Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Aix en Provence septembre 1969 \
EXER CIC E 1
Étudier les restes de la division par 7 des nombres
2net 3n(n∈N).
et résoudre alors l’équation
2x+3x≡0 (mod7),
où xest un entier positif eL où le symbole ≡désigne une relation de congruence.
EXER CIC E 2
On considère la fonction fdéfinie pour xréel par
f(x)=e−x(x+a),
où aest une constante réelle, dont on calculera la valeur, sachant que f′(−1) =0.
1. Variation et représentation graphique de la fonction fdans le plan rapporté à
un repère orthonormé (Ox, Oy).
2. Calculer Aet Bpour que (A x +B)e−xsoit une primitive de f.
Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe, l’axe Oxet les
parallèles à Oyd’abscisses −2 et −1.
EXER CIC E 3
Le mouvement d’un point Mest rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy). Les
coordonnées, xet y, de Msont exprimées en fonction du temps tpar
x=tg2t−1 et y=2tg t t ∈i−
π
2;+
π
2h.
1. Déterminer analytiquement la trajectoire. La construire dans le repère donné.
Préciser ses éléments géométriques.
2. Soit −−−→
MV le vecteur vitesse à la date t. Calculer en fonction de tle module
et l’argument de chacun des nombres complexes zet Zayant pour images
respectives les vecteurs −−−→
OMet −−−→
MV .
3. Calculer le nombre complexe Z′dont l’image est le vecteur −−−→
MN transformé
de −−−→
MV par la similitude directe de centre M, de rapport k=cos2tet d’angle
α= −
π
2.
En déduire les coordonnées de Nen fonction de t. Étudier l’ensemble des
points Nquand tvarie. Expliquer géométriquement le résultat obtenu.
4. Métant la position du mobile à la date t³−
π
2<t<0´et M1sa position à la
date t1=t+
π
2, montrer que M, O et M1sont. alignés et que les vecteurs −−−→
MV
eL −−−−→
M1V1(vecteurs vitesse aux daLes tet t1) ont des supports perpendicu-
laires.
Quel est, quand tvarie, l’ensemble des points R, conjugués harmoniques de
O par rapport à Met M1?
