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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Polynésie septembre 2004
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :
f ( x ) =
ln x p x
O
ı
C
α
1. a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f ′( x ) est du signe de N ( x ) = −
[
x
p x − 1
]
b. Calculer N (1) et déterminer le signe de N ( x ) en distinguant les cas 0 < x < 1 et x > 1. c. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ et les coordonnées du point de C d’ordonnée maximale.
2. On note A ( α ) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où α désigne un réel de ]0 ; 1[. a. Exprimer A ( α ) en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par parties). b. Calculer la limite de A ( α ) lorsque α tend vers 0. Donner une interpréta- tion graphique de cette limite. 3. On définit une suite ( un ) n ∈N par son premier terme u 0 élément de [1 ; 2] et :
pour tout entier naturel n , un + 1 = ln un p un
a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2], la double inégalité
ln x p x
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , un appartient à [1 ; 2].
4. En remarquant que, pour tout entier naturel n , un + 1 = f ( un ) + un , détermi- ner le sens de variation de la suite ( un ). 5. a. Montrer que la suite ( un ) n ∈N est convergente. On note ℓ sa limite. b. Déterminer la valeur exacte de ℓ.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. On prendra 2 cm pour
unité graphique. Pour tout point M du plan d’affixe z on considère les points M ′^ et M ′′^ d’affixes res- pectives
z ′^ = z − 2 et z ′′^ = z^2.
1. a. Déterminer les points M pour lesquels M ′′^ = M. b. Déterminer les points M pour lesquels M ′′^ = M ′. 2. Montrer qu’il existe exactement deux points M 1 et M 2 dont les images M′ 1 , M′′ 1 , M′ 2 et M′′ 2 appartiennent à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées. 3. On pose z = x + i y où x et y sont des nombres réels.
a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe
z ′′^ − z z ′^ − z
b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M , M ′^ et M ′′^ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.
4. On pose z =
p 3ei θ^ où θ ∈
[
π 2
]
a. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z ainsi définis et chacun des ensembles Γ′^ et Γ′′^ des points M ′^ et M ′′^ associés à M. b. Représenter Γ, Γ′^ et Γ′′^ sur la figure précédente c. Dans cette question θ =
π 6
. Placer le point M 3 obtenu pour cette valeur de θ , et les points M′ 3 et M′′ 3 qui lui sont associés. Montrer que le triangle M 3 M′ 3 M′′ 3 est rectangle. Est-il isocèle?
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. On prendra, sur la fi- gure 1 cm pour unité graphique. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives −1 + i, 3 + 2i et i
p
1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′^ = f ( M ) d’affixe z ′^ définie par :
z ′^ =
1 + i p 2
z − 1 + i
p 2
a. Calculer les affixes des points A′^ = f (A) et C′^ = f (C). b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation. c. Placer les points A, B et C puis construire le point B′^ = f (B).
2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétiep h de centre A et de rapport 2. b. Montrer que la composée g = f ◦ h a pour écriture complexe z ′′^ = (1 + i) z − 1 + 3i. 3. a. Soit M 0 le point d’affixe 2 - 4 i. Déterminer l’affixe du point M′′ 0 = g (^) (M 0 ) puis vérifier que les vecteurs
AB
et
AM′′ 0 sont orthogonaux.
Polynésie 2 septembre 2004
