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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007 \
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indi- quera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’ab- sence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1. Une solution de l’équation 2 z + z = 9 + i est : a. 3 b. i c. 3 + i 2. Soit z un nombre complexe ; | z + i| est égal à : a. | z | + 1 b. | z − 1 | c.
i z + 1
3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de
− 1 + i
p 3 z est :
a. −
π 3
2 π 3
2 π 3
− θ
4. Soit n un entier naturel. Le complexe
(p 3 + i
) n est un imaginaire pur si et seulement si : a. n = 3 b. n = 6 k + 3, avec k re- latif
c. n = 6 k avec k relatif
5. Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant | z − i| = | z + 1 | est : a. la droite (AB) b. le cercle de dia- mètre [AB]
c. la droite perpendi- culaire à (AB) passant par O
6. Soit Ω le point d’affixe 1 − i. L’ensemble des points M d’affixe z = x + i y véri- fiant | z − 1 + i| = | 3 − 4i| a pour équation : a. y = − x + 1 b. ( x − 1)^2 + y^2 =
p 5 c. z = 1 − i + 5ei θ^ avec θ réel
7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec
AB ,
AC
π 2
est :
a. 1 − 4i b. −3i c. 7 + 4i
8. L’ensemble des solutions dans C de l’équation z − 2 z − 1
= z est :
a. {1 − i} b. L’ensemble vide c. {1 − i ; 1 + i}
EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats
Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second. La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second. On note :
— D l’évènement « le composant est défectueux » ; — F 1 l’évènement « le composant provient du premier fournisseur » ; — F 2 l’évènement « le composant provient du second fournisseur ».
1. a. Dessiner un arbre pondéré. b. Calculer p (D ∩ F 1 ), puis démontrer que p (D) = 0,0225. c. Sachant qu’un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier fournisseur? Dans toute la suite de l’exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à 10 −^3 près. 2. Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre eux soient défectueux? 3. La durée de vie de l’un de ces composants est une variable aléatoire notée X qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre λ , avec λ réel strictement positif. a. Sachant que p ( X > 5) = 0,325, déterminer λ. Pour les questions suivantes, on prendra λ = 0,225. b. Quelle est la probabilité qu’un composant dure moins de 8 ans? plus de 8 ans? c. Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans sachant qu’il a déjà duré plus de 3 ans?
EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats
Partie A : question de cours
1. Soit f une fonction réelle définie sur [ a ; +∞[. Compléter la phrase suivante : « On dit que f admet une limite finie ℓ en +∞ si... » 2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient f , g et h trois fonctions définies sur [ a ; +∞[ et ℓ un nombre réel. Si g et h ont pour limite commune
ℓ quand x tend vers +∞, et si pour tout x assez grand g ( x ) 6 f ( x ) 6 h ( x ),
alors la limite de f quand x tend vers +∞ est égale à ℓ.
Partie B
Soit f la fonction définie sur R par
f ( x ) = e x^ − x − 1
et soit (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite ( D ) d’équation y = − x − 1 est asymptote à (C ). On a représenté sur la feuille annexe la courbe (C ) et la droite ( D ).
1. Soit a un nombre réel. Écrire, en fonction de a , une équation de la tangente ( T ) à (C ) au point M d’abscisse a. 2. Cette tangente ( T ) coupe la droite ( D ) au point N d’abscisse b. Vérifier que b − a = −1. 3. En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente ( T ) à (C ) au point M d’abscisse 1,5. On fera apparaître le point N correspon- dant.
Partie C
1. Déterminer graphiquement le signe de f.
2. Dans cette question x et y désignent des entiers relatifs.
a. Montrer que l’équation
( E ) 65 x − 40 y = 1
n’a pas de solution. b. Montrer que l’équation
( E ′) 17 x − 40 y = 1
admet au moins une solution. c. Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de l’équation
E ′
d. Résoudre l’équation
E ′
En déduire qu’il existe un unique naturel x 0 inférieur à 40 tel que 17 x 0 ≡ 1 [40].
3. Pour tout entier naturel a , démontrer que si a^17 ≡ b [55] et si a^40 ≡ 1 [55], alors b^33 ≡ a [55].
ANNEXE (à rendre avec la copie)
− 4 − 3 − 2 − 1 O 1 2
(C )
( D )
