Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé
43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet
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L'objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en analyse accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la ...
Typologie: Exercices
2021/2022
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Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet [email protected]
Analyse 1
Préambule
L’objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en analyse accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la formation en analyse mathématique de la licence. Etant donné que le recrutement en première année d’analyse est assez hétérogène, il semble assez judicieux de commencer par rappeler les notions élémentaires qui serviront tout au long de ce cours, histoire de ne perdre personne en route. Quand il sera nécessaire au début de chaque chapitre, nous rappellerons ce qui est censé être connu en terminal. Nous essaierons également dans la mesure du possible de fournir l’essentiel des ré- sultats de chaque chapitre sur une page, histoire de synthétiser les connaissances à bien maîtriser pour passer au chapitre suivant. Nous fournirons autant d’exemples et de figures nécessaires afin d’obtenir une meilleure compré- hension du cours. Nous essaierons également de souligner les pièges dans lesquels chacun peut se fourvoyer soit par inattention, soit par une mauvaise maîtrise du cours.
- 1 Les réels
- 1.1 Un peu d’histoire
- 1.2 Introduction aux nombres réels
- 1.2.1 Quelques règles de calcul
- 1.3 Intervalles de R
- 1.4 Voisinage
- 1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum
- 1.6 Valeur absolue
- 1.7 Partie entière
- 2 Les fonctions d’une variable réelle
- 2.1 Notions de bases sur les fonctions
- 2.2 Quelques propriétés des fonctions
- 2.2.1 Les opérations algébriques
- 2.2.2 La restriction
- 2.2.3 Fonctions définies par morceaux
- 2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées
- 2.3 La composition
- 2.3.1 Monotonie
- 2.3.2 Parité
- 2.3.3 Fonctions périodiques
- 2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité
- 3 Limites d’une fonction
- 3.1 Limites finie d’une fonction en un point
- 3.2 Limites infinie d’une fonction en un point
- 3.3 Limites à droite, limite à gauche
- 3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou −∞
- 3.5 Propriétés des limites
- 3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration
- 3.5.2 Limites et comparaison
- 3.6 Opérations algébriques sur les limites
- 3.6.1 Limite d’une somme de fonctions
- 3.6.2 Limite d’un produit de fonctions
- 3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions
- 3.7 Autres propriétés sur les limites TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
- 3.7.1 Limite et composée
- 3.7.2 Limite et monotonie
- 3.7.3 Critère de Cauchy
- 4 Quelques fonctions usuelles
- 4.1 Fonction constante
- 4.2 Fonction identité
- 4.3 Fonction valeur absolue
- 4.4 Fonction partie entière
- 4.5 Fonction puissances entières n ∈ N
- 4.6 Fonction polynôme
- 4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle
- 4.8 Fonction homographique
- 4.9 Fonction logarithme népérien
- 4.10 Fonction exponentielle
- 4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)
- 4.11.1 Fonction sinus
- 4.11.2 Fonction cosinus
- 4.11.3 Fonction tangente
- 4.11.4 Fonction cotangente
- 4.12 Fonctions hyperboliques
- 4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique
- 4.12.2 Fonction sinus hyperbolique
- 4.12.3 Fonction tangente hyperbolique
- 4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique
- 4.13 Fonctions réciproques usuelles
- 4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique
- 4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus
- 4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus
- 4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente
- 4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente
- 4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a
- 4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th
- 5 Continuité des fonctions
- 5.1 Caractérisation de Weierstrass
- 5.2 Continuité, opérations algébriques et composition
- 5.3 Théorèmes sur la continuité
- 5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité
- 6 Dérivée d’une fonction
- 6.1 Définition de la dérivabilité de f
- 6.2 Dérivabilité et continuité
- 6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition
- 6.4 Dérivée et monotonie TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
- 6.5 Dérivées et extrema
- 6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées
- 6.7 Dérivées des fonctions usuelles
- 6.8 Dérivées successives
- 6.8.1 Dérivée ni`eme
- 6.8.2 Classes de fonction
- 6.8.3 Fonction de classe C n, n ∈ N
- 6.8.4 Fonction de classe C ∞
- 6.8.5 Dérivée ni`eme d’une somme de fonctions
- 6.8.6 Dérivée ni`eme d’un produit de fonctions
- 6.8.7 Dérivée ni`eme de la composée de deux fonctions.
- 6.9 Fonctions convexes
- 7 Les suites
- 7.1 Définition
- 7.2 Deux suites classiques
- 7.2.1 Suites arithmétiques
- 7.2.2 Suites géométrique
- 7.3 Récurrence d’ordre
- 7.4 Limite de suites
- 7.4.1 Introduction
- 7.4.2 Opération algébriques sur les limites
- 7.4.3 Résultats sur les limites de suites
- 7.5 Suites réelles et monotonie
- 7.6 Suites adjacentes
- 7.7 Suites extraites
- 7.8 Critère de Cauchy
- 7.9 Fonctions et suites
- 8 Equations différentielles
- 8.1 Equation simple
- 8.1.1 Equation x′ =
- 8.1.2 Equation x′ = ax(t)
- 8.2 Différents types d’équations
- 8.3 Equation linéaire
- 8.4 Solutions
- 8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre
- 8.5.1 Définition
- 8.5.2 Primitives
- 8.5.3 EDO linéaire sans second membre
- 8.5.4 EDO linéaire avec second membre
- 8.5.5 Cas particulier
- 8.5.6 Existence et unicité
- 8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre
- 8.1 Equation simple
Chapitre 1
Les réels
(a) Julius Wilhelm Richard De- dekind (1831 - 1916), ma- thématicien allemand fut un des fondateurs de l’axiomati- sation de l’arithmétique. On lui doit notamment une dé- finition axiomatique de l’en- semble des nombres entiers ainsi qu’une construction ri- goureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels.
(b) Giuseppe Peano (1858 - 1932), mathématicien italien un des fondateurs de l’ap- proche formaliste des mathé- matiques, il développa, paral- lèlement à l’allemand Richard Dedekind, une axiomatisation de l’arithmétique en 1889. On lui doit notamment la notation Q.
(c) Georg Ferdinand Lud- wig Philipp Cantor (
- 1918), mathématicien al- lemand, créateur de la théo- rie des ensembles. Il mon- tra entre autres choses t que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels, c’est à lui que l’on doit la notation R.
FIGURE 1.1 – Quelques mathématiciens célèbres liés à l’étude des nombres entiers, rationnels et réels.
1.1 Un peu d’histoire
Les nombres apparaissent très tôt dans l’histoire de l’humanité. Pour mémoire, le calcul a été inventé avant l’écriture (il y a 20 000 ans mais certains disent 35 000 et d’autres plus). Il s’agissait de compter avec des cailloux (calculus en latin) afin d’évaluer des quantités entières. Ces entiers naturels permettaient de résoudre des équations du type x + 3 = 5 par exemple. Cet
1.1 Un peu d’histoire Les réels
ensemble sera par la suite noté N en 1888 par Richard Dedekind (pour “nummer” qui signifie numéro en allemand). On notera ainsi
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}.
Notons au passage, que c’est René Descarte qui suggéra par convention (que l’on garde encore aujourd’hui) de noter les inconnues par les dernières lettres de l’alphabet, et de garder les première lettres pour les paramètres connus. Il s’avéra très vite que les entiers ne pouvaient pas résoudre certaines équations comme x + 5 = 3. Il fallut alors introduire un ensemble agrandi du précédent, que l’on appellera entiers relatifs (par rapport à leurs positions à 0 ). Dedekind notera l’ensemble K, mais on retiendra plutôt la notation Z (pour zahlen qui signifie nombre en allemand) de Nicolas Bourbaki. On notera ainsi
Z = {..., − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}.
Il fallut ensuite résoudre des équations du type x × 3 = 5. On ne pouvait pas trouver toutes les solutions dans l’ensemble Z. Un autre ensemble fut alors introduit. L’ensemble des rationnels permettait de contenir l’ensemble des solutions de ce type d’équation, et il fut noté Q par Giuseppe Peano en 1895 (initiale du mot “quoziente” (quotient) en italien). On notera ainsi
Q = {
a b
où a et b sont des entiers relatifs et b 6 = 0}.
Il ne faut cependant pas confondre les rationnels Q avec les décimaux D. Les nombres décimaux sont de la forme a. 10 n^ où a et n sont des entiers relatifs. Un nombre décimal a donc un nombre fini de chiffres après la virgule : par exemple 1 , 23 s’écrit 123. 10 −^2. Tandis qu’un nombre ration-
nel sont de la forme
a b
où a est un entier relatif, et b est un entier relatif différent de zéro. C’est
d’ailleurs ici que commence le première piège qu’il faudra éviter, et qui semble assez évident a priori : on ne divise pas par 0! Un nombre décimal est donc un cas particulier de nombre rationnel.
FIGURE 1.2 – Triangle rectangle de côtés 1 , 1 et
Vint enfin une équation assez simple à résoudre 12 + 1^2 = x^2 , autrement dit x^2 = 2. Cette équation provenant d’un problème géométrique assez simple (le théorème de Pythagore), n’est pas récente
1.2 Introduction aux nombres réels Les réels
peu comme sur une carte, cela nous permet de savoir ce que l’on voit, où l’on va et comment on y va. Commençons par les règles simples et connues.
1.2.1 Quelques règles de calcul
Soient a, b et c trois nombres réels. On pourra écrire a, b, c ∈ R. On notera l’addition + et la multiplication × ou rien du tout (a × b ou ab quand il n’y a pas d’ambiguïté). On a alors les règles de calcul suivantes :
- Commutativité : quels que soient les nombres réels a et b, a + b = b + a et ab = ba,
- Associativité : quels que soient les nombres réels a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c) et a(bc) = (ab)c,
- Distributivité : quels que soient les nombres réels a, b et c, (a + b)c = ac + bc,
- Elements neutres pour + et pour × : quel que soit le nombre réel a, a + 0 = a et a × 1 = a.
Propriété 1 (Règles de calcul)
Viennent ensuite les règle de comparaison. C’est important de les exprimer ici, même si elles ont l’air simples. Elles permettront de résoudre un grand nombre de problèmes. Il est également sage de rappeler que ces règles sont valables pour les nombres réels, mais lorsqu’il s’agira d’étudier les nombres complexes, ce sera une autre histoire.
Soient a, b et c ∈ R. On a alors les règles de comparaison suivantes :
- Réflexivité : quels que soit les nombres réels a, a ≤ a,
- Antisymétrie : quels que soient les nombres réels a et b, si a ≤ b et b ≤ a alors a = b,
- Transitivité : quels que soient les nombres réels a, b et c, si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c,
- quels que soient les nombres réels a et b, on a a ≤ b ou b ≤ a.
Propriété 2 (Règles de comparaison)
Les réels 1.2 Introduction aux nombres réels
Remarque Les règles 1 , 2 et 3 de la propriété précédente expriment que ≤ est une relation d’ordre, et la propriété 4 que cette relation est totale (voir cours d’Algèbre).
Remarque
- A partir de la relation “inférieur ou égal” ≤ définie précédemment, on peut définir sa relation symétrique “supérieur ou égal” ≥ pour tous réels a et b par : a ≥ b si et seulement si b ≤ a. On remarquera que ≥ est également une relation totale.
- On définit également la relation“strictement inférieur” pour tous réels a et b par : a < b si et seulement si a ≤ b et a 6 = b, et la relation “strictement supérieur” pour tous réels a et b par : a > b si et seulement si a ≥ b et a 6 = b,
On aborde ensuite les règles dites de compatibilité que la plupart d’entre vous connaissez depuis le collège.
Soient a, b et c ∈ R. On a alors les règles de compatibilité suivantes :
- si a ≤ b alors a + c ≤ b + c,
- si a ≤ b et 0 ≤ c alors ac ≤ bc.
Propriété 3 (Règles de compatibilité)
Remarque La règle 2 de la propriété précédente peut également s’écrire avec la relation “stricte”, en utilisant le résultat suivant :
si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0 (ou les deux).
On a alors la règle suivante :
si a < b et 0 < c alors ac < bc.
- Deux nombres réels a et b sont opposés si a + b = 0.
- Deux nombres réels a et b non nuls sont dits inverses l’un de l’autre si ab = 1.
Définition 1 (Opposé et inverse)
Les réels 1.3 Intervalles de R
- Le fait de considérer une partie I de R se note I ⊂ R (qui se lit I inclus dans R).
- Le fait de considérer un élément a de I se note a ∈ I (qui se lit a appartient à I. Il ne faut donc pas confondre le symbole ⊂ qui est utilisé pour des parties, et ∈ qui est utilisé pour des éléments.
- La définition précédente pourrait alors s’écrire : on appelle intervalle I de R toute partie I ⊂ R vérifiant pour tous x, y ∈ I et pour tout z ∈ R si x ≤ z ≤ y alors z ∈ I.
Il existe plusieurs types d’intervalles de R. Nous allons les résumer dans les définitions suivantes.
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle fermé et borné (appelé aussi segment) de R tout ensemble de la forme
[a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}.
Définition 3 (Intervalle fermé et borné (segment))
Soient a et b deux réels tels que a < b. On appelle intervalle ouvert de R tout ensemble de la forme
]a, b[= {x ∈ R, a < x < b},
mais pas que... Ce sont également les ensembles de la forme :
]a, +∞[= {x ∈ R, a < x},
ou
] − ∞, b[= {x ∈ R, x < b}.
Définition 4 (Intervalle ouvert)
Remarque Un cas particulier d’intervalle ouvert est l’ensemble R tout entier : R =] − ∞, +∞[.
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle ouvert et borné de R tout ensemble de la forme
]a, b[= {x ∈ R, a < x < b}.
Définition 5 (Intervalle ouvert et borné )
1.3 Intervalles de R Les réels
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle semi-ouvert et borné de R tout ensemble de la forme
[a, b[= {x ∈ R, a ≤ x < b},
mais aussi
]a, b] = {x ∈ R, a < x ≤ b}.
Définition 6 (Intervalle semi-ouvert et borné )
Soient a et b deux réels. Par convention on appelle intervalle fermé et non borné de R tout ensemble de la forme
[a, +∞[= {x ∈ R, a ≤ x},
mais aussi
] − ∞, b] = {x ∈ R, x ≤ b}.
Définition 7 (Intervalle fermé et non borné )
Notation 1. On notera les intervalles particuliers suivants :
R+ = [0, +∞[, R∗ + =]0, +∞[, R− =] − ∞, 0], et R∗− =] − ∞, 0[.
La notation R∗^ désignant l’ensemble R privé de 0.
Remarque
- L’intervalle qui ne contient aucun nombre réel est appelé l’ensemble vide (eh oui! Il faut le considérer celui-ci aussi...), et il est noté ∅.
- L’intervalle qui ne contient qu’un seul nombre est appelé singleton (en anglais “single” veut dire seul). On le note alors entre accolade (est-ce que c’est parce qu’il est seul qu’il a besoin d’accolades pour être réconforté...) ; Autrement un singleton contenant le nombre réel a s’écrit {a}.
- Un singleton {a} est considéré comme l’intervalle [a, a] et donc c’est un cas particulier d’intervalle fermé.
- L’ensemble vide ∅ est considéré comme l’intervalle ]a, a[ donc c’est un cas particulier d’intervalle ouvert. Comme c’est le complémentaire de R, on considère R alors comme un intervalle fermé. Mais, R peut être également vu comme un intervalle ouvert si on l’écrit ] − ∞, +∞[. Et
1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum Les réels
Soit a un nombre réel. On dit que V ⊂ R est un voisinage de a si et seulement s’il existe ε > 0 tel que [a − ε, a + ε] ⊂ V.
Définition 9 (Voisinage d’un point )
Remarque On peut aussi dire, c’est équivalent, que V ⊂ R est un voisinage de a si et seulement s’il existe ε > 0 tel que ]a − ε, +ε[⊂ V.
Remarque Le voisinage V de a peut s’interpréter donc comme ce qu’il y a autour de a tout en étant très proche de a.
On dit que V ⊂ R est un voisinage de +∞ (respectivement de −∞) si et seulement s’il existe A ∈ R tel que [A, +∞[⊂ V (respectivement ] − ∞, A] ⊂ V ).
Définition 10 (Voisinage de l’infini)
1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum
Voyons maintenant comment on pourrait construire l’ensemble R à partir de l’ensemble Q (ce n’est pas l’unique façon de construire R mais pour l’instant c’est la seule que l’on puisse aborder dans l’état de nos connaissances). Pour cela nous avons besoin des notions de borne supérieures et inférieures, pour les utiliser, nous devons auparavant définir les notions de majorant et minorant.
Soit E une partie non vide de R. On dit que
- E est majorée s’il existe un nombre réel M (pas forcément dans E) tel que pour tout x ∈ E, x ≤ M. Un tel nombre (qui n’est pas nécessairement unique), est appelé majorant de E.
- E est minorée s’il existe un nombre réel m (pas forcément dans E) tel que pour tout x ∈ E, x ≥ m. Un tel nombre (qui n’est pas nécessairement unique), est appelé minorant de E.
- E est bornée si E est majorée et minorée.
Définition 11 (Majorant, minorant)
Remarque Attention : comme on l’a noté, M et m n’appartiennent pas nécessairement à E...c’est la toute la nuance entre les notions qui suivent : la borne supérieure et le maximum, la borne inférieure et le minimum.
Les réels 1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum
Soit E ⊂ R non vide. On dit que M ∈ R est la borne supérieure de E que l’on note M = sup(E) si et seulement si
- M est un majorant de E, c’est à dire que pour tout x ∈ E, x ≤ M ,
- si M ′^ est un majorant de E, alors M ≤ M ′, autrement dit, M est le plus petit des majorants De même m ∈ R est la borne inférieure de E que l’on note m = inf(E) si et seulement si
- m est un minorant de E, c’est à dire que pour tout x ∈ E, x ≥ m,
- si m′^ est un minorant de E, alors m ≥ m′, autrement dit, m est le plus grand des minorants.
Définition 12 (Borne supérieure, Borne inférieure)
On peut caractériser de façon pratique (ce qui pourra servir pour des exercices) la borne sup et la borne inf de la façon suivante.
Soit E ⊂ R non vide.
- si la partie E est majorée par un réel M. Alors M = sup(E) si et seulement si pour tout ε > 0 , il existe x ∈ E tel que x ∈]M − ε, M ].
- si la partie E est minorée par un réel m. Alors m = inf(E) si et seulement si pour tout ε > 0 , il existe x ∈ E tel que x ∈ [m, m + ε[.
Proposition 1 (Caractérisation des bornes sup et inf.)
Si les majorants et minorants appartiennent à l’ensemble E, on les appelle maximum et minimum. C’est la toute la différence avec les bornes supérieures et bornes inférieures. Donc ne confondez pas ces notions!
Soit E ⊂ R. On dit que M est le maximum de E, que l’on note M = max(E) si M = sup(E) et M ∈ E. On dit que m est le minimum de E, que l’on note m = min(E) si m = inf(E) et m ∈ E.
Définition 13 (Maximum, minimum)
Les réels 1.7 Partie entière
Soit a un nombre réel. La valeur absolue de a est le nombre réel défini par :
|a| =
a si a > 0 , −a si a < 0. 0 si a = 0.
Définition 14 (Valeur absolue)
Pour tous nombres réels a et b, nous avons :
- |a| ≥ 0 , −|a| ≤ a ≤ |a|, | − a| = |a|,
a^2 = |a|,
- |ab| = |a||b|,
- pour tout n ∈ N ou Z (si on a en plus a ∈ R∗) , |x|n^ = |xn|,
- si a 6 = 0,
a
∣ =^
|a|
et de façon générale
b a
∣ =^
|b| |a|
- si b ≥ 0 , |a| ≤ b si et seulement si −b ≤ a ≤ b,
- si b ≥ 0 , |a| ≥ b si et seulement si a ≤ −b ou a ≥ b,
- |a + b| ≤ |a| + |b| (c’est l’inégalité triangulaire),
- ||a| − |b|| ≤ |a − b| (c’est l’inégalité triangulaire inversée).
Propriété 7 (Valeur absolue, rappels)
Une autre propriété que l’on utilisera très souvent en TD.
Soit r un réel strictement positif. Pour tous nombres a et b nous avons les deux équiva- lence suivantes :
- |b − a| < r si et seulement a − r < b < a + r,
- |b − a| ≤ r si et seulement a − r ≤ b ≤ a + r.
Propriété 8 (Valeur absolue et distance)
1.7 Partie entière
Une notion qui peut vous sembler nouvelle est celle de la partie entière d’un nombre réel. La partie entière a beaucoup d’applications notamment en probabilité, en théorie des nombres mais également dans l’affichage numérique d’appareils de mesures. Elle pourra également nous être
1.7 Partie entière Les réels
utile pour la résolution d’exercices ainsi que pour la preuve de certaines propositions.
Soit a un nombre réel. Le plus grand entier inférieur ou égal à a s’appelle la partie entière de a. Nous le noterons E(a) ou [a].
Définition 15 (Partie entière)
Remarque Intuitivement, il est assez aisé de voir que pour les nombre positifs, la partie entière d’un nombre est le nombre lui-même “coupé” de ses chiffres après la virgule. D’où le nom de partie entière. Par contre pour les nombres négatifs, il faudra faire attention, ce sera le nombre entière inférieur au nombre “coupé” de ses chiffres après la virgule. Il ne faut donc pas confondre partie entière et troncature! (la partie entière est la troncature pour les nombres positifs, mais pas pour les nombres négatifs!
Exemple
- E(π) = 3,
- E(−π) = − 4.
Soit a un réel. Il existe un unique entier relatif n tel que
n ≤ a ≤ n + 1.
Proposition 2 (Valeur absolue et distance)
Remarque Par conséquent, E(a) est l’unique entier tel que E(a) ≤ a < E(a) + 1. Il est important de noter l’inégalité stricte à droite et large à gauche!