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¿Qué es un vector?
Es una herramienta geométrica o matemática que los ayuda a representar magnitudes. Gráficamente se
representa como una flecha y contiene tres características clave:
Magnitud (o Módulo): es el tamaño o longitud de la flecha.
Dirección: la recta sobre la cuela se encuentra (inclinación)
Sentido: hacia dónde apunta la punta de la flecha.
En física se usa para describir cantidades que tiene una dirección especifica como la velocidad, el
desplazamiento, la fuerza o la aceleración.
Vectores 3D
En el plano cartesiano, cuando los ejes crean 4 divisiones estos se llaman cuadrantes. En un espacio
tridimensional, los ejes son x, y, z los cuales se interceptan perpendicularmente.
La eje x presenta el largo, el eje y el ancho y el eje z la profundidad.
Representación grafica
Ejemplo - representa el vector A en un sistema tridimensional. A= 4i + 3j + 2k
Pasos para graficar
- Localiza el punto “x” y el punto “y”.
- Extiende líneas paralelas estos puntos hasta que se intercepten.
- En el punto de cruce traza “z”.
Magnitud de un vector en 3D
La magnitud (modulo) the un vector tridimensional se encuentra de manera general usando esta
fórmula:
Ejemplo - calcular la magnitud del vector A= 4i +3j + 2k
VECTORES
Suma de vectores
Es una operación para combinar dos o más vectores para obtener un nuevo vector
resultante. Se hace sumando de manera independiente sus componentes homologas, es decir,
las coordenadas en eje x con las de x …
Esta es la fórmula (dos vectores):
Si quisiéramos por ejemplo 3A-2b, este se haría de la siguiente forma:
Ejemplo, haz la siguiente suma de vectores 4A + 2B
A= 5i + 3j + 2k B= 6i + 8j + k
Para la resta de vectores, se hace el mismo procedimiento.
Producto punto
El producto punto (o producto escalar) es una operación entre dos vectores que da
como resultado un número real (escalar). Se calcula multiplicando los componentes
correspondientes entre sí y sumando los resultados. Comúnmente se utiliza para hallar
el ángulo entre vectores o sumando proyección.
Esta es la fórmula:
Ejemplo, usando el producto punto calcula el ángulo entre el vector A y el vector B
Vector unitario
Un vector unitario es aquel que tiene una magnitud exactamente igual a 1. Nos ayuda
a indicar una dirección o sentido. Para obtener el vector unitario, se divide cada
componente del vector entre su propia magnitud.
La fórmula es:
Ejemplo: encuentra un vector unitario con la misma dirección que el vector a = ( 2 , 3 )
Ángulos directores
Son los ángulos exactos que forma el vector con los ejes X, Y, Z. Nos ayudan a
entender la inclinación o dirección de una línea en tres dimensiones. Cada ángulo
director representa la abertura desde un eje hacia el vector:
- a (alfa): Ángulo con el eje X
- β (beta): Ángulo con el eje Y.
- (gamma): Ángulo con el eje Z.
Estos de calculan de la siguiente manera:
Ejemplo: encuentra los ángulos directores del siguiente vector R= 1i - 2j - 3k
B) Calcula el producto punto de los
siguientes pares de vectores:
- H = 2i + 3j + 1k
I = 3i + -1j - 1k
- J = 2i - 4j
K = 3i + 5k
- (Calcular ángulo con producto punto)
L = 2i + 3j + 1k
M = 3i - 1j - 1k
- (Calcular ángulo con producto punto)
N = < 2.4 , 3.19 >
O = < -3.21 , 3.83 >
- (Calcular ángulo con producto punto)
P = 2i + 3j + 1k
Q = -4i + 2j - 1k C) Calcula el producto cruz de los
siguientes pares de vectores:
- R = 2i R x S =?
S= 3j S x R =?
- T = 2i + 1k T x U =?
U = 2j + 3k U x T =?
- V = ( 1 , 2 , 3 ) V x W =?
W = ( -1 , 1 , 2 )
- X = -3i - 1j + 1k X x Y =?
Y = 1i + 1j + 1k
- (Calcular ángulo con producto cruz)
Z = ( -2 , 7 , 4 )
A= ( 3 , 5 , -1 )
EJERCICIOS
A) Gráfica los siguientes
vectores y calcula su
magnitud:
- A = 2i + 2j + 1k
- B = 3i + 4j - 2k
- C = 2i + 5j - 4k
- D = -3i - 5j + 6k
- E = -1i - 4j - 2k
- F = 4i + 3j + 2k
- G = -2i + 4j - 5k
D) Encuentra el vector unitario de los
siguiente vectores.
- B = 3i + 4j
- C = -6i + 8j
- D = 4i - 8j - 4k
E) Encuentra los ángulos directores de los
siguiente vectores.
- E = 2i + 2j + 1k
- F = 3i + 4j - 2k
- G = 2i + 5j - 4k
