Télécharge Correction examen - mathématique 7 et plus Examens au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement!
[ Baccalauréat S Liban juin 2007 \
EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats
Soient f et g les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) = ln x et g ( x ) = (ln x )^2.
On note C et C ′^ les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C et C ′^ sont données en annexe.
1. a. Étudier le signe de (ln x )(1 − ln x ) sur ]0 ; +∞[. b. En déduire la position relative des deux courbes C et C ′^ sur ]0 ; +∞[. 2. Pour x appartenant à ]0 ; +∞[, M est le point de C d’abscisse x et N est le point de C ′^ de même abscisse. a. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h ( x ) = f ( x ) − g ( x ). Étudier les variations de la fonction h sur ]0 ; +∞[. b. En déduire que sur l’intervalle [1 ; e], la valeur maximale de la distance M N est obtenue pour x =
p e. c. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation (ln x )^2 − ln x = 1. d. En déduire que, sur ]0 ; 1[ ∪ ]e ; +∞[, il existe deux réels a et b ( a < b ) pour lesquels la distance M N est égale à 1.
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer
∫e
1
ln x d x.
b. Vérifier que la fonction G définie sur ]0 ; +∞[ par G ( x ) = x
[
(ln x )^2 − 2ln x + 2
]
est une primitive de la fonction g sur ]0 ; +∞[. c. On considère la partie du plan délimitée par les courbes C , C et les droites d’équations x = 1 et x = e. Déterminer l’aire A en unités d’aire de cette partie du plan.
EXERCICE 2 5 points Candidats ne faisant pas l’option mathématiques
Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
L’espace est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
k
On considère la droite ( d ) dont un système d’équations paramétriques est :
x = 2 −
t 2 y = 1 z = 5 −
3 t 2
( t ∈ R)
On note A le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; −2 ; 2) et C le point de ( d ) d’abscisse 1.
1. Proposition 1 « La droite ( d ) est parallèle à l’axe
O ;
2. Proposition 2 « Le plan P d’équation x + 3 z − 5 = 0 est le plan passant par A et orthogonal à ( d ) ».
3. Proposition 3 « La mesure de l’angle géométrique BAC est π 3
radians ».
4. Soit G le barycentre des points pondérés (A ; −1), (B ; 1) et (C ; 1). Proposition 4 « Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu ». 5. Proposition 5 « La sphère de centre C et passant par B coupe le plan P d’équation x + 3 z − 5 = 0 ».
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’option mathématiques Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On considère la transformation du plan qui à tout point d’affixe z associe le point d’affixe z ′^ définie par : z ′^ = 2i z + 1. Proposition 1 : « Cette transformation est la similitude directe de centre A d’affixe
i, d’angle
π 2
et de rapport 2 ».
2. Dans l’espace muni du repère orthonormal
O,
ı ,
k
, on note S la sur- face d’équation z = x^2 + 2 x + y^2 + 1. Proposition 2 : « La section de S avec le plan d’équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées (−1 ; 0 ; 5) et de rayon 5 ».
3. Proposition 3 : « 5^750 − 1 est un multiple de 7 ». 4. Proposition 4 : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3 n + 4 et de 4 n + 3 est égal à 7 ». 5. Soient a et b deux entiers naturels. Proposition 5 : « S’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ».
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats On considère deux urnes U 1 et U 2. L’urne U 1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L’urne U 2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U 1 , on note sa couleur et on la remet dans U 1.
Étape n ( n > 2) :
- Si la boule tirée à l’étape ( n −1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U 1 , on note sa couleur et on la remet dans U 1.
- Si la boule tirée à l’étape ( n − 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U 2 , on note sa couleur et on la remet dans U 2. On note A l’évènement « le tirage a lieu dans l’urne U 1 à l’étape n » et pn sa probabi- lité. On a donc p 1 = 1. 1. Calculer p 2.
Annexe
Annexe à rendre avec la copie
EXERCICE 1
(^0) ~ i
~ j
EXERCICE 4
~ u
~ v
O
C 1
b
M 1
