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[ Baccalauréat S Métropole 15 juin 2007 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
L’espace est muni du repère orthonormal
O,
ı ,
k
. Soient (P) et (P′) les plans
d’équations respectives x + 2 y − z + 1 = 0 et − x + y + z = 0. Soit A le point de coordon- nées (0 ; 1 ; 1).
1. Démontrer que les plans (P) et (P′) sont perpendiculaires. 2. Soit ( d ) la droite dont une représentation paramétrique est :
x = −
y = −
z = t
où t est un nombre réel.
Démontrer que les plans (P) et (P′) se coupent selon la droite ( d ).
3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P′). 4. En déduire la distance du point A à la droite ( d ).
EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats
1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer la formule d’intégration par parties en utilisant la formule de dé- rivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [ a ; b ].
2. Soient les deux intégrales définies par
I =
∫ π
0
e x^ sin x d x et J =
∫ π
0
e x^ cos x d x.
a. Démontrer que I = −J et que I = J + e π^ + 1. b. En déduire les valeurs exactes de I et de J.
EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On considère l’équation :
(E) z^3 − (4 + i) z^2 + (13 + 4i) z − 13i = 0
où z est un nombre complexe.
1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. 2. Déterminer les nombres réels a , b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z^3 − (4 + i) z^2 + (13 + 4i) z − 13i = ( z − i)
az^2 + bz + c
3. En déduire les solutions de l’équation (E).
Partie B
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
, on dé-
signe par A, B et C les points d’affixes respectives i, 2 + 3i et 2 − 3i.
1. Soit r la rotation de centre B et d’angle π 4 . Déterminer l’affixe du point A′, image du point A par la rotation r. 2. Démontrer que les points A′, B et C sont alignés et déterminer l’écriture com- plexe de l’homothétie de centre B qui transforme C en A′.
EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
La figure est proposée en annexe 1_. Elle sera complétée tout au long de l’exercice._
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
, on consi- dère les points A, B et C, d’affixes respectives − 5 + 6i, − 7 − 2i et 3 − 2i. On admet que le point F, d’affixe − 2 + i est le centre du cercle Γ circonscrit au triangle ABC.
1. Soit H le point d’affixe −5. Déterminer les éléments caractéristiques de la si- militude directe de centre A qui transforme le point C en le point H. 2. a. Étant donné des nombres complexes z et z ′, on note M le point d’affixe z et M ′^ le point d’affixe z ′. Soient a et b des nombres complexes. Soit s la transformation d’écriture complexe z ′^ = az + b qui, au point M , associe le point M ′. Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s? b. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC). c. Vérifier que le point E est un point du cercle Γ. 3. Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l’affixe du point G, image du point I par l’homothétie de centre B et de rapport
Démontrer que les points H, G et F sont alignés.
EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à 10 −^3 près.
1. Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude sta- tistique a permis d’établir que, chaque fois qu’il rencontre un client, la pro- babilité qu’il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu’il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :
a. 0,4 b. 0,04 c. 0,102 4 d. 0,204 8
ANNEXE
À compléter et à rendre avec la copie
Exercice 5
O x
y
C
D
ANNEXE 1
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
À compléter et à rendre avec la copie
Exercice 3
u
v O
x
y A
B
b
b
