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El problem a de vibración libre requiere que el vector fuerza {f} sea igual a cero en cualquiera de las dos formulaciones de las ecuaciones del movimiento, la de rigi dez, ecuación (9.3), o la de flexibilidad, ecuación (9.7). Para la ecuación de rigidez con [F] = {0}, tenemos
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Vibración libre de un
edificio simple
CAPITULO 10
10 .1 FRECUENCIAS NATURALES Y
MODOS NORMALES
Cuando una estructura no está sometida a excitación externa alguna (fuerza o des plazamiento del soporte) y su movimiento está gobernado solamente por las condi ciones iniciales, se considera que está en vibración libre. Existen, ocasionalmente, circunstancias en las que es necesario determinar el movimiento de la estructura en condiciones de vibración libre, pero son casos especiales. No obstante, el análisis de la estructura en movimiento libre proporciona las propiedades dinámicas más im portantes de la estructura, que son las frecuencias naturales y los correspondientes modos normales. Empezaremos por considerar las formulaciones de ambas ecua ciones del movimiento presentadas en el capítulo 9, esto es, las ecuaciones de rigidez y de flexibilidad.
Para la vibración libre de una estructura sin amortiguación, buscamos soluciones para la ecuación (10.1) de la forma
y i = a¡ sen(cof - a), i = 1, 2 ,... , n
o usando notación vectorial
{ y } = {a}sen (coi - a), (10.2) donde a, es la amplitud del movimiento de la coordenada i y n es el número de gra dos de libertad. La aplicación de la ecuación (10.2) en la ecuación (10.1) da
-t o2 [M] {a} sen(coí - a) + [/T] {a}sen(ojí - a) = {0}, o reordenando los términos [[£ ] - co2 [M}] {a}= {0}, (10.3)
{ y } + [ f \ m { y} = { 0}. (10.5)
Nuevamente, suponemos un movimiento armónico expresado por la ecuación (10.2) y sustituimos esta ecuación en la ecuación (10.5) para obtener
o
{ a } = w 2 [ / ] [ M ] {a} (10.6)
1/co2 { a } = [ D ] { a } , (^) (10.7)
(10.1)
En general, la ecuación (10.4) resulta ser una ecuación algebraica de grado n de la incógnita w², la cual se satisface para n valores de w² que satisface la ecua
. Esta ecuación es conocida como ecuación característica del sistema. Para cada valor de w²
que, en el caso general, es un sistema algebraico de n ecuaciones lineales homogéneas (segundo miembro igual a cero) con n incógnitas, amplitudes, a i, además de un parám etro por determ inar, w ². L a f o r m u l a c i ó n d e l a e c u a c i ó n
c a r a c t e r í s t i c o. S u s o l u c i ó n n o t r i v i a l , e s t o e s , l a s o l u c i ó n e n l a c u a l n o t o d o s l o s v a l o r e s d e a i = 0 , r e q u i e r e q u e e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z d e l f a c t o r d e { a } s e a i g u a l a c e r o ; e n e s t e c a s o , (10.4)
( 1 0. 3 ) e s u n i m p o r t a n t e p r o b l e m a m a t e m á t i c o c o n o c i d o c o m o p r o b l e m a
ción (10.4), podemos resolver la ecuación (10.3) para a 1 , a 2 , ..., a n, en términos de una constante de proporcionalidad arbitraria. Análogamente, para la formulación de flexibilidad, en vibración libre, obtenemos de la ecuación (9.7) con { F(t) } = 0,
Figura 1 0 -2 M odelo de m ultim asas y resortes, para el ed ificio s im ple de dos pisos, (a) M odelo, (b) Diagram a de cuerpo libre.
pórtico interior provee la respuesta para todo el edificio. Determinar las frecuencias naturales y los modos normales correspondientes.
Solución:
Esta estructura está modelada como un edificio simple que, por lo tanto, puede representarse por el sistema de masas y resortes mostrado en la figura 10.2. Los pe sos concentrados, que se tom an como el peso total del piso más el peso tributario de los muros son calculados como sigue:
W, = 500 X 10 X 5 + 100 X 4 X 5 X 2 = 29 000 kp, m i = 29,59 kp-segVcm W2 = 250 x 10 X 5 + 100 X 1,5 X 5 X 2 = 14 000 kp mi = 14,29 kp-seg2/cm
Puesto que las vigas en los pisos se suponen rígidas, la constante del resorte de la columnas entre pisos está dada por
Reemplazando los valores indicados para las columnas en la figura 10-1, obtenemos para el primer piso
y p a r a e l s e g u n d o
Las ecuaciones del movimiento para el sistema, que se obtienen considerando el equilibrio dinámico de cada masa [figura 10.2(b)J en vibración libre, son
Siguiendo el procedimiento usual, estas ecuaciones del movimiento vibratorio libre se resuelven con la sustitución
para los desplazamientos y
para las aceleraciones. Usando matrices, obtenemos
( 10. 12 )
Para una solución no trivial de estas ecuaciones, se requiere que el determinante de la matriz de los coeficientes sea igual a cero, esto es,
Por lo tanto, las frecuencias naturales de la estructura son:
w ² 1 = 8 8 , w² 2 = 902,
w 1 = 9 , 4 1 r a d / s e g w 2 = 30,05 rad/seg
c introduciendo los valores numéricos de este ejemplo, se obtiene
Las raíces de esta ecuación cuadrática son:
( 10. 11 )
El desarrollo de este determinante, da una ecuación cuadrática en w²,²²²² a saber,
I )ebe notarse que, aun cuando hemos obtenido sólo valores relativos, las amplitu- i Irs del movimiento pueden, por supuesto, determinarse usando las condiciones inicia les. Para esta estructura modelada con dos grados de libertad, hemos encontrado dos posibles movimientos armónicos de vibración, en que todas las masas de la es- luictura se mueven en fase con la misma frecuencia, ya sea an o <0 2. Este movimien to de un sistema sin amortiguación, se llama modo de vibración normal o natural. I ;is amplitudes relativas de vibración, que para este ejemplo son ai/an y a n / a u , se llaman modos o formas normales correspondientes a las frecuencias naturales aii o <u.'. Los dos modos obtenidos para este ejemplo, están representados en la figura 10-3. A menudo usamos la frase primer modo o modo fundamental al referirnos al modo asociado con la frecuencia más baja. Los otros modos se llaman, a veces, armónicas 0 armónicas altas. Es evidente que los modos de vibración, cada uno con su fre- 1iiciicia propia se com portan esencialmente como sistemas con un solo grado de li- luTlad. El movimiento total del sistema, esto es, la solución total de las ecuaciones de movimiento, ecuación (10.1), está dada por la superposición de las vibraciones ;nmónicas de los modos, que en función de constantes arbitrarias de integración pueden escribirse como
y i ( t ) = C[ ffj 1 sen (co, t - Uy) + C'2a l2 sen(w 2 1- a2), y 2{ t ) - C[a2 1sen(co! t - <*1) + C2a22 sen (o >2 1 - a 2). (10.19)
Figura 1 0 -3 M odos norm ales del ejem plo 10.2. (a) Prim er modo, (b) S egundo modo.
En estas ecuaciones, C' 1 , C ' 2 como también a 1 y a 2 , son las cuatro constantes de integración, que se determinan aplicando cuatro condiciones del movimiento, que
son los desplazamientos y velocidades iniciales de cada masa en el sistema. Para este sistema de dos grados de libertad, estas condiciones iniciales son
J^i (0) = J^oi, 7 .(0 )= > o i, y 2 ( o ) = y 0 2 , y 2 ( 0 ) = y o 2 - ( 10.20)
y i{t)~ Cxa xi sen <¿>l t + C2a u eos u , t + C3a i2sen oj2 t + C4a l2 eos oj2 t, y 2 (.t) = Ci #21 sencoj t + C2a2¡ eos u>¡ í + C3a22 sen w 2 í + C4¿z22 eos co2 t. ( 10. 21 )
y 01 ~ C2 a u + C4fl 1 2 > y 02 = C2a21 + C ^a 22- (10.22)
Pav = w l C l a ll + w 2C3a12,. _y02 = w ,C ,« 2i +<o2 C3a22. (10.23)
La solución de estos dos sistemas de ecuaciones nos permite expresar el movimien to del sistema en función de los dos modos de vibración, cada uno procediendo con su frecuencia propia, completamente independiente del otro; las amplitudes y fases son entonces determinadas por las condiciones iniciales.
Introducim os ahora una propiedad muy importante de los modos normales, la propiedad de ortogonalidad. Esta propiedad constituye la base de uno de los méto dos más atractivos para resolver problemas dinámicos de multigrados de libertad. Empecemos por escribir las ecuaciones del movimiento en vibración libre, ecuación (10.3), como
10 .2 PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD
DE LOS MODOS NORMALES
Puesto que los modos son independientes, estas dos ecuaciones pueden siempre ser resueltas para C 2 y C 4. Similarmente, indicando en las ecuaciones (10.21), que las velocidades en el instante t = 0 son y 0 1 e y 02 , encontramos que
Para facilitar el cálculo de las constantes de intégración, es conveniente eliminar los ángulos de fase a 1 y a 2 en la ecuación (10.19), en favor de otras constantes. Con este objeto, expandiendo las funciones trigonométricas y asignando nuevos símbolos literales a las constantes, obtenemos
en que C 1 , C 2 , C 3 y C 4 , son las nuevas constantes de integración. Aplicando las dos primeras condiciones iniciales, ecuación ( 10.20), obtenemos
masa es diagonal, la condición de ortogonalidad entre dos modos cualesquiera, i y j puede expresarse como
y en general para un sistema con n grados de libertad
en que {a,} y ¡a,}, son dos vectores modales cualesquiera y [Af| es la matriz de masa del sistema. Como se mencionó anteriorm ente, las amplitudes de vibración en un modo nor mal son sólo valores relativos, que pueden normalizarse, hasta cierto punto, como se desee. La siguiente normalización es especialmente conveniente para un sistema ge neral:
que, para un sistema en que la matriz de masa es diagonal, puede escribirse como
en la cual </>,, es la componente normalizada i del vector modal j. Para vectores ca racterísticos normalizados, la condición de ortogonalidad está dada, en general, por
Luego multiplicando por ¡ <¡!>¡/obtenem os, en vista de la condición de ortogonali dad de la ec. (10.31), la siguiente condición de ortogonalidad entre los vectores ca racterísticos normalizados:
(10.31)
O tra condición de ortogonalidad se obtiene expresando la cc. (10.24) como
(10.33)
Ejemplo ilustrativo 1 0 -
Para el edificio simple del ejemplo 10.1, aplicar la ecuación (10.30) para norm a lizar los modos y verificar la condición de ortogonalidad.
S olución :
La aplicación de las ecuaciones (10.17) y (10.18), además de los valores de las masas del ejemplo 10.1, en los factores normalizadores de la ecuación (10.30) da
Los modos normales pueden ser ordenados convenientemente en las columnas de una m atriz conocida como la matriz modal del sistema. Para el caso general de n gra dos de libertad, la matriz modal puede escribirse como
La condición de ortogonalidad puede expresarse en general como
donde [<í>]Tes la matriz transpuesta de [4>] y [ M] es la matriz de masa del sistema. Para el ejemplo con dos grados de libertad, la matriz modal es
Para verificar la condición de ortogonalidad, simplemente aplicamos los modos normales de la (10.36) en la ecuación (10.35) y obtenemos
(10.36)
(10.35)
(10.34)
Consecuentemente, los modos normalizados son
Para presentar un ejemplo ilustrativo del uso del programa 8, consideremos una estructura (que no es un edificio simple) con tres grados de libertad, para la cual las matrices de rigidez y de masa son las siguientes:
Para determ inar las frecuencias naturales y los modos de vibración mediante el program a 8 es necesario preparar previamente un archivo que contenga las matrices de rigidez y de masa. Este archivo se puede preparar bien mediante la ejecución de uno de los program as para modelar estructuras, bien mediante la ejecución del pro grama auxiliar X I. En este ejemplo procederemos primero a ejecutar el programa auxiliar y después el program a 8.
Solución:
TABLA 10.1 Nomenclatura para el programa 8
Ejemplo ilustrativo 1 0 -
ENTRE DATOS:
NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD (^) ND= 3
MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA
- 1886E+02 -.1200E+02 0.5143E+ -.1200E+02 0. 1500E+02 -.1200E+ 0.5143E+01 -.1200E+02 0.1886E+ MATRIZ DE MASA DEL SISTEMA 0.8169E+00 0. 1286E+00 -.7400E- 0.1286E+00 0.8571E+00 0.1286E+
- .7400E-01 0. 1286E+00 0.8169E+
PROGRAMA 8: FRECUENCIAS NATURALES DATOS ENTRADOS:
MATRIZ DE RIGIDEZ
MATRIZ DE MASA 0.8169E+00 0. 1286E+00 -.7400E- 0.1286E+00 0.8571E+00 0.1286E+
- .7400E-01 0. 1286E+00 0.8169E+
‘‘CALCULANDO FRECUENCIAS NATURALES** RESULTADOS: FRECUENCIAS NATURALES (C.P.S.): 0.22 0.62 1. MODOS NORMALES POR FILAS: 0.4330 0.7967 0.
-0.7492 0.0000 0.
0.7228 -0.7720 0.
ARCHIVO DE DATOS: SK
0.1886E+02 -.1200E+02 0.5143E+ -.1200E+02 0. 1500E+02 -.1200E+ 0.5143E+01 -.1200E+02 0.1886E+
PROGRAMA X1:MATRICES DE RIGIDEZ Y DE MASA ARCHIVO DE DATOS:DX
Estas relaciones de ortogonalidad son equivalentes a
[]T[M| [4>| = [/]
l ® V m [<!>] = [íl] donde [0] es la matriz modal del sistema y [0] es una matriz diagonal que contiene los valores característicos u>; en la diagonal principal. Para un sistema dinámico, con solamente unos pocos grados de libertad, se pue den determ inar las frecuencias naturales y los correspondientes modos normales, por desarrollo del determ inante y solución de la ecuación característica. Sin embargo, para sistemas con un gran número de grados de libertad, este método directo de so lución se vuelve poco práctico. Es necesario entonces recurrir a otros métodos nu méricos, los cuales generalmente requieren un proceso iterativo. Entre los varios mé todos conocidos para la solución de un problema característico, hemos seleccionado el método de Jacobi generalizado que resuelve directamente el problema caracterís tico generalizado. El programa correspondiente, escrito en BASIC, se incluye en este texto como program a 8.
Figura P10-
Figura P 1 0-
10.2 Cierta estructura ha sido modelada como un sistema con tres grados d e lib ertad con los valores numéricos indicados en la figura P 1 0-2. Determine las frecuencias naturales y los correspondientes modos normales. Verifique los resultados aplicando el programa 8.
10.3 M o d e le el p ó rtic o p la n o d e la fig u ra P10-3 c o m o u n e d ific io s im p le y d e te r m in e la s f r ec u e n c ia s n a t u r a le s y m o d o s n o rm a le s.
10.4 U n p ó rtic o e s tru c tu ra l m ó v il es s o p o rta d o p o r ro d illo s , c o m o se m u e s tra e n la f ig u r a P 1 0 - 4. D e t e r m in e lo s p e r ío d o s n a tu ra le s y c o rre s p o n d ie n te s m o d o s n o rm a le s. M o d e le la e s t r u c t u r a c o m o e d if ic io s im p le y v e rifiq u e res u lta d o s u s a n d o e l p r o g r a m a 8.
10.5 D e t e r m in e la f o r m a g e n e ra l d e la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a r a u n e d if ic io s im p le u n if o r m e d e N p is o s , e n e l c u a l la m a s a e n c a d a p is o es m y la r ig id e z d e la s c o lu m n a s e n t r e p is o s es k.
10.7 M o d if iq u e e l p ro g ra m a p re p a ra d o e n el p ro b le m a 10.6 p a ra in c o r p o r a r la o p c ió n d e f i j a r e l v a lo r d e k/m p a ra q u e e l e d if ic io s im p le te n g a u n p e r ío d o n a t u r a l f u n d a m e n ta l d e 7's e g / c ic lo.
10.6 E s c r ib a u n p r o g r a m a , c o m o modif icación d e l p r o g r a m a 8 « J A C O B I » ,
para calcular la s frecuencias n aturales y modos normales d e un edif icio simple , como el
descrito e n e l p r o j a r e l v a lo r d e k/m p a ra q u e e l e d if icio s imple tenga un
p e r ío d o n a t u r a l f u n d a m e n tal d e 7 s e g / c ic lo.
