Métodos numéricos para hallar raíces: bisección y Newton-Raphson, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Métodos numéricos para hallar raíces: bisección y Newton-Raphson y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Capítol 6 1

Zeros de funcions

Zeros de funcions 2

Un exemple: Equilibri químic

Problema : Una barreja equimolecular de monòxid de carboni i oxigen arriba a l’equilibri a T= 300 ◦K i 5 atm de pressió. La reacció teòrica és CO + 12 O 2 CO 2 , mentre que la reacció real s’escriu com: CO + O 2 → xCO + 12 ( 1 + x)O 2 + ( 1 − x)CO 2. L’equació d’equilibri químic que determina la fracció x del CO que queda, s’escriu com:

Kp =

( 1 − x)( 3 + x)^1 /^2 x(x + 1 )^1 /^2 P^1 /^2

, 0 < x < 1 ,

on Kp = 3 .06 és la constant d’equilibri per a CO + 12 O 2 = CO 2 a 300 ◦K, i P = 5 atm és la pressió. Pregunta : Quin és el valor de x?

Introducció: exemple

Mètode de bisecció 5

El teorema de Bolzano (I)

Teorema de Bolzano. Sigui f : [a, b] → R contínua tal que f (a)f (b) < 0. Llavors, existeix α ∈]a, b[ tal que f (α) = 0. Demostració: Mètode de bisecció.

1. Fem [a 0 , b 0 ] = [a, b], n = 0.
2. Per l’interval [an, bn], on f (an)f (bn) < 0, calculem el punt cn+ 1 = (an + bn)/2.
3. Pot passar que: f (cn+ 1 ) = 0, llavors α = cn+ 1 i parem el procés; f (an)f (cn+ 1 ) < 0, i prenem [an+ 1 , bn+ 1 ] = [an, cn+ 1 ]; f (cn+ 1 )f (bn) < 0, i prenem [an+ 1 , bn+ 1 ] = [cn+ 1 , bn].
4. Assignem n = n + 1 i anem al pas 1).

Mètode de bisecció 7

Comentaris

El teorema de Bolzano és una eina per localitzar zeros de funcions. Ens diu que hi ha zeros, però no quants. Per demostrar que hi ha una única solució a un cert interval, es necessita algun argument extra (com veure que la funció és estrictament monòtona). La demostració del teorema de Bolzano dóna un mètode de càlcul d’un zero de la funció: el mètode de la bisecció. Des del punt de vista teòric , el procés de bisecció pot ser infinit. Des del punt de vista numèric , pararem el procés quan f (cn) ó bn − an siguin prou petits, per sota d’una certa tolerància. El mètode de bisecció és sempre convergent.

Mètode de bisecció 8

Exemple: Localització dels zeros

Exemple : Volem cercar els zeros de l’equació f (x) = exp(x − 0. 5 ) − 2 x + 0 .35.

1. Estudi de la funció. Com f ′(x) = exp(x − 0. 5 ) − 2, llavors la funció té un únic extrem local a xm = log( 2 ) +. 5 ' 1 .19315. De fet: la funció és estrictament decreixent a ] − ∞, xm [; la funció és estrictament creixent a ]xm , +∞[; xm és un mínim global, i a més f (xm ) = 1. 35 − 2 log( 2 ) ' − 0. 0362944 < 0. A més, com lim x→−∞ f (x) = +∞ i lim x→+∞ f (x) = +∞, llavors f té un únic zero α 1 a l’interval ] − ∞, xm [; f té un únic zero α 2 a l’interval ]xm , +∞[; Els únics zeros de f són α 1 i α 2.

Exemple: Càlcul d’un zero

Mètode de Newton–Raphson 11

Idea analítica

Problema : Sigui x 0 una arrel aproximada de f , a prop d’una arrel α. Si coneixem f ′, com podem millorar l’estimació? Si x 1 = x 0 + h, llavors volem

0 = f (x 0 + h) ≈ f (x 0 ) + f ′(x 0 )h ,

de forma que escollim com a correcció

h = −

f (x 0 ) f ′(x 0 )

El mètode de Newton consisteix en, donada una aproximació inicial x 0 , generar una successió de valors {xn}, definida per

xn+ 1 = xn − f (xn) f ′(xn)

, n = 0 , 1....

Mètode de Newton–Raphson 13

Comentaris

El mètode de Newton no és sempre convergent. Hi ha un teorema de convergència: el Teorema de Newton-Kantorovich. La convergència sol ser ràpida. Aturarem el mètode quan |xn+ 1 − xn| < ε o bé |f (xn+ 1 )| < δ, on ε > 0 , δ > 0 són les toleràncies que estem disposats a acceptar. El mètode es pot generalitzar fàcilment per resoldre sistemes d’equacions.

Mètode de Newton–Raphson 14

Exemple

Calculem α 1 , zero de f (x) = exp(x − 0. 5 ) − 2 x + 0 .35 a l’interval [ 0. 95 , 1. 05 ], amb el mètode de Newton ...

n xn f (xn) f ′(xn) |xn − xn− 1 | 0 0.95000000000 1.8312185490e-02 -4.3168781451e- 1 0.99241997313 1.4312185890e-03 -3.6372883516e-01 0.4e- 2 0.99635482363 1.2683863782e-05 -3.5727766888e-01 0.4e- 3 0.99639032504 1.0352153579e-09 -3.5721934888e-01 0.4e- 4 0.99639032794 1.1102230246e-16 -3.5721934412e-01 0.3e-

Mètode de Newton–Raphson 16

Exemple: Equilibri quìmic (continuació)

Usem el mètode de Newton amb x 0 = 0. n xn f (xn) f ′(xn) 0 0.0000000e+00 1.7320508e+00 -8.2857437e+ 1 2.0903987e-01 -1.5582646e-01 -9.7446356e+ 2 1.9304886e-01 -8.3948986e-04 -9.6394777e+ 3 1.9296178e-01 -8.6179369e-08 -9.6389027e+ 4 1.9296177e-01 5.7451469e-08 -9.6389027e+ 5 1.9296177e-01 5.7451469e-08 -9.6389027e+

Resultat exacte: x = 0. 1929617704785...

Exemple: Equilibri quìmic (continuació)

• Zeros de funcions
  • -0.
  • -0.
  • -0.
    • • • 0 0.2 0.4 0.6 0.8 - x3-1.35x2+0.49x-0.
          • f (x) = x^3 − 1 35 x^2 + 0 49 x −
• Mètode de bisecció - 2) Càlcul d’ α 1 (amb 8 xifres): α 1 = - 0 0.950000000 1.050000000 1.0e-01 1.8e-02 -1.7e-02 1.000000000 -1.3e- n an bn bn − an f (an ) f (bn ) cn+ 1 f (ci+ 1 ) - 1 0.950000000 1.000000000 5.0e-02 1.8e-02 -1.3e-03 0.975000000 8.0e- - 2 0.975000000 1.000000000 2.5e-02 8.0e-03 -1.3e-03 0.987500000 3.2e- - 3 0.987500000 1.000000000 1.2e-02 3.2e-03 -1.3e-03 0.993750000 9.5e- - 4 0.993750000 1.000000000 6.2e-03 9.5e-04 -1.3e-03 0.996875000 -1.7e- - 5 0.993750000 0.996875000 3.1e-03 9.5e-04 -1.7e-04 0.995312500 3.9e- - 6 0.995312500 0.996875000 1.6e-03 3.9e-04 -1.7e-04 0.996093750 1.1e- - 7 0.996093750 0.996875000 7.8e-04 1.1e-04 -1.7e-04 0.996484375 -3.4e- - 8 0.996093750 0.996484375 3.9e-04 1.1e-04 -3.4e-05 0.996289063 3.6e- - 9 0.996289063 0.996484375 2.0e-04 3.6e-05 -3.4e-05 0.996386719 1.3e-
  • 10 0.996386719 0.996484375 9.8e-05 1.3e-06 -3.4e-05 0.996435547 -1.6e-
  • 11 0.996386719 0.996435547 4.9e-05 1.3e-06 -1.6e-05 0.996411133 -7.4e-
  • 12 0.996386719 0.996411133 2.4e-05 1.3e-06 -7.4e-06 0.996398926 -3.1e-
  • 13 0.996386719 0.996398926 1.2e-05 1.3e-06 -3.1e-06 0.996392822 -8.9e-
  • 14 0.996386719 0.996392822 6.1e-06 1.3e-06 -8.9e-07 0.996389771 2.0e-
  • 15 0.996389771 0.996392822 3.1e-06 2.0e-07 -8.9e-07 0.996391296 -3.5e-
  • 16 0.996389771 0.996391296 1.5e-06 2.0e-07 -3.5e-07 0.996390533 -7.3e-
  • 17 0.996389771 0.996390533 7.6e-07 2.0e-07 -7.3e-08 0.996390152 6.3e-
  • 18 0.996390152 0.996390533 3.8e-07 6.3e-08 -7.3e-08 0.996390343 -5.3e-
  • 19 0.996390152 0.996390343 1.9e-07 6.3e-08 -5.3e-09 0.996390247 2.9e-
  • 20 0.996390247 0.996390343 9.5e-08 2.9e-08 -5.3e-09 0.996390295 1.2e-
  • 21 0.996390295 0.996390343 4.8e-08 1.2e-08 -5.3e-09 0.996390319 3.2e-
  • 22 0.996390319 0.996390343 2.4e-08 3.2e-09 -5.3e-09 0.996390331 -1.0e-
  • 23 0.996390319 0.996390331 1.2e-08 3.2e-09 -1.0e-09 0.996390325 1.1e-
  • 24 0.996390325 0.996390331 6.0e-09 1.1e-09 -1.0e-09 0.996390328 1.1e-
• Mètode de Newton–Raphson
  • f (x) = (PK p^2 − 1 )x^3 + (PK p^2 − 1 )x^2 + 5 x − 3 = També podem resoldre el problema trobant els zeros de la funció
  • Mètode de Newton amb x 0 =
    • 0 0.0000000e+00 -3.0000000e+00 5.0000000e+ n xn f (xn ) f ′(xn )
    • 1 6.0000002e-01 2.6391169e+01 1.0946504e+
    • 2 3.5890782e-01 6.8148637e+00 5.5594986e+
    • 3 2.3632728e-01 1.3453506e+00 3.4332970e+
    • 4 1.9714189e-01 1.1747546e-01 2.8407431e+
    • 5 1.9300650e-01 1.2435187e-03 2.7806711e+
    • 6 1.9296178e-01 1.9213077e-07 2.7800241e+
    • 7 1.9296178e-01 1.9213077e-07 2.7800241e+
  • Mètode de Newton amb x 0 = - 0 5.0000000e-01 1.6681749e+01 8.5181496e+ n xn f (xn ) f ′(xn ) - 1 3.0416229e-01 4.0489445e+00 4.5588730e+ - 2 2.1534771e-01 6.5910071e-01 3.1107981e+ - 3 1.9416019e-01 3.3420280e-02 2.7973827e+ - 4 1.9296549e-01 1.0334284e-04 2.7800777e+ - 5 1.9296178e-01 1.9213077e-07 2.7800241e+ - 6 1.9296178e-01 1.9213077e-07 2.7800241e+

Mètode de la secant 19

Idea geomètrica

Idea geomètrica :

Mètode de la secant 20

Comentaris

El mètode de la secant no és sempre convergent. Hi ha teoremes de convergència. La convergència sol ser ràpida, però no tant ràpida com el mètode de Newton. Aturarem el mètode quan |xn+ 1 − xn| < ε o bé |f (xn+ 1 )| < δ, on ε > 0 , δ > 0 són les toleràncies que estem disposats a acceptar. El mètode es pot generalitzar fàcilment per resoldre sistemes d’equacions (mètodes quasi-Newton).