M. IBGUI
1 S Pour le 29 septembre 2005
DEVOIR MAISON N°2
Exercice 1
f
C
et
g
C
désignent les représentations graphiques des polynôme
f
et
g
définies par
32
3f x x x x
et
32
3 2 9g x x x x
.
1. Repasser en vert
f
C
. Justifier !
2. En s'aidant de
f
C
et
g
C
, déterminer une racine entière du
polynôme
h
défini par
h x f x g x
. Justifier.
3. Factoriser alors
hx
puis en déduire les solutions de l'équation
f x g x
. Interpréter graphiquement votre résultat.
4. Déterminer la position relative des courbes
f
C
et
g
C
.
Exercice 2
Soit
f
le polynôme du troisième degré tel que
11f
,
24f
,
39f
et
4 28f
.
On pose
2
g x f x x
.
1. Démontrer que pour tout réel
x
,
1 2 3g x k x x x
où
k
est une constante réelle.
2. Calculer
4g
et en déduire la valeur de
k
.
3. Déterminer la forme réduite de
fx
.
Exercice 3 Facultatif : pour les chébrans ou encore pour ceux qui envisagent une Tle spé math
1. Déterminer le polynôme
P
de degré
3
tel que,
pour tout réel x ,
11P x P x x x
et
00P
.
2.a. On note pour tout entier naturel
n
non nul,
1 2 2 3 3 4 1 1
n
S n n n n
.
Montrer que
12
3
n
n n n
S
.
2.b. Calculer
1 2 2 3 3 4 49 50 50 51
.
3.a. Que vaut la somme
' 1 2 3 1
n
S n n
3.b. *En déduire en utilisant 2.a. et 3.a que la somme
''
n
S
des carrés des
n
premiers entiers naturels non nuls est
donnée par la formule
1 2 1
6
n n n
.
3.c. Calculer
2 2 2 2 2
1 2 3 49 50
.
-6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-4
4
8
12
O 1
1