Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Orléans-Tours septembre 1975 \
EXER CIC E 1
Calculer les racines de l’équation
z8+z4+1=0, z∈C
1. En résolvant le système
½z4=u
u2+u+1=0
2. En décomposant le polynôme z8+z4+1 en un produit de facteurs de degré 2
à coefficients réels (on remarquera que le polynôme x4+x2+1 est le produit
de deux polynômes du second degré à coefficients réels).
EXER CIC E 2
1. Étudier et représenter graphiquement dans le plan rapporté à un repère or-
thonormé la fonction : f(x)=cos5x,xappartenant à l’intervalle [−π;π].
2. Calculer l’aire arithmétique de l’ensemble des points du plansitués entre l’axe
des abscisses, la courbe (C) représentant la fonction fet les droites d’équa-
tions respectives x=0 et x=π.
N. B. :On choisira comme unité sur les axes : 1 cm.
PROB LÈM E
Soit πun plan affine, rapporté à un repère ³Ω,−→
ı,−→
´; on note fαl’application de π
dans πdéfinie analytiquement par
½x′=x+α
y′=2+y+α2−4α,α∈R;
et on note Al’ensemble des applications fαquand αdécrit R.
1. a. Montrer que fαest une application affine bijective,
b. Montrer que la loi de composition des applications est une loi de com-
position interne définie dans A.
c. En étudiant l’application ϕ:R→A
α7−→ fα, montrer que (R,+) est iso-
morphe à (A,◦). En déduire la structure de (A,◦)et les définitions ana-
lytiques de ¡fα¢−1,fα◦fα.
2. Soit Pla parabole d’équation y=x2−4xdans ³Ω,−→
ı,−→
´.
a. Montrer que si Mappartient à Pil en est de même de fα(M).
b. Montrer que Pest globalement invariante par fαc’est-à-dire que
P=fα(P).
3. On note Mxle point de Pqui a pour abscisse xet Txla tangente à Pen Mx.
a. Quelle est l’équation de T0,Tαdans ³Ω,−→
ı,−→
´?
