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Typologie: Exercices
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__
__
A
B
C
P
Q
R
S
Om
-6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4
2
3
4
5
6
0 1
1
x
y
A
B
C
P
Q
R
S
Om
Correction de l ’e xercice 1
Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé ( )
O u v, ,
, d’unité graphique 1cm, on place les points A, B, C, P d’affixes respectives
z A =
3
2
3
2
− 6 i , z C =-3−
1
4
i , z P = 3 + 2 i :
(a) Déterminons l’affixe z Q du point Q, image du point B par la translation t de vecteur Å w d’affixe z
w Å
=- 1 +
5
2
i :
t a pour écriture complexe z ′= z + z
Å w
donc z Q = z B
Å w
=
3
2
− 6 i + ( )
5
2
i =
1
2
−
7
2
i.
(b) Déterminons l’affixe z R du point R, image du point P par homothétie h de centre C et de rapport -
1
3
:
h a pour écriture complexe z ′− z C = -
1
3
×( z − z ) C donc z R − z C =-
1
3
×( z ) P − z C donc z R =-
1
3
×
3 + 2 i − ( )
1
4
i + ( )
1
4
i =-
1
3 ( )
6 +
9
4
i − 3 −
1
4
i
donc zR =- 2 −
3
4
i − 3 −
1
4
i = - 5 − i.
(c) Déterminons l’affixe z S du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d’angle –
π
2
:
r a pour écriture complexe z ′− z A = e
π
2 ( z − z ) A donc z S − z A = e
π
2 ( z ) P − z A donc z S =- i
3 + 2 i −
( )
3
2
3
2
( )
3
2
− 4 i +
3
2
donc z S =- i ×
3
2
2
3
2
5
2
9
2
i.
(d) Plaçons les points P , Q , R et S :
D’après les affixes des points P , Q , R et S , on déduit que
P (3;2), Q
( )
1
2
;-
7
2
, R (- 5 ;-1) et S
( )
5
2
;
9
2
(a) Démontrons que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme :
Calculons z Ä QR
et z Ä PS
:
z Ä QR
= z R − z Q =- 5 − i −
( )
1
2
−
7
2
i =-
11
2
5
2
i
z Ä PS
= z S − z P =-
5
2
9
2
i −(3+ 2 i ) =-
11
2
5
2
i
Donc z Ä QR
= z Ä PS
donc
Ä QR =
Ä PS donc PQRS est un parallélogramme.
(b) Calculons
z R − z Q
z P − z Q
:
z R − z Q
z P − z Q
=
11
2
5
2
i
3 + 2 i − ( )
1
2
−
7
2
i
=
11
2
5
2
i
5
2
11
2
i
=
5 + 11 i
= i ×
5 + 11 i
5 + 11 i
= i
Donc
| |
z R − z Q
z P − z Q
=
| z | R − z Q
| z | P − z Q
= | | i =1 donc
QR
QP
=1 donc QR = QP (*)
et arg
( )
z R − z Q
z P − z Q
= arg ( i ) =
π
2
Ä QP ;
Ä QR =
π
2
(2π) (**)
Grâce à () et (*) on peut en déduire que le parallélogramme PQRS est un carré.
(c) Montrons que les points P, Q, R, S appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon :
PQRS étant un carré, son centre que l’on note Ω est le milieu de ses diagonales et celles-ci sont de même longueur soit Ω P = Ω R = Ω Q = Ω S.
Par conséquent les points P , Q , R et S appartiennent au même cercle de centre Ω et de rayon ρ= Ω P = Ω R = Ω Q = Ω S.
Déterminons l’affixe de son centre ainsi que son rayon : Ω est le milieu [ PR ] donc z Ω =
z P
2
=
3 + 2 i − 5 − i
2
= - 1 +
1
2
i.
Et ρ= Ω P = | | z P − z Ω =
3 + 2 i −
( )
1
2
i =
| |
4 +
3
2
i = 4
2
( )
3
2
2
=
73
4
=
73
2
__
( )
+2 ( e ′− d ) =( )
− 2 − 2 i =( )
− 2 − i
− i
− 4 − 2 i = - 1 − i ( )
e − d =( 1 − i )
−(2+ 2 i )= 1 − i
− 2 − 2 i = - 1 − i ( )
Donc e − d =( )
+2 ( e ′− d )
Donc z Ä DE
=( )
( )
z Ä DE ′
donc
DE =( )
DE ′ donc les vecteurs
DE et
DE ′ sont
colinéaires, d’où les points E , D et E ′ sont alignés.
E ′ et D ′ sont les images de E et D par r donc ( )
π
(2π).
Donc ( DE )┴( D ′ E ′). Or, E , D et E ′ sont alignés donc ( EE ′)┴( D ′ E ′) donc le triangle EE ′ D ′
est rectangle en E ′.
A B
A'
D
O
E
F
E'
D'
0 1
1
x
A B
A'
D
O
E
F
E'
D'
