[Baccalauréat C Toulouse juin 1974 \
EXER CIC E 1
On considère l’application fde l’ensemble Ndes entiers naturels vers l’ensemble
Z/7Zdéfinie par : f(n)=5n.
¡5ndésignant la classe d’équivalence de5n(mod 7)¢
1. Déterminer f(n) pour nappartenant à l’ensemble {0,1, 2,3, 4,5, 6}
2. Montrer que fest périodique et a pour période 6.
3. Déterminer f(n) suivant les valeurs de n.
4. En déduire, suivant les valeurs de n, le reste de la division par 7 du nombre
12192n.
EXER CIC E 2
Dans le plan complexe orienté, muni du repère ³O, −→
u,−→
v´orthonormé direct, on
considère la transformation Tqui, au point Md’affixe z, associe le point M′d’affixe
z′défini par :
z′=2(1−i)z+7
2i.
(zdésigne le complexe conjugué de z).
Démontrer que Test la composée d’une symétrie orthogonale et d’une homothétie
dont le centre ωappartient à l’axe ∆de la symétrie.
Déterminer ∆,ω, et le rapport de l’homothétie.
PROB LÈM E
À tout entier naturel n, on associe le polynôme Pndéfini par :
Pn(x)=1+x+x2
2! +x3
3! +...+xn
n!=
n
X
i=0
xi
i!
(On rappelle : 0! =1)
Soit fnla fonction définie par :
f0(x)=ex−1
fn(x)=ex−Pn(x)
1. Étudier et représenter graphiquement les fonctions f0et f1.
2. a. Montrer que la fonction Fndéfinie par : Fn(x)=fn(x)+fn(−x) est paire.
Montrer que la fonction Gndéfinie par : Gn(x)=fn(x)−fn(−x) est im-
paire.
b. Étudier et représenter graphiquement les fonctions F0et G0.
c. Démontrer que, quel que soit le réel positif λ, la restriction de F0à l’in-
tervalle [0 ; λ] est une bijection de [0 ; λ] sur [F0(0) : F0(λ)], et que la
restriction de G0à tout intervalle [a;b] est une bijection de [a;b] sur
[G0(a) ; G0(b)].
d. Démontrer que la fonction réciproque de la restriction de F0à l’intervalle
[0 ; +∞[ est définie sur [0 ; +∞[ par :
x7−→Log x+2+px2+4x
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