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[ Baccalauréat C Reims juin 1974 \
EXERCICE 1
Soit f l’application de C, ensemble des nombres complexes, dans lui-même définie par :
f ( z ) = z^3 + (1 − 5i) z^2 − 2(5 + i) z + 8i
1. Calculer f (2i). En déduire que f ( z ) peut s’exprimer comme produit d’un po- lynôme de degré un par un polynôme de degré deux de la variable z. 2. Résoudre dans C l’équation f ( z ) = 0 (1). Calculer le module et l’argument de chacune des solutions. 3. On désignera par z 1 , z 2 , z 3 les racines de l’équation (1), z 2 étant la seule racine d’argument π 2
[2 π ]. Établir que ( z 1 , z 2 , z 3 ) et ( z 3 , z 2 , z 1 ) sont des suites géométriques dont on dé- terminera la raison.
EXERCICE 2
On considère la fonction numérique de la variable réelle x :
x 7 −→ f ( x ) = sin x Log (cos x )
1. Étudier les variations de cette fonction lorsque x décrit le segment
[
π 4
]
; on aura à utiliser le signe de Log (cos x ).
2. Calculer ∫ π 4
0
sin x Log (cos x ) d x
(On pourra utiliser une intégration par parties). En déduire, dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé d’axes x ′O x , y ′O y , l’aire de la partie de ce plan comprise entre l’axe x ′O x , les droites d’équations x = 0 et x = π 4 et la courbe représentative de la fonction f.
PROBLÈME
Partie A
Il est rappelé que l’ensemble M 2 × 2 des matrices carrées d’ordre deux à coefficients réels est un espace vectoriel sur R et que ce même ensemble muni de l’addition et de la multiplication des matrices est un anneau unitaire, la matrice unité étant
I =
On donne la matrice A =
Soit E l’ensemble des matrices M de la forme M = a A + b I où a et b sont des nombres réels arbitraires.
1. a. Établir que E est un espace vectoriel sur R de dimension deux.
Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.
b. Démontrer la relation : A^2 − 2 A + I = 0 où 0 désigne la matrice nulle. En déduire que E est une partie stable de M 2 × 2 pour la multiplication et que E est muni d’une structure d’anneau commutatif unitaire. Établir que A est une matrice inversible et que la matrice inverse A −^1 appartient à E. Toute matrice M est-elle inversible?
2. a. Résoudre dans E l’équation de la variable M : M^2 = M. b. Établir que si M n’est pas inversible, M^ 2 = 0.
3. a. On pose A^0 = I, A^1 = A et pour tout n entier, n > 2, An^ = An −^1 × A.
Calculer A^2 , A^3 , A^4 en fonction de A et de I. b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,
An^ = an A + bn I
où an et bn sont deux entiers relatifs que l’on déterminera. c. À l’entier naturel non nul n on associe la matrice
Bn =
i ∑= n
i = 1
Ai^ = A + A^2 + ... + A ı^ + ... + An
Donner en fonction de n , les coordonnées de Bn dans la base ( A , I) de E.
Partie A
Soit P un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée B =
ı ,
On considère la matrice A =
et l’on désigne par fa , b l’endomorphisme de
P de matrice M = a A + b I dans la base B.
1. a. Comment faut-il choisir a et b pour que fa , b ne soit pas bijective? b. Démontrer que toutes les applications fa , b non bijectives, distinctes de f 0, 0 admettent le même noyau K et le même ensemble image Im. Déter- miner K et Im ; que remarque-t-on pour ces deux ensembles? 2. Soit
u =
ı +
et
v =
ı −
deux vecteurs de P. a. Montrer que
u ,
v
est une base de P. b. On considère l’application f 1 8 ,^ −^18
. Déterminer la matrice de cette appli- cation linéaire dans la base B′^ =
u ,
v
c. Soit s et p les endomorphismes de P suivants : s est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à la droite D de base
ı ; p est la projection vec- torielle sur la droite D ′^ de base
v dans la direction de la droite D ′′^ de base
u. Établir que : f (^18) , − 18 = p ◦ s. (◦ désignant la loi de composition des applications).
Reims 2 juin 1974
