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VECTORES Y CINEMÁTICA
DOS CAPÍTULOS DE FÍSICA
1. VECTORES
El Vector tiene su origen en los trabajos realizados por Isaac Newton en el campo de la
Astronomía
¿Qué son los vectores? flechas
¿Cuáles son las características de los vectores? Módulo, dirección y sentido; Tienen
magnitud, módulo, norma ó medida (lo que mide), dirección (está dada por el ángulo)
indicando hacia dónde va el vector y sentido (dado por la punta de la flecha)
1.1. MAGNITUD: Es la propiedad que se puede medir y que pueden ser estudiadas en las
ciencias experimentales.
Para cada magnitud se define una unidad y su medida será dada por un número y dicha unidad
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO APLICACIÓN
Longitud metro m
Tiempo segundo s
Masa masa kg
temperatura kelvin K
Cantidad de
sustancia
mol mol
Intensidad de
corriente
eléctrica
amperio A
Intensidad
luminosa
candela cd
Las magnitudes se dividen en dos:
MAGNITUDES ESCALARES: Son las que se representan por un número y su
unidad
25 °C 40 m
2
37 kg 7 h
MAGNITUDES VECTORIALES: Son aquellas representaciones vectoriales que a
más del número y la unidad, indican la dirección de la misma, ejemplos
Complete el siguiente cuadro:
MAGNITUD UNIDAD APLICACIÓN
DESPLAZAMIENTO 5 m Diferencia entre la posición
inicial y final de un sistema
POSICIÓN m X (t) = 3t
3
2
X (0) = 3.
3
2
X (1) = 3.
3
2
9=
X (2)= 3.
3
2
VELOCIDAD 10 m/s En ingeniería se extiende a
todo fenómeno que implique
cambios de posición respecto
al tiempo.
V = dx/dt = (3t
3
2
V (t) = 9t
2
Ecuación que representa la
velocidad
ACELERACIÓN 10 m/s
2
a = dv/dt = (9t
2
a = 18t + 8
FUERZA 10 N Es todo agente capaz de
modificar el estado de reposo o
movimiento de un cuerpo,
obviamente se pueden producir
deformaciones sobre los
cuerpos en los que actúa.
DENSIDAD 1 kg / m
3
En ingeniería, se utiliza para
determinar la masa de un
determinado volumen de
materia.
Para exploración geofísica con
métodos gravimétricos.
Para separar materia primas
En el caso de gases la densidad
depende de la temperatura
MAGNITUD = MEDIDA
Los vectores vienen representados geométricamente con flechas, y generalmente se le asigna
una letra ó dos que llevan una flecha pequeña en su parte superior dibujada de izquierda a
derecha
Podemos tener VECTORES con diferentes magnitudes, donde la magnitud o medida de la
flecha, se traza proporcionalmente a la magnitud del vector
Para calcular su módulo, magnitud ó medida, simplemente aplicamos el teorema de Pitágoras,
dónde el módulo del vector A es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de sus
catetos.
|
A |= √
A
X
2
A
Y
2
|
A |= √
X
2
Y
2
|
A
|
√
|
A
|
√
|
A |=6.
Realice 1 ejercicio en Word. En el plano cartesiano dibuje cinco vectores en todas las
direcciones y calcule la magnitud, norma o módulo de cada uno de ellos.
1.2. COMPONENTES RECTANGULARES
Son dos vectores perpendiculares que al sumarlos dan el vector inicial.
Son las proyecciones del vector hacia los ejes del plano de coordenadas
Realice 4 ejercicios ubicando los componentes rectangulares de los siguientes vectores:,
posición x, velocidad v, aceleración a, fuerza F.
1.3. Representación de vectores por componentes
A = (3, 2)
La representación del vector puede iniciar donde desee, pero puede iniciarse
desde el origen
Ahora, ponga atención a lo siguiente, si tenemos los puntos A (3, 4) y B (-1, 2)
estos son los puntos inicial y final del vector AB. Si nos piden determinar los
componentes del vector AB, serian (- 4, - 2) y graficado me quedaría, lo
indicado con la línea azul
1.4. Cálculo de las componentes de un vector
y
a= 5 m
40°
x
A
B
1.5.2. Resta geométrica de vectores
Procedemos en igual forma que en la suma, el vector que resta se tiene que dibujar en
sentido contrario, ya que el signo cambia el sentido del vector, la resta de vectores no es
conmutativa.
A −
B ≠ (
B −
A )
A −
B
= - (
B −
A
)
Veamos un conjunto de vectores escritos por componentes
A = (4, 3);
B =( 3 , 6 ) ;
C =(− 5 , 8 ) ;
D = (1, -3);
E = (-6, -9) ;
Al sumar y restar las componentes en X y Y de estos cinco vectores, me dará la
resultante y obviamente un nuevo vector, siendo su resultado algebraico, exactamente
igual al graficado.
Graficamos en el plano cartesiano, cada uno de los vectores anotados.
Y
C B
A
X
D
E
A =( x , y )
A
= (4, 2)
B =( 3 , 6 )
C =(− 5 , 8 )
D
= (1, -3)
E = (-6, -9)
R = (-3, 4)
16 Y
15 D
14
13
12 C
11 E
10
9
8
7
6
5 B
4
3
R 2
1 A X
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Multiplicación por un número positivo que sea menor que 1 y mayor que cero.
Esta operación permite que el módulo (norma, magnitud o medida) disminuya
en su valor, pero conserva su dirección y sentido.
Ejemplo: consideremos el vector F = (2, 4) al dividirlo F/2 nos da el valor de 0,5,
por consiguiente, este valor multiplica a los componentes del vector F y
tenemos.
La forma algebraica.
La forma geométrica, verifica la disminución de su módulo.
F = (2, 4) (1, 2)
Ejemplo: consideremos el vector A = (-2, 4) y el vector B= 5 m S 25°O
multiplicados por escalares negativos, como – 3 A y – 2 B, nos dará nuevos
vectores
(- 3 A) = -3 (- 2, 4) = (6, - 12)
(- 2 B) = - 2 *(5m S 25°O) = - 10 m S 25° O esta operación está correcta, pero
debemos acostumbrarnos a no dejar el valor negativo, como en nuestro caso de –
10 m, para quitar este signo simplemente se opera de la siguiente forma
(- 2 B) = -10 m S 25° O , para lo cual, cambiamos de signo y lo que hace es
cambiar las coordenadas geográficas contrarias a las anotadas, así
= 10 m N 25° E
Multiplicación por – 1
Cuando multiplicamos un vector por un escalar – 1 o cualquier número negativo,
dicha operación da lugar al cambio de sentido del vector y si el escalar es un
número menor o mayor que uno cambio la magnitud del módulo.
Ejemplo: sea el vector Z = (3, 4) y se multiplica por – 1, tenemos que.
1.6. Producto punto o escalar de dos vectores
u
x
1
, x
2
, x
3
, ⃗ v ( y
1
, y
2
, y
3
A.
B =| A |. | B |cos Ѳ
cos Ѳ =¿
A.
B
| A |. | B |
Ѳ =cos
− 1
A.
B
| A |. | B |
Ѳ =cos
− 1
√ 20 √ 10
Ѳ =cos
− 1
EJERCICIOS:
- Realice el producto punto de los siguientes vectores, dados los vectores
https://www.youtube.com/watch?v=OQpH-iQbiQ
⃗ a =( 3 , − 5 ) y
b =( x , 2 )
hallar x de modo que a ⃗.
b = 7
, qué ángulos forman los
vectores indicados.
- Producto punto entre dos vectores, determinando los ángulos parciales, es decir
Ѳ = ∝ + 𝛃 y luego aplicando la ecuación de producto punto.
https://www.youtube.com/watch?v=L_WzQZ3bMP
- Producto escalar de vectores, con proyección de uno de ellos.
https://www.youtube.com/watch?v=ZpnRfRPGd1Y
4. Demostración: Producto escalar, proyección escalar y proyección vectorial.
https://www.youtube.com/watch?v=OTtud-VCc7A
https://www.youtube.com/watch?v=OQpH-iQbiQ
https://www.youtube.com/watch?v=L_WzQZ3bMP
4.1. Producto cruz
El producto cruz ó producto vectorial de Gibbs es una operación binaria entre
dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector
perpendicular ⊥ a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano
que los contiene.
El módulo del producto vectorial de dos vectores | U x V |, permite calcular el
área del paralelogramo y el área de un triángulo al multiplicar por ½ | U x V |.
Puesto que la diagonal del paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales,
por consiguiente el área del triángulo será la mitad del paralelogramo.
También podemos calcular el área del paralelogramo, conociendo la
altura de uno de sus lados.
Sea la base el lado b y la altura h relativa a la base. El área del paralelogramo
será:
Área = b x h
Otra forma de calcular el área del paralelogramo es conociendo la
longitud de dos lados no apuestos entre sí (a y b), de acuerdo al siguiente
gráfico, los ángulos que forman estos están dados por ∝ ó 𝛃
Área = a. b. Sen ∝ = a. b. Sen 𝛃
Sen ∝ = Sen 𝛃 al ser ángulos suplementarios
También podemos calcular a partir de las diagonales y el ángulo que forman:
Área =
D
1
D
2
Sen γ
Ejemplo : De un paralelogramo, conocemos sus lados a = 6,8 cm, b = 4 cm y el
ángulo que forma la diagonal mayor con el lado menor es de 30°. Hallar el área
del paralelogramo.
área del paralelogramo: Área = b. h = 4. 4.98 = 19.92 cm
2
Definición.
El producto cruz ó producto vectorial de Gibbs de dos vectores A x B, es otro
vector cuya dirección es perpendicular ⊥ a los dos vectores y su sentido sería
igual al avance de un tornillo al girar de A a B. su módulo es igual a :
| A x B |=| A |. | B | Sen ∝
Cuando se hace girar el tornillo o el sacacorchos hacia la derecha avanzan “en el
sentido de las agujas del reloj” y al girar en el sentido contrario retroceden.
AxB =
|
i j k
|
= + i, - j, + k
El producto cruz o producto vectorial de Gibbs. U x V se puede expresar
mediante un determinante de tres por tres.
La primera fila del determinante representada por las letras i, j, k , que
corresponden a los componentes unitarios de los ejes x, y, z; la segunda fila por
los componentes del primer vector, con sus signos; la tercera fila por los
componentes del segundo vector, también con sus signos.
Luego eliminando la primera fila y la primera columna, así, secuencialmente las
otras columnas, obtenemos un determinante de dos por dos acompañado de las
letras i, j, k , en las determinantes de dos por dos, los signos van alternados +, -,
+, así:
U x V =
i j k
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
u
2
u
3
v
2
v
3
i −
u
1
u
3
v
1
v
3
j +
u
1
u
2
v
1
v
2
k
Posteriormente multiplicamos en cruz los valores de cada determinante de dos
por dos, así:
( u ¿
¿ 2 ∗ v
3
− u
3
∗ v
2
) i −( u
1
∗ v
3
− u
3
∗ v
1
) j +( u
1
∗ v
2
− u
2
∗ v
1
) k ¿
Producto cruz
Ejemplo: Dados los vectores u ⃗ ⃗ v de tres dimensiones, distintos de cero
encontrar un tercer vector
c , distinto de cero, que sea perpendicular a ambos.
Las componentes de los vectores
u y
v son respectivamente:
⃗ u =
u
1 ,
u
2
, u
3
⃗ v =
v
1 ,
v
2 ,
v
3
mientras las componentes del vector ⃗ c =( x , y , z )
Q ueremos encontrar los valores de los componentes del vector c ⃗, a partir de los
valores de los dos vectores anotados
u y ⃗ v
Para lo cual tiene que cumplirse las siguientes condiciones.
⃗ u. ⃗ c = 0
⃗ v. ⃗ c = 0
cuando el producto punto es cero , es cuando los vectores son perpendiculares
x = u
2
v
3
− u
3
v
2
y = u
3
v
1
− u
1
v
3
Posteriormente, para obtener el componente z, podemos sustituir los valores de
los componentes x, y, en las ecuaciones originales, es decir en una de las
siguientes ecuaciones.
u
1
x + u
2
y + u
3
z = 0
v
1
x + v
2
y + v
3
z = 0
u
1
( u ¿
¿ 2 v
3
− u
3
v
2
)+ u
2
( u
3
v
1
− u
1
v
3
)+ u
3
z = 0 ¿
u
1
u
2
v
3
− u
1
u
3
v
2
2
u
3
v
1
− u
2
u
1
v
3
3
z = 0
u
3
z =
u
2
u
3
v
1
− u
1
u
3
v
2
u
3
z =
u
2
u
3
v
1
u
3
u
1
u
3
v
2
u
3
z = u
1
v
2
− u
2
v
1
Por consiguiente el vector c ⃗=( x , y , z ) al remplazar el valor de cada componente
x, y, z nos quedaría:
⃗ c =( x , y , z )
⃗ c =( u
2
v
3
− u
3
v
2
, u
3
v
1
− u
1
v
3
, u
1
v
2
− u
2
v
1
⃗ u
x
v
( u
2
v
3
− u
3
v
2
, u
3
v
1
− u
1
v
3
, u
1
v
2
− u
2
v
1
estas son las componentes del
producto cruz de
⃗ u
x
v
i j k
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
u
2
u
3
v
2
v
3
i −
u
1
u
3
v
1
v
3
j +
u
1
u
2
v
1
v
2
k
Posteriormente multiplicamos en cruz los valores de cada determinante de dos
por dos, así:
( u ¿¿ 2 ∗ v
3
− u
3
∗ v
2
) i −( u
1
∗ v
3
− u
3
∗ v
1
) j +( u
1
∗ v
2
− u
2
∗ v
1
) k ¿
Ejemplo:
⃗ u = (-2, 3, -1)
⃗ v = (3, 0, 2)
⃗ u
x
v
=
|
|
|
|
|
|
|
|
Luego multiplicamos en cruz los valores de cada determinante de dos por dos,
así:
u ⃗ x ⃗ v =( 3 ∗ 2 −(− 1 ∗ 0 )) 1 −¿
⃗ u
x
v
⃗ u
x
v
⃗ u
x
v
producto cruz como producto de polinomios
⃗ u
x
u
Propiedades del producto cruz
https://www.youtube.com/watch?v=3JT_Fc29Piw 22’10’’
Ayudan a simplificar los cálculos
u
x
v
es un vector perpendicular tanto a
u
como a
v
x
v ¿
u ⃗
x
v ¿
v
El producto cruz siempre nos dará como resultado un vector, es necesario
recordar que estos vectores son perpendiculares.
