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Ce devoir doit être rédigé en deux heures au maximum.
Exercice 1 [10 points]
Dans le cube ABCDEFGH d’arêtes de longueur 1, on considère le point I, centre de la face ABFE , et
le point J , milieu de l’arête [ FG ]. Dans tout l’exercice, on se place dans le repère ( A ; AB , AD , AE ).
1. Quelle est la nature de ce repère? 2. Donner, sans les justifier, les coordonnées des points I , J et D dans ce repère. 3. Donner les coordonnées des vecteurs IJ et ID.
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IMPORTANT Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié les séquences 3 et 6.
DEVOIR 3
« La réalisation de vos devoirs est un travail personnel permettant d’évaluer vos acquisitions et de construire votre projet d’orientation. Sauf consignes contraires, il est obligatoire de les réaliser dans les conditions de l’examen, c’est-à-dire en temps limité, sans recopier des contenus issus de supports extérieurs au sujet (internet, cours du CNED, manuels scolaires…). Le cas échéant, si vous avez besoin de vous référer à un passage issu d’un support extérieur, mettez-le entre guillemets et citez votre source. Tout travail non personnel sera sanctionné.»
4. Montrer que le triangle IJD est rectangle en I. 5. Calculer le produit scalaire DI. (^) DJ ainsi que les longueurs DI et DJ. 6. En déduire une valeur arrondie au degré des angles (^) IDJ et (^) IJD.
On souhaite calculer le volume du tétraèdre IJDE.
7. Montrer que le vecteur (^) EI est normal au plan (IJD). 8. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule. Calculer le volume du tétraèdre IJDE.
Indications
- Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on montre que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
- On rappelle que pour un vecteur u^ , sa norme vaut =.
- Exprimer le produit scalaire de (^) DI et (^) DJ de deux manières différentes : une avec les coordonnées, une avec le cosinus. Identifier alors les termes que vous avez calculés.
- La hauteur d’un tétraèdre par rapport à une base est la droite qui est orthogonale à cette face et qui passe par le sommet opposé à cette face.
Exercice 2 [10 points]
L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère les points A , B et C de coordonnées respectives (3 ; 5 ; 1), (7 ; 2 ; -1) et (-8 ; -3 ; 4).
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et BC. Les points A , B et C sont-ils alignés?
Soit t un réel. On note M le point de coordonnées (1 + 3 t ; t ; 1- t ).
2. Montrer que. 3. Que peut-on en déduire sur les points B , C et M?
