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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C 1975 Toulouse \
EXERCICE 1
Étudier les restes des quatre nombres : 2, 2
2 , 2
3 , 2
4 dans la division par 5, et démon-
trer que, quel que soit l’entier strictement.positif n , le nombre
4 n + 2
4 n − 1
EXERCICE 2
Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie sur R+ par :
f (0) = 0
f ( x ) = − 2 x Log x ∀ x ∈]0 ; 1[ (Log : logarithme népérien)
f ( x ) = − x e
x − 1
1. Étudier la continuité de f sur R+ 2. La fonction f est-elle dérivable sur R+? 3. Étudier la variation de la fonction f (on ne demande pas la construction de la
courbe représentative).
PROBLÈME
Partie A
Soit E l’ensemble des matrices carrées 2 × 2 à termes réels de la forme :
m =
a b
0 a
E est muni des lois addition et multiplication définies par : a. b) (a’ b’) ( a + a’
m + m
′
a b
0 a
a
′ b
′
0 a
′
a + a
′ b + b
′
0 a + a
′
m × m
′
a b
0 a
×
a
′ b
′
0 a
′
aa
′ ab
′
′ b
0 aa
′
C est l’ensemble des nombres complexes notés
z = a + b i, ( a ; b ) ∈ R
2
On considère l’application ϕ :
ϕ : C → E
a + b i 7 −→
a b
0 a
1. Démontrer que ϕ est un isomorphisme de (C, +) sur (E, +). L’application ϕ
est-elle un isomorphisme de (C, ×) sur (E, ×)?
2. Démontrer que (E, +, ×) est un anneau. Cet anneau est·il commutatif? Est-il
unitaire? Quels sont les éléments inversibles de cet anneau?
Terminale C A. P. M. E. P.
3. ϕ associe à z = a + b i la matrice m =
a b
0 a
à z
′ = a
′
′ i la matrice m
′
a ′^ b ′
0 a ′
On notera z T z ′^ le nombre complexe dont l’image par ϕ est m × m ′. On définit
ainsi une loi de composition interne dans C. Démontrer que ϕ est un isomor-
phisme de (C, +, T) sur (E, + , ×).
En déduire la structure de (C, +, T).
Quelle est la restriction de la loi T à R?
4. a. On note
z
(0) = 1, z
(1) = z , ∀ n ∈ N
⋆ , z
( n ) = z
( n −1) T z
Calculer i(2)^ et i( n )^ pour n > 2.
En posant z = a + b i, calculer z ( n ).
b. Résoudre, dans C, les équations
z
(2) = 1
z
( n ) = 1 n étant un entier naturel donné supérieur à 2
z ( n )^ = α , α étant un réel donné, n un entier naturel donné supérieur ou
égal à 2.
c. Résoudre, dans C, l’équation
z
(2) − z − 6 + 4i = 0
Partie B
1. Soit P un plan vectoriel de base
ı ,
. Soit F l’application linéaire de P vers
P dont la matrice dans la base
ı ,
est m =
a b
0 a
, ( a ; b ) ∈ R^2.
a. Dans quels cas F est-elle bijective?
b. Suivant les valeurs de a et b , quel est l’ensemble des vecteurs invariants
par F? (On notera ( X ; Y ) les coordonnées d’un vecteur
u , et
X
′ ; Y
′
celles de F
u
2. Soit Π un plan affine de repère
O,
ı ,
associé au plan vectoriel π. Soit f
l’application affine de Π vers Π ayant F pour application linéaire associée et
telle que le point O soit invariant.
a. Exprimer en fonction de coordonnées ( x ; y ) d’un point M les coordon-
nées
x ′^ ; y ′
de son image M ′^ = f ( M ).
b. Dans le cas particulier où a =
et b = 5, quelle est l’équation de la
courbe Γ
′ transformée de la courbe Γ d’équation y
2 = x?
Préciser sa nature et ses éléments.
c. Soit le point I 0 de coordonnées (4 ; −3) et les points I 1 , I 2 , ... , I n images
respectives par f des points I 0 , I 1 , ... ,I n − 1.
Déterminer les coordonnées des points I 1 , I 2 , ... , I n en fonction de a et
b.
Dans le cas particulier où a =
et b = 5, lorsque n augmente indéfini-
ment dans N, le point I n a-t-il une position limite?
Toulouse 2 septembre 1974
