Serie Nombres Complexes LPS | Exercices Mathématiques

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EXERCICE 1 :

On donne les nombres complexes :

Montrer que est réel et est imaginaire pur .

EXERCICE 2 :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

. Déterminer et construire:

1) L’ensemble E des points M(z) tels que

2) L’ensemble F des points M(z) tels que

3) L’ensemble G des points M(z) tels que

4) L’ensemble H des points M(z) tels que

5) L’ensemble C des points M(z) tels que

EXERCICE 3 :

1) On donne le nombre complexe

a/ calculer et donner sa forme trigonométrique.

b/En déduire la forme trigonométrique de Z.

2) On considère le nombre complexe

a/ Calculer et donner son écriture sous forme trigonométrique .

b/En déduire la forme trigonométrique de et les valeurs de

EXERCICE 4:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

 

O,u,v

On considère les points A, M et

M

d’affixes respectives :

1 , z et z

1/ a- Montrer que les points A, M et

M

sont alignés si et seulement si

b- Déterminer l’ensemble

   

 

E M z P / A,M et M sont alignés





2/ a- Résoudre dans l’équation :

z1

b- Soit N le point d’affixe

 

z z 2  

Déterminer les nombres complexes z pour que le quadrilatère

AMNM

soit un parallélogramme.

EXERCICE 5:

1) Montrer que pour tous réels on a :

2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

a) Donner la forme trigonométrique de

b) Déterminer les ensembles décrits par .

EXERCICE 6:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

1) On considère les nombres complexes et . Montrer que

2) Soient A et B deux points distincts de O et d’affixes respectifs a et b.

a/Calculer en fonction de a et b l’affixe z du barycentre G des points pondérés

b/Montrer que

est un réel strictement positif.

c/ Exprimer arg(z) en fonction de arg(a) et arg(b) .En déduire que

est un vecteur directeur de la

bissectrice de l’angle

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EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES – 4M

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EXERCICE 1 :

On donne les nombres complexes :

Montrer que est réel et est imaginaire pur.

EXERCICE 2 :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. Déterminer et construire:

1) L’ensemble E des points M(z) tels que.

2) L’ensemble F des points M(z) tels que.

3) L’ensemble G des points M(z) tels que.

4) L’ensemble H des points M(z) tels que.

5) L’ensemble C des points M(z) tels que

EXERCICE 3 :

1) On donne le nombre complexe

a/ calculer et donner sa forme trigonométrique.

b/En déduire la forme trigonométrique de Z.

2) On considère le nombre complexe

a/ Calculer et donner son écriture sous forme trigonométrique.

b/En déduire la forme trigonométrique de et les valeurs de.

EXERCICE 4:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, u, v

On considère les points A, M et M d’affixes respectives :

1 , z et z.

1/ a- Montrer que les points A, M et M sont alignés si et seulement si

b- Déterminer l’ensemble^ E ^   M z  P / A, M et M sont alignés 

2/ a- Résoudre dans l’équation :

z  1.

b- Soit N le point d’affixe ^ 

z   z  2

Déterminer les nombres complexes z pour que le quadrilatère AMNMsoit un parallélogramme.

EXERCICE 5:

1) Montrer que pour tous réels on a :

2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

a) Donner la forme trigonométrique de

b) Déterminer les ensembles décrits par.

EXERCICE 6:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

1) On considère les nombres complexes et. Montrer que

2) Soient A et B deux points distincts de O et d’affixes respectifs a et b.

a/Calculer en fonction de a et b l’affixe z du barycentre G des points pondérés

b/Montrer que est un réel strictement positif.

c/ Exprimer arg (z) en fonction de arg( a ) et arg( b ) .En déduire que est un vecteur directeur de la

bissectrice de l’angle.

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EXERCICE 7: (B2001)

Dans le point complexe P rapporté à un repère orthonormé (o,u,v)on considère les points A et B d’affixes

respectives a et 1 où a est un nombre complexe donné différent de 1.

Soit f l’application de P\ B dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M'd’affixe :

z 1

z a z'



Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’équation( ): 2 0

2 E z  z  a 

2) a) On suppose que

  

a 1 e où

. Résoudre l’équation E.

b) Mettre sous forme trigonométrique chacune des solutions de E.

Dans cette question on suppose que a  1 .Soit M un point de (^) P\ B d’affixe z et M'le point d’affixe z '

a) Montrer que    

 

(u,BM) (u,BM') 0 2 En déduire que BA est une bissectrice de l’angle (BM,BM').

b) Montrer que z'est imaginaire pur si et seulement si z  1.

c) En déduire la construction du point M'image d’un point M du cercle trigonométrique privé du point B.

EXERCICE 8:

1) a) Résoudre dans , l’équation d’inconnue z suivante :z 2 iz 2 0

2   

b) Mettre les solutions sous forme trigonométrique.

Soit  0 ,, on considère l’équation d’inconnue z complexe : (E)z 2 e z e 1 0

2 i 2 i      

 

Résoudre l’équation (E).

3) Dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d’affixes

respectives :

  

i 1

z 2 e ;

  

i 2

z 1 e et

   

i 3

z 1 e.

a) Ecrire

z et

z sous forme exponentielle.

b) Montrer que le quadrilatère OBAC est un rectangle.

c) Déterminer le réel de  0 ,tel que OBAC soit un carré.

EXERCICE 9:

Soit m un réel non nul.

1) Résoudre dans l’équation :z 2 iz ( 1 m ) 0

2 2

2) Pour tout nombre complexe z, on pose : f (z) z 3 iz ( 3 m)z i( 1 m )

3 2 2 2

a) Vérifier que f (i) 0 ; en déduire une factorisation de f(z).

b) Résoudre dans l’équation f (z) 0.

3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v).

On considère les points A, M'et M"d’affixes respectives i, i m et i m.

a) Vérifier que A est le milieu du segment M 'M".

b) Montrer que le triangle OM'M"est isocèle.

c) Déterminer les valeurs de m pour que le triangle OM'M"soit équilatéral.

EXERCICE 10:

1) a) Vérifier que( 3 3 i) 6 6 3 i

b) Résoudre dans  l’équation :z ( 3 i)z 2 2 3 i 0

2     

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EXERCICE 1 :

On donne les nombres complexes :

Montrer que est réel et est imaginaire pur.

EXERCICE 2 :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. Déterminer et construire:

1) L’ensemble E des points M(z) tels que.

2) L’ensemble F des points M(z) tels que.

3) L’ensemble G des points M(z) tels que.

4) L’ensemble H des points M(z) tels que.

5) L’ensemble C des points M(z) tels que

EXERCICE 3 :

1) On donne le nombre complexe

a/ calculer et donner sa forme trigonométrique.

b/En déduire la forme trigonométrique de Z.

2) On considère le nombre complexe

a/ Calculer et donner son écriture sous forme trigonométrique.

b/En déduire la forme trigonométrique de et les valeurs de.

EXERCICE 4:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, u, v

On considère les points A, M et M d’affixes respectives :

1 , z et z.

1/ a- Montrer que les points A, M et M sont alignés si et seulement si

b- Déterminer l’ensemble^ E ^   M z  P / A, M et M sont alignés 

2/ a- Résoudre dans l’équation :

z  1.

b- Soit N le point d’affixe ^ 

z   z  2

Déterminer les nombres complexes z pour que le quadrilatère AMNMsoit un parallélogramme.

EXERCICE 5:

1) Montrer que pour tous réels on a :

2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

a) Donner la forme trigonométrique de

b) Déterminer les ensembles décrits par.

EXERCICE 6:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

1) On considère les nombres complexes et. Montrer que

2) Soient A et B deux points distincts de O et d’affixes respectifs a et b.

a/Calculer en fonction de a et b l’affixe z du barycentre G des points pondérés

b/Montrer que est un réel strictement positif.

c/ Exprimer arg (z) en fonction de arg( a ) et arg( b ) .En déduire que est un vecteur directeur de la

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EXERCICE 7: (B2001)

Dans le point complexe P rapporté à un repère orthonormé (o,u,v)on considère les points A et B d’affixes

respectives a et 1 où a est un nombre complexe donné différent de 1.

2) a) On suppose que

a 1 e où

. Résoudre l’équation E.

b) Mettre sous forme trigonométrique chacune des solutions de E.

b) Montrer que z'est imaginaire pur si et seulement si z  1.

c) En déduire la construction du point M'image d’un point M du cercle trigonométrique privé du point B.

EXERCICE 8:

1) a) Résoudre dans , l’équation d’inconnue z suivante :z 2 iz 2 0

b) Mettre les solutions sous forme trigonométrique.

Résoudre l’équation (E).

3) Dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d’affixes

respectives :

z 2 e ;

z 1 e et

z 1 e.

a) Ecrire

z et

z sous forme exponentielle.

b) Montrer que le quadrilatère OBAC est un rectangle.

EXERCICE 9:

Soit m un réel non nul.

1) Résoudre dans l’équation :z 2 iz ( 1 m ) 0

2) Pour tout nombre complexe z, on pose : f (z) z 3 iz ( 3 m)z i( 1 m )

a) Vérifier que f (i) 0 ; en déduire une factorisation de f(z).

b) Résoudre dans l’équation f (z) 0.

3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v).

On considère les points A, M'et M"d’affixes respectives i, i m et i m.

b) Montrer que le triangle OM'M"est isocèle.