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Tema 8
Vector gradiente
Como segundo caso particular de la noción de diferenciabilidad, estudiamos ahora lo que ocurre cuando el espacio normado de partida es RN^ con N > 1 , y el de llegada es R. Tenemos pues una función real de N variables reales, es decir, un campo escalar en RN^. Su diferencial en un punto, cuando existe, se describe como el producto escalar por un vector de RN^ , que será el vector gradiente. Las coordenadas de este vector son las derivadas parciales de nuestra función, con respecto a cada una de las variables, en el punto considerado. Veremos también la interpretación geométrica y física del gradiente de un campo escalar.
8.1. Derivadas direccionales
Volvamos por un momento a la noción general de función diferenciable. Sean pues X,Y espacios normados, Ω un subconjunto abierto de X y f : Ω → Y una función diferenciable en un punto a ∈ Ω. Al probar la unicidad de la diferencial obtuvimos de hecho que
D f (a) u = l´ım t→ 0
f (a + tu) − f (a) t
∀ u ∈ X ( 1 )
Por tanto, para estudiar la diferenciabilidad de f en a , es natural empezar por la existencia de los límites que aparecen en el segundo miembro de ( 1 ). No es necesario trabajar con todos los vectores u ∈ X. Por una parte, el caso u = 0 es trivial; por otra, si v = λ u con λ ∈ R∗^ , los cambios de variable t = λs y s = t/λ nos dicen que
l´ım t→ 0
f (a + tu) − f (a) t
= y ∈ Y ⇐⇒ l´ım s→ 0
f (a + sv) − f (a) s
= λ y ( 2 )
Esto permite normalizar cada vector u ∈ X \ { 0 } , es decir, suponer que ‖ u ‖ = 1 sin perder generalidad. Una dirección en el espacio normado X es un vector u ∈ X con ‖ u ‖ = 1 , y denotaremos por S al conjunto de todas las direcciones en X , es decir, S = {u ∈ X : ‖ u ‖ = 1 }. Observamos que, para cada u ∈ S , el límite que aparece a la derecha de ( 1 ) , cuando existe, es el vector derivada de una función de variable real, con valores en el espacio normado Y.
Más concretamente, fijamos r ∈ R+^ tal que B(a, r) ⊂ Ω y, para cada u ∈ S , consideramos la función ϕu definida de la siguiente forma:
ϕu : ] − r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a + tu) ∀t ∈ ] − r , r [
Obsérvese que ϕu describe el comportamiento de f en la recta que pasa por el punto a y tiene a u como vector de dirección, suficientemente cerca del punto a.
Pues bien, dado u ∈ S , decimos que f es derivable en la dirección u , en el punto a , cuando la función ϕu es derivable en 0 , en cuyo caso, al vector derivada ϕ u′( 0 ) lo llamamos derivada direccional de f en a , según la dirección u , y lo denotamos por f (^) u′ (a). Así pues,
f (^) u′ (a) = ϕ u′( 0 ) = l´ım t → 0
ϕu(t) − ϕu( 0 ) t
= l´ım t → 0
f (a + tu) − f (a) t
Usando la equivalencia ( 2 ) , con λ = −1 , vemos que, siempre en el punto a , f es derivable en la dirección u si, y sólo si lo es en la dirección −u , en cuyo caso se tiene f (^) −′u(a) = − f (^) u′ (a).
Decimos que f es direccionalmente derivable en el punto a cuando es derivable en todas las direcciones u ∈ S. En vista de ( 1 ) , tenemos la siguiente relación entre la diferenciabilidad y la derivabilidad direccional:
Sean X,Y espacios normados, Ω un abierto de X y f : Ω → Y una función. Si f es diferenciable en un punto a ∈ Ω , entonces f es direccionalmente derivable en a con
f (^) u′ (a) = D f (a) u ∀ u ∈ S
8.2. Derivadas parciales
8.2.1. Caso general
A partir de ahora trabajamos en el caso X = RN^ , mientras que de momento, Y sigue siendo un espacio normado arbitrario. Fijamos un abierto Ω de RN^ , una función f : Ω → Y y un punto a ∈ Ω. A todos los efectos, de entrada para que las direcciones en RN^ estén definidas sin ambigüedad, usaremos en RN^ la norma euclídea, escribimos S = {u ∈ RN^ : ‖ u ‖ = 1 } y fijamos r ∈ R+^ de forma que B(a, r) ⊂ Ω. La definición de derivada direccional se aplica a las direcciones de los ejes de coordenadas, es decir, las de la base usual {e 1 , e 2 ,... , eN }. A partir de este momento, todo lo que hacemos está ligado a dicha base.
Pues bien, fijado k ∈ IN , cuando f es derivable en la dirección ek , en el punto a , decimos que f es parcialmente derivable con respecto a la k-ésima variable en el punto a. Entonces, la derivada direccional de f en a en la dirección ek se denomina derivada parcial de f con
respecto a la k-ésima variable en el punto a , y se denota por
∂ f ∂ xk
(a) , es decir,
∂ f ∂ xk
(a) = f (^) e′k (a) = l´ım t→ 0
f (a + tek) − f (a) t
Fijado r ∈ R+^ tal que B(a, r) ⊂ Ω , los cambios de variable t = xk − ak y xk = t + ak , teniendo en cuenta que −r < t < r si, y sólo si, ak − r < xk < ak + r , mientras que t → 0 si, y sólo si, xk → ak , nos dicen que, para cualquier α ∈ R , se tiene
l´ım t → 0
f (a + tek) − f (a) t
= α ⇐⇒ l´ım xk→ak
f (a 1 ,... , ak− 1 , xk , ak+ 1 ,... , aN ) − f (a) xk − ak
= α
Considerando entonces la función ψ : ] ak − r , ak + r [ → R definida por
ψ(xk) = f (a 1 ,... , ak− 1 , xk , ak+ 1 ,... , aN ) ∀ xk ∈ ] ak − r , ak + r [
la equivalencia anterior nos dice que f es parcialmente derivable con respecto a la k-ésima variable en el punto a si, y sólo si, ψ es derivable en el punto ak , en cuyo caso se tiene
∂ f ∂xk
(a) = ψ ′(ak) = l´ım xk→ak
f (a 1 ,... , ak− 1 , xk , ak+ 1 ,... , aN ) − f (a) xk − ak
Nada que no supiéramos ya, el concepto de derivada parcial de un campo escalar coincide con el de derivada de una función real de variable real, pero ahora la relación entre ambas funciones se comprende mejor. Mientras f depende de N variables x 1 , x 2 ,... , xN , vemos que la función ψ de una sola variable, describe “parcialmente” el comportamiento de f. Sólo refleja la dependencia de f respecto de la variable xk , cuando por así decirlo, las demás variables se mantienen constantes, pues para obtener ψ(xk) a partir de f (x 1 ,... , xk− 1 , xk , xk+ 1 ,... , xN ) , tomamos x (^) j = a (^) j para todo j ∈ IN \ {k}. Por eso decimos que la derivada de ψ en ak es sólo una “derivada parcial” de f en a.
Consideremos por ejemplo el caso N = 2. Si Ω es un abierto de R^2 y f : Ω → R es parcialmente derivable en un punto (a, b) ∈ Ω , sus dos derivadas parciales vienen dadas por
∂ f ∂x
(a, b) = l´ım x → a
f (x, b) − f (a, b) x − a
y
∂ f ∂y
(a, b) = l´ım y → b
f (a, y) − f (a, b) y − b
Volviendo al caso general, es hora de mover el punto a ∈ Ω , hasta ahora fijo. Dado k ∈ IN , decimos que f es derivable con respecto a la k-ésima variable, cuando lo es en todo x ∈ Ω , en
cuyo caso tenemos la función derivada parcial
∂ f ∂xk
: Ω → R dada por x 7 →
∂ f ∂xk
(x). Si esto
ocurre para todo k ∈ IN decimos simplemente que f es parcialmente derivable. Las funciones
derivadas parciales,
∂ f ∂xk
: Ω → R con k ∈ IN , son entonces campos escalares análogos a f ,
están definidos en el mismo abierto Ω que f.
Si ahora usamos las coordenadas (x 1 , x 2 ,... , xN ) de un punto genérico x ∈ Ω , la igualdad
∂ f ∂ xk
(x) =
∂ f ∂ xk
(x 1 ,... , xk− 1 , xk , xk+ 1 ,... , xN )
plantea una cuestión que conviene aclarar. En el segundo miembro, xk es la k-ésima coordenada del punto x ∈ Ω en el que estamos calculando una derivada parcial, pero también aparece en el símbolo ∂ f /∂ xk para indicar cuál de las N derivadas parciales de f en x estamos calculando.
En vez de representar un problema, este doble uso de la variable xk nos debe ayudar a recordar la regla práctica para calcular derivadas parciales que resuelve la mayoría de los casos, sin necesidad de recurrir a la igualdad ( 5 ) , como vamos a explicar.
El símbolo ∂ f /∂ xk nos indica la derivada parcial que estamos calculando, así que, en la expresión f (x 1 ,... , xk− 1 , xk , xk+ 1 ,... , xN ) , típicamente una fórmula en la que aparecen las N variables x 1 , x 2 ,... , xN , debemos pensar que xk es la única variable, tratar a las demás como constantes, y calcular la derivada de la función de una variable que de esta forma tenemos en mente. Ni que decir tiene, para ello podemos usar todas las reglas de derivación para funciones reales de variable real que podamos necesitar.
Este procedimiento se entenderá muy fácilmente con un ejemplo concreto, que exponemos en el caso más sencillo, N = 2. Entonces f es una función de dos variables que habitualmente se denotan por x e y. Por tanto, sus derivadas parciales en un punto a = (x 0 , y 0 ) ∈ Ω , caso de que existan, vendrán dadas por
∂ f ∂ x
(x 0 , y 0 ) = l´ım x→x 0
f (x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) x − x 0
y
∂ f ∂ y
(x 0 , y 0 ) = l´ım y→y 0
f (x 0 , y) − f (x 0 , y 0 ) y − y 0
Cuando f es parcialmente derivable, sus derivadas parciales en un punto genérico (x, y) ∈ Ω
se denotan entonces por
∂ f ∂ x
(x, y) y
∂ f ∂ y
(x, y) , obteniendo dos funciones de dos variables,
∂ f ∂ x
y
∂ f ∂ y
, de Ω en R , que son las dos funciones derivadas parciales de f. Concretamente, para
todo (x, y) ∈ Ω , podemos escribir:
∂ f ∂ x
(x, y) = l´ım w→x
f (w, y) − f (x, y) w − x
y
∂ f ∂ y
(x, y) = l´ım w→y
f (x, w) − f (x, y) w − y
Sea por ejemplo f : R^2 → R la función dada por f (x, y) = ex^ sen y para todo (x, y) ∈ R^2. Si en la expresión ex^ sen y , vemos y como constante, pensamos en la función x 7 → ex^ sen y , producto de la exponencial por una constante, cuya función derivada es ella misma, y esto es válido para todo y ∈ R. Análogamente, para cualquier constante x ∈ R , la función y 7 → ex^ sen y es el producto de una constante por el seno, cuya función derivada es el producto de la misma constante por el coseno. Por tanto, f es parcialmente derivable en todo punto de R^2 con
∂ f ∂ x
(x, y) = ex^ sen y y
∂ f ∂ y
(x, y) = ex^ cos y ∀ (x, y) ∈ R^2
Nótese que
∂ f ∂ x
= f. En general, la definición de f puede ser mucho más complicada, pero el
mecanismo de razonamiento es el mismo.
Naturalmente, las dos variables de las que depende nuestra función no siempre se denotan por x e y. Incluso es posible que x e y sean dos funciones que estemos estudiando. Por ejemplo, cuando trabajamos con las coordenadas polares en el plano, usamos determinadas restricciones de las funciones x, y : R^2 → R definidas, para todo (ρ, θ) ∈ R^2 , por
x(ρ, θ) = ρ cos θ e y(ρ, θ) = ρ sen θ
8.3. Vector gradiente
Calculemos ahora la diferencial de un campo escalar, a partir de las derivadas parciales. Mantenemos la notación: Ω es un abierto de RN^ , f : Ω → R un campo escalar y a ∈ Ω.
Si f es diferenciable en a , usando que D f (a) es lineal, junto con la igualdad ( 4 ) , para todo x = (x 1 , x 2 ,... , xN ) ∈ RN^ tenemos
D f (a) x = D f (a)
N
k= 1
xk ek
N
k= 1
xk D f (a) ek =
N
k= 1
xk
∂ f ∂ xk
(a)
La última suma es el producto escalar de x por el vector cuyas coordenadas en la base usual de RN^ son las N derivadas parciales de f en a , que recibe el nombre de vector gradiente, o simplemente gradiente, del campo escalar f en el punto a.
Dicho más formalmente, cuando el campo f es parcialmente derivable en a , el gradiente de f en a es, por definición, el vector ∇ f (a) ∈ RN^ dado por
∇ f (a) =
∂ f ∂ x 1
(a) ,
∂ f ∂ x 2
(a) ,... ,
∂ f ∂ xN
(a)
N
k= 1
∂ f ∂ xk
(a) ek
de modo que la k-ésima coordenada del vector gradiente de f en a es la derivada parcial con respecto a la k-ésima variable de f en a , para todo k ∈ IN.
Acabamos de ver que, cuando f es diferenciable en a , su diferencial se obtiene mediante el producto escalar por el vector gradiente de f en a.
Recíprocamente, si sólo suponemos que f es parcialmente derivable en a , disponemos del vector gradiente ∇ f (a) y, como el producto escalar de RN^ es una forma bilineal simétrica, al hacer el producto escalar por ∇ f (a) , obtenemos una aplicación lineal de RN^ en R que es la única posible diferencial de f en a. Así pues, la aplicación lineal T : RN^ → R dada por
T x =
∇ f (a)
∣ (^) x
es la única candidata a ser la diferencial de f en a , luego f será diferenciable en a si, y sólo si, T cumple la condición que caracteriza a la diferencial. En resumen:
Para un campo escalar f : Ω → R donde Ω es un abierto de RN^ , y un punto a ∈ Ω , las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) f es diferenciable en a. (ii) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:
l´ım x→a
f (x) − f (a) −
∇ f (a)
∣ (^) x − a ) ‖ x − a ‖
En caso de que se cumplan (i) y (ii) se tiene:
D f (a) x =
∇ f (a)
∣ (^) x
∀ x ∈ RN^ ( 7 )
Conviene analizar en general, para cualquier aplicación lineal de RN^ en R , la relación entre diferencial y gradiente que acaba de aparecer. Llegamos así a identificar totalmente los espacios normados L(RN^ , R) y RN^. Para ello es ahora esencial que estemos usando en RN^ la norma euclídea a todos los efectos. En particular, notando como siempre S = {x ∈ RN^ : ‖ x ‖ = 1 }, tenemos ‖ T ‖ = m´ax { | T x | : x ∈ S} ∀ T ∈ L(RN^ , R)
Sea Φ : RN^ → L(RN^ , R) la aplicación definida, para todo y ∈ RN^ por Φ(y) = Ty , donde Ty x =
y
∣ (^) x
para todo x ∈ RN^. Se tiene que Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma, luego permite identificar totalmente los espacios normados L(RN^ , R) y RN^.
La linealidad del producto escalar en la segunda variable nos dice que Ty ∈ L(RN^ , R) mientras que, de la linealidad en primera variable deducimos fácilmente que Φ es lineal.
Para ver que Φ conserva la norma, fijamos y ∈ RN^ \ { 0 }, pues si y = 0 no hay nada que comprobar. La desigualdad de Cauchy-Schwartz nos dice que | Ty x | 6 ‖ y ‖ para todo x ∈ S , pero tomando x = y / ‖ y ‖ ∈ S obtenemos Ty x = ‖ y ‖ , luego
‖ Φ(y) ‖ = ‖ Ty ‖ = m´ax
| Ty x | : x ∈ S
= ‖ y ‖
En particular, Φ es inyectiva. Finalmente, para ver que es sobreyectiva, fijada T ∈ L(RN^ , R) ,
tomamos y =
N
k= 1
T (ek) ek y tenemos claramente Ty ek = T ek para todo k ∈ IN , de donde por
ser T y Ty lineales, deducimos que T = Ty = Φ(y).
Recuérdese que RN^ también se identificó en su momento con L(R, RN^ ) , pero de otra forma. Un vector y ∈ RN^ se identificó con la aplicación lineal T ∈ L(R, RN^ ) dada por T t = t y para todo t ∈ R , usando el producto por escalares de RN^. En cambio ahora, usamos el producto escalar de RN^ para identificar y con la aplicación lineal T ∈ L(RN^ , R) , dada por T x = ( y | x ) para todo x ∈ RN^.
Volviendo a un campo escalar f : Ω → R donde Ω es un abierto de RN^ , diferenciable en a ∈ Ω , el resultado recién obtenido permite identificar la diferencial D f (a) con el vector gradiente ∇ f (a). Concretamente, la relación entre ambos es:
∇ f (a) =
N
k= 1
D f (a)ek y D f (a) x =
∇ f (a)
∣ (^) x
∀ x ∈ RN
Si ahora f es diferenciable en todo punto de Ω , es decir f ∈ D(Ω) , para estudiar su función diferencial D f : Ω → L(RN^ , R) , podemos identificar D f (x) con ∇ f (x) para todo x ∈ Ω , y considerar la función gradiente ∇ f : RN^ → RN^ , que a cada punto x ∈ Ω hace corresponder el gradiente de f en x , que es un campo vectorial. Entonces D f será continua en un punto a ∈ Ω si, y sólo si, lo es ∇ f , pues sabemos que
‖ D f (x) − D f (a) ‖ = ‖ ∇ f (x) − ∇ f (a) ‖ ∀ x, a ∈ Ω
A su vez, ∇ f será continua en a cuando lo sean sus N componentes, que son las N funciones derivadas parciales de f en a. En resumen:
La interpretación física de esta caracterización es clara, y se facilita si tenemos en cuenta que el vector v = ∇ f (a) / ‖ ∇ f (a) ‖ tiene la misma dirección y sentido que ∇ f (a). Por tanto, al desplazarnos desde el punto a en la dirección y el sentido del vector gradiente, conseguimos la máxima tasa de aumento del campo por unidad de longitud, o si se quiere, hacemos que el campo aumente lo más rápidamente posible. Son además la única dirección y el único sentido que producen dicha máxima tasa de aumento, que viene dada por la norma euclídea del vector gradiente, f (^) v ′(a) = ‖ ∇ f (a) ‖. Dicho más intuitivamente, un “pequeño” desplazamiento en la dirección y sentido del vector gradiente, hace que el campo aumente “aproximadamente” a razón de ‖ ∇ f (a) ‖ unidades, de las que usemos para medirlo, por unidad de longitud.
Por otra parte, como f (^) −′v(a) = − f (^) v′ (a) , al desplazarnos por la misma recta, pero en el sentido opuesto, el del vector −∇ f (a) , conseguimos que el valor del campo disminuya lo más rápidamente posible, “aproximadamente” a razón de ‖ ∇ f (a) ‖ unidades de campo por unidad de longitud.
Resaltamos que lo dicho es válido cuando f es diferenciable en a , no basta con que f sea parcialmente derivable en a , suponiendo además que ∇ f (a) 6 = 0. Cuando ∇ f (a) = 0 , todas las derivadas direccionales de f en a se anulan, luego el campo varía muy lentamente cerca del punto a , su tasa de variación es “prácticamente” nula en todas las direcciones. Se dice entonces que a es un punto crítico o un punto estacionario del campo f.
8.5. Plano tangente a una superficie explícita
Recordemos que una curva explícita en R^2 es la gráfica de una función continua, definida en un intervalo y con valores reales, el tipo más sencillo de curva paramétrica. Análogamente, consideramos ahora el tipo más sencillo de superficie en R^3.
Llamamos superficie explícita en R^3 a la gráfica de una función continua f : Ω → R , donde Ω es un subconjunto no vacío, abierto y conexo, de R^2. Se trata por tanto del conjunto
Σ = Gr f =
x , y , f (x, y)
: (x, y) ∈ Ω
⊂ R^3
Nótese que Σ determina de manera única a f , pues para (x, y) ∈ R^2 , es claro que (x, y) ∈ Ω si, y sólo si, existe z ∈ R tal que (x, y, z) ∈ Σ , en cuyo caso f (x, y) es el único z ∈ R que verifica dicha condición. Se dice que la igualdad
z = f (x, y) ∀ (x, y) ∈ Ω
es la ecuación explícita de la superficie Σ.
Geométricamente, es también natural considerar superficies explícitas de otros dos tipos, que se obtienen intercambiando los ejes de coordenadas. Concretamente, la misma función f también da lugar a las superficies explícitas
Σ 1 =
f (y, z) , y , z
: (y, z) ∈ Ω
y Σ 2 =
x , f (x, z) , z
: (x, z) ∈ Ω
cuyas ecuaciones explícitas serán x = f (y, z) con (y, z) ∈ Ω e y = f (x, z) con (x, z) ∈ Ω , respectivamente. Trabajaremos solamente con una superficie Σ del primer tipo, la gráfica de f , pues toda la discusión que hagamos se traduce fácilmente para aplicarla a los otros dos tipos.
Cuando f es diferenciable en un punto (x 0 , y 0 ) ∈ Ω , veamos la relación entre el vector gradiente ∇ f (x 0 , y 0 ) y la superficie Σ. Para abreviar, escribimos
z 0 = f (x 0 , y 0 ) , α 0 =
∂ f ∂ x
(x 0 , y 0 ) y β 0 =
∂ f ∂ y
(x 0 , y 0 )
y consideramos el plano afín Π definido por la ecuación
z − z 0 = α 0 (x − x 0 ) + β 0 (y − y 0 )
que también es una superficie explícita, concretamente Π = Gr g donde g : R^2 → R es la función definida por
g(x, y) = z 0 + α 0 (x − x 0 ) + β 0 (y − y 0 ) ∀ (x, y) ∈ R^2 ( 8 )
Usando ( 7 ) , vemos que g es una función afín que ya hemos manejado anteriormente:
g(x, y) = f (x 0 , y 0 ) + D f (x 0 , y 0 )
(x, y) − (x 0 , y 0 )
∀ (x, y) ∈ R^2
Al comentar el significado analítico de la diferencial, vimos que g es la función afín que nos da una buena aproximación de f cerca del punto (x 0 , y 0 ) , es decir,
l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
| f (x, y) − g(x, y) | ‖ (x, y) − (x 0 , y 0 ) ‖
Geométricamente, esto significa que la distancia (vertical) entre el punto
x, y, f (x, y)
de la superficie Σ y el correspondiente punto
x, y, g(x, y)
del plano Π , tiende a cero cuando ambos puntos se acercan a (x 0 , y 0 , z 0 ) , “mucho más rápidamente” que ‖ (x, y) − (x 0 , y 0 ) ‖ , así que la siguiente definición está plenamente justificada.
Sea Σ = Gr f una superficie explícita en R^3 , donde f : Ω → R es una función continua en un abierto conexo Ω ⊂ R^2. Si f es diferenciable en un punto (x 0 , y 0 ) y z 0 = f (x 0 , y 0 ) , se dice que el plano Π de ecuación explícita
z − z 0 = (x − x 0 )
∂ f ∂ x
(x 0 , y 0 ) + (y − y 0 )
∂ f ∂ y
(x 0 , y 0 )(y − y 0 ) ( 10 )
es el plano tangente a la superficie Σ en el punto (x 0 , y 0 , z 0 ). Decimos también que el vector ( ∂ f ∂ x
(x 0 , y 0 ) ,
∂ f ∂ y
(x 0 , y 0 ) , − 1
∈ R^3 ( 11 )
es un vector normal a la superficie Σ en el punto (x 0 , y 0 , z 0 ). Ello se explica porque, en vista de ( 10 ) , se trata de un vector normal al plano tangente Π , es claramente ortogonal a todos los vectores de la forma v − u con u, v ∈ Π es decir, a todas las rectas contenidas en Π. Tenemos así la interpretación geométrica de la diferencial D f (x 0 , y 0 ) o del vector gradiente ∇ f (x 0 , y 0 ).
Obsérvese que, para definir el vector que aparece en ( 11 ) , normal al plano dado por ( 10 ) , o lo que es lo mismo, considerar la función afín g dada por ( 8 ) , bastaría disponer del gradiente de f en el punto (x 0 , y 0 ) , es decir, que f fuese sólo parcialmente derivable en (x 0 , y 0 ).
De nuevo, f tiene un mínimo relativo en a si, y sólo si, − f tiene un máximo relativo en a. Finalmente, decimos que f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A , cuando tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en a.
Observemos que las nociones de extremo absoluto y relativo no están relacionadas. Cierto que, cuando f tiene un extremo relativo en a , la restricción de f a una bola B(a, r) ⊂ A tiene un máximo absoluto en a , pero fuera de dicha bola, f puede tomar valores estrictamente mayores y menores que f (a) , en cuyo caso f no tendrá un extremo absoluto en a. En sentido opuesto, es claro que si f tiene en a un extremo absoluto, entonces tendrá un extremo relativo si, y sólo si, a ∈ A◦. Por tanto, salvo que A sea abierto, f puede perfectamente tener un extremo absoluto en un punto a ∈ A \ A◦^ , que nunca puede ser un extremo relativo.
Pues bien, a la hora de encontrar los puntos en los que un campo escalar puede tener un extremo relativo, entra en juego el cálculo diferencial, igual que ocurría con funciones reales de variable real. Supongamos pues que A es un subconjunto no vacío de RN^ y que f : A → R es un campo escalar diferenciable en un punto a ∈ A◦^. Tanto el punto de vista físico como la intuición geométrica sugieren que, si f tiene un extremo relativo en a , se debe tener ∇ f (a) = 0. En efecto, si fuese ∇ f (a) 6 = 0 , el campo aumentaría en la dirección y el sentido del vector ∇ f (a) y disminuiría en sentido opuesto, luego f no puede tener un extremo relativo en a. Igualmente, en el caso N = 2 , cabe esperar que, si f tiene un extremo relativo en el punto a = (a 1 , a 2 ) , el plano tangente a la superficie Gr f en el punto
a 1 , a 2 , f (a 1 , a 2 )
tenga que ser horizontal, es decir, ∇ f (a 1 , a 2 ) = 0.
Comprobamos fácilmente que las ideas anteriores son correctas, e incluso, esta vez no es necesario que f sea diferenciable en el punto a , basta la derivabilidad parcial:
Condición necesaria de extremo relativo. Sea A un subconjunto no vacío de RN^ , y sea f : A → R un campo escalar. Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A◦^ y es parcialmente derivable en dicho punto, entonces ∇ f (a) = 0.
Supongamos que f tiene en a un máximo relativo, pues en el otro caso, sustituimos f por − f. Sea pues r ∈ R+^ tal que B(a, r) ⊂ A y f (x) 6 f (a) para todo x ∈ B(a, r). Fijado k ∈ IN , para todo t ∈ ] 0 , r [ se tiene entonces
f (a + tek) − f (a) t
6 0 luego
∂ f ∂xk
(a) = l´ım t → 0 +
f (a + tek) − f (a) t
Pero análogamente, para −r < t < 0 se tiene también
f (a + tek) − f (a) t
0 luego
∂ f ∂xk
(a) = l´ım t → 0 −
f (a + tek) − f (a) t
Esto prueba que
∂ f ∂xk
(a) = 0 para todo k ∈ IN , es decir, ∇ f (a) = 0.
Como se hizo en la interpretación física del gradiente, cuando un campo escalar f : A → R es parcialmente derivable en un punto a ∈ A◦^ , y verifica que ∇ f (a) = 0 , se dice que a es un punto crítico de f. Así pues, los puntos en los que f es parcialmente derivable y tiene un extremo relativo, han de ser puntos críticos. Esto ayuda con frecuencia a encontrarlos.
8.7. Ejercicios
- Calcular todas las derivadas direccionales en el punto (− 1 , 0 , 0 ) de la función f : R^3 → R definida por f (x, y, z) = x^3 − 3 x y + z^3 ∀ (x, y, z) ∈ R^3
- Sea J un intervalo abierto en R y Ω un subconjunto abierto de RN^. Si f : J → Ω es una función derivable en un punto a ∈ J y g : Ω → R es diferenciable en el punto b = f (a) , probar que la función h = g ◦ f : J → R es derivable en el punto a con
h′(a) =
∇g(b)
∣ (^) f ′(a) )
- Sea Ω un subconjunto abierto de RN^ y f , g : Ω → R funciones parcialmente derivables en un punto a ∈ Ω. Probar que las funciones f + g y f g son parcialmente derivables en a con ∇( f + g)(a) = ∇ f (a) + ∇g(a) y ∇( f g)(a) = g(a) ∇ f (a) + f (a) ∇g(a) Suponiendo que g(x) 6 = 0 para todo x ∈ Ω , probar también que f /g es parcialmente derivable en a con ∇( f /g)(a) =
g(a) ∇ f (a) − f (a) ∇g(a) g(a)^2
- Fijado p ∈ R∗, se considera la función f : RN^ \ { 0 } → R definida por f (x) = ‖ x ‖p^ para todo x ∈ RN^ \ { 0 } , donde ‖ · ‖ es la norma euclídea. Probar que f ∈ C 1
RN^ \ { 0 }
con
∇ f (x) = p ‖ x ‖p−^2 x ∀ x ∈ RN^ \ { 0 }
Como consecuencia, encontrar una función g ∈ C 1 (RN^ , RN^ ) que verifique
∇g(x) = x ∀ x ∈ RN
- Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie explícita de ecuación z = x + y^3 con (x, y) ∈ R^2 , en el punto ( 1 , 1 , 2 ).
- Sea Ω un subconjunto abierto y conexo de R^2 y f : Ω → R una función diferenciable. Se considera la superficie explícita S ⊂ R^3 dada por
S =
x , f (x, z) , z
: (x, z) ∈ Ω
Calcular la ecuación del plano tangente a S en un punto arbitrario (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S.
- Sea Ω un subconjunto abierto de R^2 y f : Ω → R^2 una función parcialmente derivable en todo punto de Ω. Probar que, si la función ∇ f : Ω → R^2 está acotada, entonces f es continua. Usando la función f : R^2 → R definida por
f (x, y) =
x y √ x^2 + y^2
∀ (x, y) ∈ R^2 \ {( 0 , 0 )} y f ( 0 , 0 ) = 0
comprobar que, con las mismas hipótesis, no se puede asegurar que f sea diferenciable.
