Télécharge Exercices sur l'Agrégation - Solutions et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement!
Solutions
Agr´egation 1 sur 9
Exercice 1
Le calcul des d´eriv´ees
x′^ =
u^2 − 1 2 u^2
, y′^ =
−2(u − 1) u^2 permet de dresser le tableau suivant :
u −∞ − 1 0 +1 −∞ x −∞ ↗ − 1 ↘ −∞ ‖ +∞ ↘ 1 ↗ +∞ y 0 ↘ − 3 ↘ −∞ ‖ −∞ ↗ 1 ↘ 0 Pour u = 1, x passe par un minimum et y passe par un maximum ; le point A(1, 1) est un point de rebroussement pour la courbe Γ. Le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque est m = − (^) u(−u+1)^4 et, par suite, la tangente en A a pour coefficient directeur la valeur limite de m pour u tendant vers 1, c’est-a-dire −2. D’autre par dmdu = (^) u4(2 (^2) (uu+1)+1) 2 n’est pas nul pour u = 1, c’est donc que A est un point de rebroussement de premiere esp`ece.
M
P
A
I (-0) (+0)
(1)
(+ ∞)
(- ∞) 1
1
Contrˆolons ce r´esultat en ´etudiant la disposition de Γ par rapport `a la
Solutions
Agr´egation 2 sur 9
tangente de rebroussement : celle-ci a pour ´equation
Y + 2X − 3 = 0
i P et M sont deux points de mˆeme abscisse, le premier sur la tangente en A et le second sur Γ
P M = y − (− 2 x + 3) ou y + 2x − 3 =
(u − 1)^2 u^2
P M change de signe quand u passe par la valeur 1. Le point I obtenu pour u = − 12 , valeur annulant dmdu , est un point d’in- flexion. Les branches infinies de Γ s’obtiennent imm´ediatement en d´ecomposant les fractions rationnelles x et y en ´el´ements simples
x =
2 u
u 2
y = −
u^2
u L’axe Ox est asymptote (cas u → ∞). La direction asymptotique Oy (cas u → 0) est celle d’une branche parabolique. En posant
x 1 =
2 u y 1 = −
u^2
u
on obtient un point M 1 qui d´ecrit une parabole P 1 (y 1 = − 4 x^21 + 4x 1 ) asymptote `a Γ : M 1 M a pour coordonn´ees
( (^) u 2 ,^0
et a pour limite (0, 0) quand u tend vers 0. Appelons N le point de P 1 qui a mˆeme abscisse x que M : l’ordonn´ee de ce point est − 4 x^2 + 4x o`u x =
u^2 + 1 2 u si bien que N M =
2 u + 1 u^2
(u^2 + 1)^2 u^2
2(u^2 + 1) u N M = 2 − 2 u − u^2 et le vecteur
N M ne tens pas vers 0. La parabole P 1 n’st donc pas la meilleure approximation pour la branche infinie parabolique de Γ. En prenant la parabole P 2
y 2 = − 4 x^2 + 4x + 2,
deux pointts M et M 2 sur Γ et P 2 , ayant mˆeme abscisse, sont tels que M 2 M = − 2 u + u^2 tende vers O ; c’est une parabole asymptote de Γ.
Exercice 2
La courbe C est appel´ee courbe orthoptique relative a Γ, c’est-a-dire courbe lieu des points d’o`u l’on voit Γ sous un angle droit.
Solutions
Agr´egation 4 sur 9
La courbe orthoptique C est donc la parabole repr´esent´ee par l’´equation x = y^2 + 1. pour tracer C sur la mˆeme figure que Γ, il importe d’´etudier d’abord l’intersection de ces deux courbes ; l’´equation qui donne les abscisses des points communs est
4 x^3 − 27 x + 27 = 0
x −
(x + 3) = 0
La racine double 32 correspond a un double contact entre les courbes C et Γ aux points A et B d’abscisse 32 et d’ordonn´ees ± √^12. La racine − 3 peut s’interpr´eter en se pla¸cant dans le plan C^2 ; elle corresponda deux points imaginaires conjugu´es qui sont ±i ; ces points sont ceux de Γ ou la tangente est perpendiculairea elle-mˆeme. Du point A, on peut mener a Γ deux tangentes confondues suivant la tan- gentea Γ et une autres tangente dont le point de contact est un point H. Puisque A est sur la courbe orthoptique C, c’est que AH est la normale en A a Γ ; la droite AH est tangente en Ha Γ et normale en A `a Γ.
Exercice 3
Soit y = achx l’´equation de la chaˆınette Γ. Prenons pour origine sur Γ le point dont l’abscisse est 0, et orientons Γ dans le sens des x croissants ; ´evaluons l’abscisse curviligne s = arc AM du point M d’abscisse x.
dy = sh x a
dx d’o`u ds^2 = dx^2 + sh^2 x a
dx^2 = ch^2 x a
dx^2
Puisque (^) dxdy doit ˆetre positif,
ds = ch
x a
dx d’o`u s =
∫ (^) x
0
x a
dx = ash
x a
Soit r = a(1 + cos θ) l’´equation de la cardo¨ıde Γ ; orientons cette courbe dans le sens des θ croissants. En faisant varier θ de −π `a + : pi, nous obtenons toute la courbe. Formons
dr = −a sin θdθ, ds^2 = dr^2 + r^2 dθ^2 = 3a^2 cos^2 θ 2
dθ^2
et, puisque dans l’intervalle consid´er´e cos θ 2 reste positif, en supposant a positif, on a ds = 2a cos
θ 2
dθ.
Si nous prenons pour origine sur Γ le point dont l’angle polaire est 0, l’abscisse curviligne du point M (θ, r) est
s =
∫ (^) θ
0
2 a cos
θ 2
= 4a sin
θ 2
(−π ≤ θ ≤ +π)
La longueur totale de la cardo¨ıde est donc 8a.
Solutions
Agr´egation 5 sur 9
Exercice 4
On reprend les calculs de la seconde partie de l’exercice 3. Si ψ est l’angle de OX (d´efini par son angle polaire θ) avec la tangente orient´ee, cos ψ =
dr ds
= − sin
θ 2
, sin ψ = r
dθ ds
= cos
θ 2
d’ou ψ = π 2 + θ 2a 2kπ pr`es. La tangente orient´ee a pour angle polaire φ = θ + ψ φ =
π 2
3 θ 2
mod 2π d’o`u dφ =
dθ
Donc le rayon de courbure R est
R =
dφ ds
4 a 3
cos θ 2
Les composantes scalaires du vecteur M I (qui joint le point M (θ) au centre de courbure I) sur les axes OX et OY qui ont θ et θ + π 2 pour angles polaires sont
−rdθ dφ
2 r 3
et
dr dφ
− 2 a sin θ 3
Les coordonn´ees de I dans le repere XOY , puis dans le repere xOy, sont successivement par x = X cos θ − Y sin θ et y = X sin θ + Y cos θ
X = −
r 3
, Y =
− 2 a sin θ 3
x =
a 3
(2 + cos θ − cos^2 θ), y =
a 3
sin θ(1 − cos θ)
En prenant pour nouvelle origine O 1 =
( (^2) a 3 ,^0
, les coordonn´ees de I de- viennent
x 1 =
a 3
(1 − cos θ) cos θ), y 1 =
a 3
(1 − cos θ) sin θ)
Donc, quand θ varie, I d´ecrit la cardo¨ıde d´efinie par l’´equation polaire
r 1 =
a 3
(1 − cos θ)
relativement au rep`ere dans lequel O 1 est le pˆole et O 1 x l’axe polaire.
Exercice 5
- Soit L la courbe donn´ee par x = a cos u, y = a sin u et z = bu ou a et b sont deux r´eels positifs dans un repere orthonorm´e Oxyz. La projection de L sur xOy est le cercle (O, a) et si m est la pro- jection de M (de parametre u), A le point d’abscisse a sur Ox, on a arc AM = au et z = bu =
b a arc AM.
Solutions
Agr´egation 7 sur 9
La normale principale orient´ee a pour cosinus directeurs (−→ N
α 1 = − cos u β 1 = − sin u γ 1 = 0;
la normale principale M ν est le rayon HM du cylindre C qui aboutit en M ; elle est orient´ee a partir de M vers l’axe du cylindre. Le plan osculateura L en M est normal au cylindre. Le centre de courbure I a pour coordonn´ees
ξ =
−b^2 a
cos u η =
−b^2 a
sin u ζ = bu;
on le construit en prolongeant, `a partir de l’axe Oz, le rayon M H d’une longueur HI = −b
2 a. Les cosinus directeurs de la binormale orient´ee M β sont (−→ B
α 2 = b sin u √ a^2 + b^2
β 2 = −b cos u √ a^2 + b^2
γ 2 = a √ a^2 + b^2
Ainsi dα ds^2 = α T^1 donne T = − a
(^2) +b 2 b et on a la relation^ T^ =^ −^
a b R.
- On note par
i ,
j et
k les vecteurs unitaires du rep`ere orthonorm´e et par −→u le vecteur unitaire situ´e dans le plan Oxy et d’angle polaire u. On peut alors ´ecrire −−→ OM =
a cos θ 2
−→u + √ 3 −→ k
(la courbe Γ est trac´ee sur le cˆone de r´evolution de sommet O, d’axe Oz et de demi-angle au sommet π 6 ) ; de 2 on d´eduit, en posant
− du→ −→ dθ^ = p , −−→ dM dθ
a cos θ 2
tg θ 2
−→u + 2−→p + √3 tg θ 2
k
relation qui fournit les coordonn´ees de
− dM−→ dθ dans le rep`ere^ «^ mo- bile »
−→u , −→p , −→ k
. D’o`u ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
dM dθ
2
ds^2 dθ^2
a^2 cos^2 θ 2
tg^2
θ 2
θ 2
a^2 cos^2 θ 2
Convenons d’orienter Γ dans le sens des θ croissants :
ds =
a cos θ 2
dθ (4)
En utilisant 3 et 4 nous avons
−→ T =
dM ds
dM dθ
dθ ds
sin
θ 2
−→u + cos θ 2
−→p +
sin
θ 2
k
D’o`u, compte-tenu de
− du→ dθ =^
−→p et −→^ dp dθ =^ −
−→u ,
−→ dT dθ
θ 2
−→u +
cos
θ 2
k
Solutions
Agr´egation 8 sur 9
dT ds
2 a
cos^2
θ 2
−→u +^1 2
k
N
R
Le vecteur −
√ 3 2
−→u + 1 2
k ´etant unitaire, nous pouvons adopter
−→ N = −
−→u +^1 2
k , R = 2 a √ 3 cos^2 θ 2
ce qui revient d’ailleurs `a fixer l’orientation de l’indicatrice.
B =
T ∧
N donne
B = 12 cos θ 2 −→u − sin θ 2 −→p +
√ 3 2 cos^
θ 2
k. Calculons
− dB→ dθ =^
3 4 sin^
θ 2
−→u − √ 3 4 sin^
θ 2
k , et on obtient
− dB→ dθ =^ −^
√ 3 2 sin^
θ 2
N.
Il vient (^) −→ dN R
dB ds
2 a
sin
θ 2
cos^2
θ 2
N
soit −→ T = − 2 a √ 3 θ 2 cos^2 θ 2
Exercice 6
On considere la courbe C trac´ee sur la sphere de centre O et de rayon 1.
- On montre d’abord que le vecteur
T est tangent a la sphere. Pour cela, on se donne C en coordonn´ees sph´eriques dont le point courant M est
x = R cos φ(t) cos θ(t) y = R sin φ(t) cos θ(t) y = R sin θ(t)
Le vecteur
T est alors colin´eaire `a
−R sin φ(t) cos θ(t)φ′(t) − R cos φ(t) sin θ(t)θ′(t) R cos φ(t) cos θ(t)φ′(t) − R sin φ(t) sin θ(t)θ′(t) R cos θ(t)θ′(t)
Le calcul du produit scalaire
OM nous donne comme valeur 0 et donc
T est orthogonal `a
OM.
O I M
J
N
B
- On examine la situation dans le plan orthogonal `a
T en M. Les vecteurs −−→ OM ,
N et
B , ´etant orthogonaux `a
T , sont dans ce plan. La valeur de IM est celle de
N.
OM. Pour la calculer, on part de la relation −→ T.
OM = 0, en supposant maintenant qu’on a choisi pour param`etre
