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[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie \
novembre 2004
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
, on consi- dère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M ′^ d’affixe z ′^ telle que :
z ′^ = z^2 − 4 z.
1. Soient A et B les points d’affixes z A = 1 − i et z B = 3 + i. a. Calculer les affixes des points A′^ et B′^ images des points A et B par f. b. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie cen- trale que l’on précisera. 2. Soit I le point d’affixe −3. a. Démontrer que O M I M ′^ est un parallélogramme si et seulement si z^2 − 3 z + 3 = 0. b. Résoudre l’équation z^2 − 3 z + 3 = 0. 3. a. Exprimer
z ′^ + 4
∣ en fonction de ( z^ −^ 2). En déduire une relation entre ∣ z ′^ + 4
∣ (^) et | z − 2 | puis entre arg
z ′^ + 4
et arg( z − 2). b. On considère les points J et K d’affixes respectives z J = 2 et z K = −4. Démontrer que tous les points M du cercle (C ) de centre J et de rayon 2 ont leur image M ′^ sur un même cercle que l’on déterminera. c. Soit E le point d’affixe z E = − 4 − 3i. Donner la forme trigonométrique de ( z E +4) et à l’aide du 3. a. démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points.
EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.)
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute ré- ponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le can- didat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante. Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent 12 point.
A
B
C
D
E
F G
H
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On( choisit le repère orthonormal A ;
AB ,
AD ,
AE
On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG]. L est le barycentre de {(A, 1) ; (B, 3)}. Soit ( π ) le plan d’équation 4 x − 4 y + 3 z − 3 = 0.
1. Les coordonnées de L sont : a.
b.
c.
2. Le plan ( π ) est le plan a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA) 3. Le plan parallèle au plan ( π ) passant par I coupe la droite (FB) en M de coor- données a.
b.
c.
4. a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique de M par rapport à B. b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles. c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes. 5. Le volume du tétraèdre FIJM est : a.
b.
c.
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur R par
f ( x ) =
x e x^ − x
On note (( C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal
O,
ı ,
, l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des
ordonnées.
Partie A
Soit g la fonction définie sur R par g ( x ) = e x^ − x − 1.
1. Étudier les variations de la fonction g sur R. En déduire le signe de g. 2. Justifier que pour tout x , (e x^ − x ) est strictement positif.
Partie B
1. a. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en −∞. b. Interpréter graphiquement les résultats précédents. 2. a. Calculer f ′( x ), f ′^ désignant la fonction dérivée de f. b. Étudier le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations. 3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0. b. À l’aide de la partie A , étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T). 4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (C ).
EXERCICE 3 5 points Exercice de spécialité
Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.
1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 alors les nombres a et b sont premiers entre eux.
3. a. Montrer que si ( x ; y ) est une solution différente de (1 ; 1) alors ( y − x ; x ) et ( y ; y + x ) sont aussi des solutions. b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions 4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs ( an ) n ∈N définie
par a 0 = a 1 = 1 et pour tout entier n , n > 0, an + 2 = an + 1 + an.
Démontrer que pour tout entier n > 0, ( an ; an + 1 ) est solution.
En déduire que les nombres an et an + 1 sont premiers entre eux.
