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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Métropole & La Réunion \
septembre 2007
EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats
Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépen- dantes.
1. Restitution organisée de connaissances La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d’elles si vraie ou fausse et justifier. Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1. — P : Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = xn^ ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f ′^ donnée sur R par : f ′( x ) = nxn −^1. — Q : Soit u une fonction dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par f = un^ ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f ′^ donnée par f ′^ = nun −^1. 2. On désigne par g la fonction définie sur ] − 1 ; 1[ par g (0) = 0 et g ′( x ) = 1 p 1 − x^2
où g ′^ désigne la dérivée de la fonction g sur ] − 1 ; 1[ ; on ne cher- chera pas à expliciter g ( x ). On considère alors la fonction composée h définie sur ] − π ; 0[ par h ( x ) = g (cos x ). a. Démontrer que pour tout x de ] − π ; 0[ on a h ′( x ) = 1, où h ′^ désigne la dérivée de h. b. Calculer h
π 2
puis donner l’expression de h ( x ).
EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats
1. La suite u est définie par : u 0 = 2 et un + 1 =
un +
pour tout entier naturel n. a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe , la droite d’équation y =
x +
et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u. b. Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est ℓ =
c. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : un >
d. Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.
2. a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : n ∑+ 1
k = 2
10 k^
10 n
c’est-à-dire que
10 n +^1
10 n
b. La suite v est définie par vn = 1,277 7··· 7 avec n décimales consécutives égales à 7. Ainsi v 0 = 1,2, v 1 = 1,27 et v 2 = 1,277. En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre ra- tionnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).
3. La suite u définie au 1 et la suite v sont-elles adjacentes? Justifier.
EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Soit les nombres complexes :
z 1 =
p 2 + i
p 6, z 2 = 2 + 2i et Z =
z 1 z 2
1. Écrire Z sous forme algébrique. 2. Donner les modules et arguments de z 1 , z 2 et Z. 3. En déduire cos
π 12 et sin
π 12
4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z 1 , z 2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). 5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 2 007.
EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1. On considère l’ensemble A 7 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} a. Pour tout élément a de A 7 écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l’unique élément y de A 7 tel que a y ≡ 1 (modulo 7). b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3 x ≡ 5 (modulo 7) équi- vaut à x ≡ 4 (modulo 7). c. Si a est un élément de A 7 , montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation ax ≡ 0 (modulo 7) sont les multiples de 7. 2. Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l’ensemble A p = {1 ; 2 ; ... ; p − 1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de A p. a. Vérifier que ap −^2 est une solution de l’équation ax ≡ 1 (modulo p ). b. On note r le reste dans la division euclidienne de ap −^2 par p. Démontrer que r est l’unique solution x dans A p , de l’équation ax ≡ 1 (modulo p ). c. Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que x y ≡ 0 (modulo p ) si et seulement si x est un multiple de p où y est un multiple de p. d. Application : p = 31. Résoudre dans A 31 les équations : 2 x ≡ 1(modulo 31) et 3 x ≡ 1 (modulo 31). À l’aide des résultats précédents, résoudre dans Z l’équation 6 x^2 − 5 x + 1 ≡ 0 (modulo 31).
EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur
]
π 2
π 2
[
(E) : y ′^ + (1 + tan x ) y = cos x (E 0 ) : y ′^ + y = 1.
ANNEXE 1
(À compléter et à rendre avec la copie)
Exercice 2
x
y
O
A
ANNEXE 1
(À compléter et à rendre avec la copie)
Exercice 3 (spécialité)
a 1 2 3 4 5 6 y 6
