M. IBGUI
1 S pour le jeudi 25 janvier 2006
DEVOIR MAISON N°8
Exercice 1
Pour la fabrication d'un livre, on doit respecter sur chaque page des marges
de
2
cm à droite et à gauche,
3
cm en bas et en haut.
Soit
x
et
y
les dimensions de la page.
1. Exprimer en fonction de
x
et
y
, l'aire de la partie disponible pour l'impression.
2. On désire que l'aire de la partie disponible pour l'impression soit de
600
2
cm
.
Déterminer
y
en fonction de
x
pour qu'il en soit ainsi.
3. Montrer alors que l'aire
()Sx
de la page est
296
64
xx
Sx x
.
4. Déterminer les dimensions de la page pour que la consommation
de papier soit minimale.
Exercice 2 : Le cornet de frites (pour vendredi 3 février)
Un marchand de frites confectionne ses cornets de frites de la manière suivante : il découpe un disque de papier de
rayon
R
qu'il entaille selon un rayon ; il enroule ensuite le papier sur lui même pour former un cône en recouvrant
un secteur angulaire. Amateur de mathématiques, il se demande comment confectionner
un cône de volume maximal.
On modélise le problème de la manière suivante :
Le réel
est la mesure en radians de l'angle de recouvrement,
h
la hauteur du cône et
r
le rayon de la base du cône.
On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule
2
3
rh
V
.
1. Exprimer
2
r
en fonction de
2
R
et
2
h
, puis le volume
V
du cône en fonction de
h
.
2. Soit
V
la fonction définie par
22
3
R h h
Vh
.
2.a. Justifier que
V
est définie sur
0;R
.
2.b. Dresser le tableau de variation de
V
.
2.c. En déduire la valeur de
h
pour laquelle le volume du cône est maximal.
Quel est le volume correspondant ?
3.a. Montrer que
21
r
R
.
3.b. En déduire que le volume de cornet de frites est maximal lorsque le marchand
doit recouvrir un secteur angulaire de
2
21 3
radians.
3.c. Fabriquer un cornet à frites de volume maximal.
2cm
3cm
y
x
O
A
B
R
O'
O
A
B
hR
r
a:2.33