Devoir Maison - Mathématiques - 1ère spé
Problème N°1 :
On suppose que l’on dispose d’un test pour dépister une maladie m dans une population. On sait qu’une
personne sur 1000 souffre de cette maladie . Ce test est fiable au sens où il y a 95% de chances d’être positif
s’il est appliqué à une personne atteinte de la maladie m et n’a que 3% de chances d’être positif sinon.
On applique le test à un individu pris au hasard dans la population et on obtient un résultat positif.
L’objectif de ce problème est de déterminer la probabilité que l’individu soit atteint de la maladie m.
On note M l’événement “l’individu est atteint de la maladie m” et T l’événement “le test réagit positivement sur
l’individu”.
1/ Expliquer pourquoi l’objectif du problème est de déterminer .
𝑃 𝑇 ( 𝑀 )
2/ A quelles probabilités correspondent les nombres 1‰, 95%, 3% ? Expliquer.
3/ Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
4/ Calculer .
𝑃 ( 𝑇 )
5/ Ecrire à l’aide de et .
𝑃 ( 𝑇 ⋂ 𝑀 ) 𝑃 ( 𝑇 ) 𝑃 𝑇 ( 𝑀 )
6/ Écrire à l’aide de et .
𝑃 ( 𝑇 ⋂ 𝑀 ) 𝑃 ( 𝑀 ) 𝑃 𝑀 ( 𝑇 )
7/ A l’aide des questions /5 et /6, montrer que .
𝑃 𝑇 ( 𝑀 )= 𝑃 𝑀 ( 𝑇 )× 𝑃 ( 𝑀 )
𝑃 ( 𝑇 )
8/ Conclure le problème.
Problème N°2 : (facultatif)
On dispose de deux urnes contenant des boules indiscernables au toucher. La première urne contient 5
boules blanches, 2 boules noires et 3 boules rouges. La seconde contient 2 boules blanches, 4 boules noires
et 3 boules rouges. On prend au hasard une boule dans la première urne et on la place dans la seconde urne.
On prend ensuite une boule au hasard dans la seconde urne et on la met dans la première urne.
L’objectif de ce problème est de déterminer quelle est la probabilité pour que la composition de la première
urne n’ait pas changé.
On note les événements suivants :
- B
1 = “on pioche une boule blanche dans la première urne”
- B
2 = “on pioche une boule blanche dans la seconde urne”
- N
1 = “on pioche une boule noire dans la première urne”
- N
2 = “on pioche une boule noire dans la seconde urne”
- R
1 = “on pioche une boule blanche dans la première urne”
- R
2 = “on pioche une boule blanche dans la seconde urne”
- A = “la composition de la première urne n’a pas changé”
1/ Quels sont les systèmes complets d’événements ?
2/ Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré
3/ A chaque branche de l’arbre, associer une probabilité. Justifier les calculs.
4/ Justifier que .
𝐴 =( 𝐵 1 ⋂ 𝐵 2 ) ⋃( 𝑁 1 ⋂ 𝑁 2 ) ⋃( 𝑅 1 ⋂ 𝑅 2 )
5/ Calculer . On s’aidera de l’arbre pondéré.
𝑃 ( 𝐴 )
