ ︷︷ ︸ yt− 2
[ u 1 t u 2 t
]
︸ ︷︷ ︸ ut
Companion Form:
y 1 t y 2 t y 1 ,t− 1 y 2 ,t− 1
︸ ︷︷ ︸ Yt
ν 1 ν 2 0 0
︸ ︷︷ ︸ η
︸ ︷︷ ︸ A
y 1 ,t− 1 y 2 ,t− 1 y 1 ,t− 2 y 2 ,t− 2
︸ ︷︷ ︸ Yt− 1
u 1 t u 2 t 0 0
︸ ︷︷ ︸ Ut
det(I 4 −Az) =
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
1 − 0 , 5 z − 0 , 1 z 0 0 − 0 , 4 z 1 − 0 , 5 z − 0 , 25 z 0 −z 0 1 0 0 −z 0 1
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣
(I 2 − A 1 z) −A 2 z −zI 2 I 2
∣∣ ∣∣ ∣ =
= |I 2 ||(I 2 − A 1 z) − (−A 2 z)I 2 − 1 (−zI 2 )| = |I 2 − A 1 z − A 2 z^2 |
14 CAP´ITULO 2. PROCESOS VAR ESTABLES
|I 2 − A 1 z − A 2 z^2 | =
∣∣ ∣∣ ∣
[ 1 0 0 1
] −
[ 0 , 5 0 , 1 0 , 4 0 , 5
] z −
[ 0 0 0 , 25 0
] z^2
∣∣ ∣∣ ∣ = ∣∣ ∣∣ ∣
1 − 0 , 5 z − 0 , 1 z − 0 , 4 z − 0 , 25 z^2 1 − 0 , 5 z
∣∣ ∣∣ ∣ = 1^ −^ z^ + 0,^21 z
(^2) − 0 , 025 z 3
Las ra´ıces de este polinomio son una real y dos imaginarias,
z 1 = 1, 3 z 2 = 3, 55 + 4, 26 i y z 3 = 3, 55 − 4 , 26 i
Todas ellas satisfacen 1 |z| > 1. El proceso es estable.
2.2. Representaci´on de Medias M´oviles
Haciendo sustituciones repetidas en el proceso Yt = η + AYt− 1 + Ut se obtiene hasta la j − esima:
Yt = (Ikp + A + · · · + Aj^ )η + Aj+1Yt−j− 1 +
∑^ j
i=
AiUt−i
Bajo la condici´on de estabilidad: Esto se debe a que, dada la condici´on de estabilidad,
La secuencia Ai, i = 0, 1 ,.. ., es absolutamente sumable. Por lo tanto
∑∞ i=0 A iUt−i existe en media cuadr´atica.
Cuando j → ∞,
(Ikp + A + · · · + Aj^ )η → (Ikp − A)−^1 η
Cuando j → ∞ entonces Aj+1^ converge a cero r´apidamente por lo que podemos ignorar el t´ermino Aj+1Yt−j− 1 en
Representaci´on MA para Yt
Yt = ζ +
∑^ ∞
i=
AiUt−i
donde Yt viene expresado en t´erminos de las innovaciones pasadas y presente Ut y del t´ermino medio, ζ = (Ikp − A)−^1 η
(^1) En el caso de las ra´ıces imaginarias |z 2 | = |z 3 | = √(3, 55) (^2) + (4, 26) (^2) = 5, 545.
16 CAP´ITULO 2. PROCESOS VAR ESTABLES
Por lo que de estas ecuaciones se pueden ir computando recursivamente Φ 0 , Φ 1 ,.. ..
Ejemplos: Para un VAR(1) estable:
Φ 0 = Ik Φ 1 = A 1 Φ 2 = A^21 , · · · , Φi = Ai 1 , · · ·
Ejemplo 1:
y 1 t y 2 t y 3 t
=
ν 1 ν 2 ν 3
+
y 1 ,t− 1 y 2 ,t− 1 y 3 ,t− 1
+
u 1 t u 2 t u 3 t
, Φ 2 =
,
φ 3 =
, etc.
Para un VAR(2) estable:
Φ 0 = Ik Φ 1 = A 1 Φ 2 = Φ 1 A 1 + A 2 , · · · , Φi = Φi− 1 A 1 + Φi− 2 A 2 , · · ·
Ejemplo 2: [ y 1 t y 2 t
]
︸ ︷︷ ︸ yt
[ ν 1 ν 2
]
︸ ︷︷ ︸ ν
[ 0 , 5 0 , 1 0 , 4 0 , 5
]
︸ ︷︷ ︸ A 1
[ y 1 ,t− 1 y 2 ,t− 1
]
︸ ︷︷ ︸ yt− 1
[ 0 0 0 , 25 0
]
︸ ︷︷ ︸ A 2
[ y 1 ,t− 2 y 2 ,t− 2
]
︸ ︷︷ ︸ yt− 2
[ u 1 t u 2 t
]
︸ ︷︷ ︸ ut
[ 0 , 5 0 , 1 0 , 4 0 , 5
] , Φ 2 =
[ 0 , 29 0 , 1 0 , 65 0 , 29
] , Φ 3 =
[ 0 , 21 0 , 079 0 , 566 0 , 21
] ,
etc.
2.3. PROCESOS ESTACIONARIOS. CONDICI ON DE ESTACIONARIEDAD´ 17
2.3. Procesos Estacionarios
Proposici´on. Estabilidad ⇒ Estacionariedad
Un proceso yt, t = 0, ± 1 , ± 2 ,.. ., VAR(p) estable es estacionario^2. Utilizando la representaci´on de medias m´oviles:
yt = μ +
∑^ ∞
i=
Φiut−i
E(yt) = μ = (Ik − A 1 − ... − Ap)−^1 ν
Γy(h) = E[(yt − μ)(yt−h − μ)′]
= E(
∑h− 1 i=0 Φiut−i^ +^
∑∞ i=0 Φh+iut−h−i)(
∑∞ i=0 Φiut−h−i) ′
∑∞ i=0 Φh+iΣuΦ
′ i
Para un VAR(1):
Γy(0) =
∑∞ i=0 ΦiΣuΦ ′ i =^
∑∞ i=0 A i 1 Σu(A i 1 ) ′
Γy(h) = A 1 Γy(h − 1), h > 0
Γy(h) = Ah 1 Γ 0 , para h > 0
Teorema de descomposici´on de Wold.
Todo proceso estacionario xt se puede representar como la suma de dos procesos incorrelacionados zt e yt, donde zt es un proceso determi- nista perfectamente predecible de su propio pasado e yt es un proceso que tiene una representaci´on MA,
yt =
∑^ ∞
i=
Φiut−i
donde Φ 0 = Ik, ut es un proceso ruido blanco y la suma infinita est´a de- finida en media cuadr´atica aunque las Φi no son necesariamente abso- lutamente sumables.
(^2) Dado que estabilidad implica estacionariedad, la condici´on de estabilidad se conoce tambi´en como condici´on de estacionariedad. Un proceso no estable no es necesariamente no estacionario
