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Correction : Fiche de révisions n°7 – Exponentielle
Exercice 1 :
Simplifier les expressions suivantes :
^
3 3 3 3 9 3 2 2 (^3) 1 2 3 3 2
e e e A e e
e e e
3 3 3 (^4 2 4 2 4 6 ) 2 2 2 4 4 2 2 2
e e e e e e (^) e B e
e e e^ e
(^)
Attention! Beaucoup oublient d’élever le (–2) à la puissance 3 et le 3 à la puissance 2…
(^2 2 ) 2
2 2 2 2 6
2 3 6 6
x x x (^) x x x x x x
x x^ x
e e (^) e e e C e
e e^ e
(^)
Exercice 2 :
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a).
5 x 3 4 x 2 x 1 e e e
Domaine :
x x e e x x x x
S
b).
x^2^4 x 22 e e
Domaine :
(^2 4 2 4 2 ) 4 2 4 2 8 0
x x e e x x x x
4 32 36 0
x ou x
S 2 ; 4
c).
x^2^5 x 4 2
e e
Domaine :
(^2 10 8 2 ) 10 8 10 8 0
x x e e x x x x
100 32 68 0
x ou x
S 5 17 ; 5 17
d).
2
2
10 8 5
x x x x
e e
e
0
x e sur donc
2 0
x e sur Domaine :
(^2 8 5 210 2 2 ) 8 5 10 2 7 15 0
x x x x e e x x x x x x
49 120 169 0
x ou x
S
e).
(^2 )
3
x x x e e
Domaine : \ 0
2 1 2 2 2 1 3 1 3 1 3 3 1 3
x x x x x x x x x x x
S
f).
(^2 6 ) 1
x x e e
^ Domaine : 2 2 6 8 6 8 0 2 1 6 8 0
x x x x e e e x x
36 32 4 0
x ou x
S^ ^ 4 ;^ ^2
g).
5 x 2 e e
(^) Domaine :
x e e x x
S
h).
3 2 2 1 3
x e
Domaine :
x x x e e e e x x
S
i).
4 5 3 7 6
x e
Domaine :
x x e e
Pas de solution car 0
x e sur donc
4 5 0
x e
sur S
j).
3 5 0
x x e e e
Domaine :
3 0 5 0
x x e e ou e
3
1 3
car 0 0
x x
x x
Pas de solution e sur donc e sur
e e ou e
x 1
x 1 S (^) (^1)
k).
x 2 1 x
e e
0
x e sur Domaine :
2 2 2 0
x x e e x x
toujours vraie S
l).
2 1
x x e
Domaine : 2 2 0 2 1 0
x x x x e e e x x
On résout : ^
2 x x 0 x x 1 0 x 0 ou x 1 0 x 0 ou x 1
x (^01) S ; 0 (^) 1 2 x x^ –^0 +^0 –
m).
x 3 1 e e
Domaine :
3 1 3 1 4
x e e x x
S^ ;^ ^4
n).
4 2 5 1
x x e e
x x Domaine :
\
4 2 5 1 4 4 4 2 5 3 9 1 1 0 0 0 2 5 2 5 2 5 2 5
x x
x x x x x e e x x x x
^ ^ ^ ^ ^
x – 5 2 3 +
S
3 x 9 –^ –^0 +
2 x 5 – 0 + +
Quotient + – 0 +
o).
7 2 3
x e
Domaine :
Toujours vrai car 0
x e sur donc
7 2 0
x e
sur S
p).
4 3 5 12
x e
Domaine :
x x e e
Pas de solution car 0
x e sur donc
4 0
x e
sur S
e).
3 1 4
u
x
e
f x e
D (^) f \ 1
3 1 2
'
(^1) u
x
e
u
f x e
x
f).
1 2 3
u
x x
e
f x e
x x
\
D (^) f
1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2
'
(^2 3) u 2 3 2 3
x x x x x x
e
u
x x (^) x x f x e e e
x x x
g).
3 7 2 5
x x
u v
f x x e e D (^) f
(^)
3 3 7 3 7
' (^) '
x x x x x
u v u (^) v
f x e x e e x e e
h).
2
2
x
x
e f x e
x e sur donc
2 0
x e sur donc
2 4 1 0
x e sur D (^) f
2
' '
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
5 2 4 1 5 1 4 2 10 4^1 8 5^1
u v^ u v
x x x x x^ x^ x
x x
v
e e e e^ e^ e^ e f x
e e
^ ^ ^
(^2 2 2 )
2 2 2 2
x x x (^) x
x x
e e e (^) e
e e
Exercice 2 : Etude de fonctions
Etudier les variations des fonctions définies de la manière suivante puis dresser leur tableau de variations :
a). 2 3
x f x x e D (^) f
La fonction f est dérivable sur en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
' (^) 2 2 3 (^) 2 5
x x x f x e x e x e
x e sur donc f ' x est du signe de 2 x 5
x
f ' x – 0 +
f^5 2 2 e
La fonction f est décroissante sur (^) ; 5 2et croissante sur (^) 5 2 ; .
b).
x
x f x e
x e sur ainsi : Df
La fonction f est dérivable sur en tant que somme et quotient de fonctions dérivables.
2 2
x x x
x x x
e x e x e (^) x f x
e e e
x e sur donc f ' x est du signe de x 1
x 1
f ' x + 0 –
f e
La fonction f est croissante sur (^) ; (^1) et décroissante sur (^) 1; .
